数学卷·2018届山西省大同十九中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届山西省大同十九中高二上学期期中数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年山西省大同十九中高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在下列相应的表格内.‎ ‎1．如图，一几何体的三视图如图：则这个几何体是（　　）‎ A．圆柱 B．空心圆柱 C．圆 D．圆锥 ‎2．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（　　）‎ A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9‎ ‎3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎4．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ‎5．若三点共线 则m的值为（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎6．直线5x﹣2y﹣10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（　　）‎ A．a=2，b=5 B．a=2，b=﹣5 C．a=﹣2，b=5 D．a=﹣2，b=﹣5‎ ‎7．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎8．直线l1：2x﹣3y+4=0，l2：3x﹣2y+1=0的交点P与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2=5的关系是（　　）‎ A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．没关系 ‎9．经过点M（2，﹣1）作圆x2+y2=5的切线，则切线的方程为（　　）‎ A． x+y=5 B． x+y+5=0 C．2x﹣y﹣5=0 D．2x+y+5=0‎ ‎10．圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0‎ ‎11．点（2，3，4）关于xOz平面的对称点为（　　）‎ A．（2，3，﹣4） B．（﹣2，3，4） C．（2，﹣3，4） D．（﹣2，﹣3，4）‎ ‎12．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（　　）‎ A．90° B．45° C．60° D．30°‎ ‎　‎ 二、填空题：（本大题共6空，每空4分，共24分.）‎ ‎13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为　　cm2．‎ ‎14．若直线x﹣y=1与直线（m+3）x+my﹣8=0平行，则m=　　．‎ ‎15．在直角坐标系中，以点（1，2）为圆心，1为半径的圆必与y轴　　，与x轴　　．‎ ‎16．圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0关于直线l：x﹣y=2对称的圆的方程为　　．‎ ‎17．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm，小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=　　．‎ ‎　‎ 三．计算题（18题8分，19题8分，20题12分，共28分.）‎ ‎18．（8分）若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．‎ ‎19．（8分）已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．‎ ‎20．（12分）已知两圆，．‎ ‎（1）求公共弦所在直线的方程；‎ ‎（2）求公共弦的长．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山西省大同十九中高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题4分，共48分.每小题有且只有一项是符合题目要求的，请把正确答案填在下列相应的表格内.‎ ‎1．如图，一几何体的三视图如图：则这个几何体是（　　）‎ A．圆柱 B．空心圆柱 C．圆 D．圆锥 ‎【考点】简单空间图形的三视图．‎ ‎【分析】由三视图和圆柱的特征，可判断该几何体是空心圆柱．‎ ‎【解答】解：A、因圆柱的俯视图是一个圆，故A不对；‎ B、因俯视图为两个同心圆，故B正确；‎ C、圆是平面图形，故C不对；‎ D、圆锥的主视图和左视图是等腰三角形，故D不对．‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查了由三视图想象几何体的特征，考查了学生的空间想象能力和对几何体结构特征掌握情况．‎ ‎　‎ ‎2．如果两个球的体积之比为8：27，那么两个球的表面积之比为（　　）‎ A．8：27 B．2：3 C．4：9 D．2：9‎ ‎【考点】球的体积和表面积．‎ ‎【分析】据体积比等于相似比的立方，求出两个球的半径的比，表面积之比等于相似比的平方，即可求出结论．‎ ‎【解答】解：两个球的体积之比为8：27，根据体积比等于相似比的立方，表面积之比等于相似比的平方，‎ 可知两球的半径比为2：3，‎ 从而这两个球的表面积之比为4：9．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查相似比的知识，考查计算能力，常考题．‎ ‎　‎ ‎3．若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．异面或相交 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．‎ ‎【解答】解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，‎ 故选D．‎ ‎【点评】此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．‎ ‎　‎ ‎4．下列命题中错误的是（　　）‎ A．如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β C．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D．如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β ‎【考点】平面与平面垂直的性质．‎ ‎【分析】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．‎ ‎【解答】解：由题意可知：‎ A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；‎ B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；‎ C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；‎ D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．‎ ‎　‎ ‎5．若三点共线 则m的值为（　　）‎ A． B． C．﹣2 D．2‎ ‎【考点】向量的共线定理．‎ ‎【分析】利用向量坐标公式求出两个向量的坐标，据三点共线得两个向量共线，利用向量共线的坐标形式的充要条件列出方程求出m ‎【解答】解：，‎ ‎∵三点共线 ‎∴共线 ‎∴5（m﹣3）=﹣‎ 解得m=‎ 故选项为A ‎【点评】本题考查向量的坐标的求法、两个向量共线的充要条件．‎ ‎　‎ ‎6．直线5x﹣2y﹣10=0在x轴上的截距为a，在y轴上的截距为b，则（　　）‎ A．a=2，b=5 B．a=2，b=﹣5 C．a=﹣2，b=5 D．a=﹣2，b=﹣5‎ ‎【考点】直线的一般式方程．‎ ‎【分析】根据截距的定义可知，在x轴的截距即令y=0求出的x的值，在y轴上的截距即令x=0求出y的值，分别求出即可．‎ ‎【解答】解：令y=0，得到5x﹣10=0，解得x=2，所以a=2；令x=0，得到﹣2y﹣10=0，解得y=﹣5，所以b=﹣5．‎ 故选B ‎【点评】此题考查学生理解直线截距的定义，是一道基础题．‎ ‎　‎ ‎7．点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离为（　　）‎ A．2 B． C．1 D．‎ ‎【考点】点到直线的距离公式．‎ ‎【分析】点P（x0，y0）到直线ax+by+c=0的距离：d=，由此能求出点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离．‎ ‎【解答】解：点P（﹣1，2）到直线8x﹣6y+15=0的距离：‎ d==，‎ 故选B．‎ ‎【点评】本题考查点到直线的距离公式的应用，解题时要注意公式的灵活运用，合理地进行求解．‎ ‎　‎ ‎8．直线l1：2x﹣3y+4=0，l2：3x﹣2y+1=0的交点P与圆（x﹣2）2+（y﹣4）2=5的关系是（　　）‎ A．点在圆内 B．点在圆上 C．点在圆外 D．没关系 ‎【考点】点与圆的位置关系；两条直线的交点坐标．‎ ‎【分析】先求出交点P，根据点和圆的位置关系即可得到结论．‎ ‎【解答】解：由，解得，即交点P（1，2），‎ 圆（x﹣2）2+（y﹣4）2=5的圆心为C（2，4），半径R=，‎ 则|PC|===R，‎ 故点P在圆上，‎ 故选：B ‎【点评】本题主要考查直线的交点以及点与圆的位置关系的判断，求出交点坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎9．经过点M（2，﹣1）作圆x2+y2=5的切线，则切线的方程为（　　）‎ A． x+y=5 B． x+y+5=0 C．2x﹣y﹣5=0 D．2x+y+5=0‎ ‎【考点】圆的切线方程．‎ ‎【分析】由圆的方程找出圆心坐标和圆的半径，然后求出M与圆心的距离判断出M在圆上即M为切点，根据圆的切线垂直于过切点的直径，由圆心和M的坐标求出OM确定直线方程的斜率，根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1，求出切线的斜率，根据M坐标和求出的斜率写出切线方程即可．‎ ‎【解答】解：由圆x2+y2=5，得到圆心A的坐标为（0，0），圆的半径r=，‎ 而|AM|===r，所以M在圆上，则过M作圆的切线与AM所在的直线垂直，‎ 又M（2，﹣1），得到AM所在直线的斜率为﹣，所以切线的斜率为2，‎ 则切线方程为：y+1=2（x﹣2）即2x﹣y﹣5=0．‎ 故选C ‎【点评】此题考查学生掌握点与圆的位置关系及直线与圆的位置关系，掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，会根据一点的坐标和直线的斜率写出直线的方程，是一道综合题．‎ ‎　‎ ‎10．圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共弦所在直线方程为（　　）‎ A．x﹣2y=0 B．x+2y=0 C．2x﹣y=0 D．2x+y=0‎ ‎【考点】相交弦所在直线的方程．‎ ‎【分析】写出过两个圆的方程圆系方程，令λ=﹣1即可求出公共弦所在直线方程．‎ ‎【解答】解：经过圆x2+y2+2x=0和x2+y2﹣4y=0的公共点的圆系方程为：x2+y2+2x+λ（x2+y2﹣4y）=0‎ 令λ=﹣1，可得公共弦所在直线方程：x+2y=0‎ 故选B ‎【点评】本题是基础题，考查圆系方程的有关知识，公共弦所在直线方程，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎11．点（2，3，4）关于xOz平面的对称点为（　　）‎ A．（2，3，﹣4） B．（﹣2，3，4） C．（2，﹣3，4） D．（﹣2，﹣3，4）‎ ‎【考点】空间中的点的坐标．‎ ‎【分析】直接利用点关于平面对称的知识，求出对称点的坐标即可．‎ ‎【解答】解：点（2，3，4）关于xOz平面的对称点，横坐标与竖坐标不变，纵坐标相反，所以对称点的坐标为：（2，﹣3，4）．‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题是基础题，考查对称点的坐标的求法，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎12．已知在四面体ABCD中，E、F分别是AC、BD的中点，若CD=2AB=4，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为（　　）‎ A．90° B．45° C．60° D．30°‎ ‎【考点】异面直线及其所成的角．‎ ‎【分析】设G为AD的中点，连接GF，GE，由三角形中位线定理可得GF∥AB，GE∥CD，则∠GFE即为EF与CD所成的角，结合AB=2，CD=4，EF⊥AB，在△GEF中，利用三角函数即可得到答案．‎ ‎【解答】解：设G为AD的中点，连接GF，GE，‎ 则GF，GE分别为△ABD，△ACD的中线．‎ ‎∴GF∥AB，且GF=AB=1，GE∥CD，且GE=CD=2，‎ 则EF与CD所成角的度数等于EF与GE所成角的度数 又EF⊥AB，GF∥AB，‎ ‎∴EF⊥GF 则△GEF为直角三角形，GF=1，GE=2，∠GFE=90°‎ ‎∴在直角△GEF中，sin∠GEF=‎ ‎∴∠GEF=30°．‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，其中利用三角形中位线定理，得到GF∥AB，GE∥CD，进而得到∠GFE即为EF与CD所成的角，是解答本题的关键 ‎　‎ 二、填空题：（本大题共6空，每空4分，共24分.）‎ ‎13．底面直径和高都是4cm的圆柱的侧面积为　16π　cm2．‎ ‎【考点】棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积．‎ ‎【分析】根据所给的圆柱的底面直径和高，先做出圆柱的底面圆的周长，根据矩形的面积等于长乘以宽，用圆柱的底面圆的周长乘以圆柱的高，得到圆柱的侧面积．‎ ‎【解答】解：∵圆柱的底面直径和高都是4cm，‎ ‎∴圆柱的底面圆的周长是2π×2=4π ‎∴圆柱的侧面积是4π×4=16π，‎ 故答案为：16π．‎ ‎【点评】本题考查圆柱的侧面积，题目包含的运算比较简单，是一个基础题，这种题目一般不会单独出现，要和其他的知识点结合．‎ ‎　‎ ‎14．若直线x﹣y=1与直线（m+3）x+my﹣8=0平行，则m=　　．‎ ‎【考点】两条直线平行的判定．‎ ‎【分析】两直线平得，则其斜率相等，故应先解出两直线的斜率的表达式，令其斜率相等得到参数的方程求参数．‎ ‎【解答】解：直线x﹣y=1的斜率为1，（m+3）x+my﹣8=0斜率为 两直线平行，则=1解得m=﹣．‎ 故应填﹣．‎ ‎【点评】本题考查直线平行的条件，利用直线平行两直线的斜率相等建立方程求参数，这是高考试题中考查直线平行条件的主要方式．‎ ‎　‎ ‎15．在直角坐标系中，以点（1，2）为圆心，1为半径的圆必与y轴　相切　，与x轴　相离　．‎ ‎【考点】圆的标准方程．‎ ‎【分析】点P到x轴的距离是2，圆P的半径是1，所以可判断圆与x，y轴的位置关系．‎ ‎【解答】解：∵P（1，2），即2＞1，‎ ‎∴以P为圆心，以1为半径的圆与x轴的位置关系是相离，与y轴相切，‎ 故答案为相切，相离．‎ ‎【点评】直线和圆的位置关系的确定一般是利用圆心到直线的距离与半径比较来判断．若圆心到直线的距离是d，半径是r，则①d＞r，直线和圆相离，没有交点；②d=r，直线和圆相切，有一个交点；③d＜r，直线和圆相交，有两个交点．‎ ‎　‎ ‎16．（2016秋•大同期中）圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0关于直线l：x﹣y=2对称的圆的方程为　（x﹣3）2+（y+1）2=1　．‎ ‎【考点】圆的一般方程．‎ ‎【分析】先求出圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0的圆心和半径；再利用两点关于已知直线对称所具有的结论，求出所求圆的圆心坐标即可求出结论．‎ ‎【解答】解：∵圆C：x2+y2﹣2x﹣2y+1=0转化为标准方程为（x﹣1）2+（y﹣1）2=1，‎ 所以其圆心为：（1，1），r=1‎ 设（1，1）关于直线x﹣y﹣2=0对称点为：（a，b）‎ 则有⇒a=3，b=﹣1．‎ 故所求圆的圆心为：（3，﹣1）．半径为1．‎ 所以所求圆的方程为：（x﹣3）2+（y+1）2=1‎ 故答案为：（x﹣3）2+（y+1）2=1．‎ ‎【点评】本题主要考查圆的方程的求法．解决问题的关键在于会求点关于直线的对称点的坐标，主要利用两个结论：①两点的连线和已知直线垂直；②两点的中点在已知直线上．‎ ‎　‎ ‎17．如图，以O为圆心的两个同心圆中，大圆半径为13cm，小圆半径为5cm，且大圆的弦AB切小圆于P，则AB=　24cm　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】连接OA、OC根据切线的性质可知△OAC是直角三角形，OC垂直平分AB，根据勾股定理及垂径定理即可解答．‎ ‎【解答】解：连接OA、OC，‎ ‎∵AB是小圆的切线，∴OC⊥AB，‎ ‎∵OA=13cm，OC=5cm，‎ ‎∴AC==12cm，‎ ‎∵AB是大圆的弦，OC过圆心，OC⊥AB，‎ ‎∴AB=2AC=2×12=24cm．‎ 故答案为24cm．‎ ‎【点评】此类题目比较简单，解答此题的关键是连接OA、OC，构造出直角三角形，利用切线的性质及勾股定理解答．‎ ‎　‎ 三．计算题（18题8分，19题8分，20题12分，共28分.）‎ ‎18．若经过点P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角为钝角，求实数a的取值范围．‎ ‎【考点】直线的倾斜角．‎ ‎【分析】由直线的倾斜角α为钝角，能得出直线的斜率小于0，解不等式求出实数a的取值范围；‎ ‎【解答】解：∵过P（1﹣a，1+a）和Q（3，2a）的直线的倾斜角α为钝角，‎ ‎∴直线的斜率小于0，‎ 即＜0，即，解得﹣2＜a＜1，‎ 故a的取值范围为（﹣2，1）．‎ ‎【点评】本题考查直线的斜率公式及直线的倾斜角与斜率的关系．‎ ‎　‎ ‎19．已知△ABC中∠ACB=90°，SA⊥面ABC，AD⊥SC，求证：AD⊥面SBC．‎ ‎【考点】直线与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】要证线面垂直，关键要找到两条相交直线与之都垂直，先由线面垂直得线线垂直，然后利用线面垂直的判定得线面垂直继而得到线线垂直AD⊥BC，问题从而得证．‎ ‎【解答】证明：∵∠ACB=90°∴BC⊥AC（1分）‎ 又SA⊥面ABC∴SA⊥BC ‎∴BC⊥面SAC（7分）‎ ‎∴BC⊥AD（10分）‎ 又SC⊥AD，SC∩BC=C∴AD⊥面SBC（12分）‎ ‎【点评】本题考查了线面垂直的判定和线面垂直的定义的应用，考查了学生灵活进行垂直关系的转化，是个基础题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2016秋•大同期中）已知两圆，．‎ ‎（1）求公共弦所在直线的方程；‎ ‎（2）求公共弦的长．‎ ‎【考点】圆与圆的位置关系及其判定．‎ ‎【分析】（1）两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程；‎ ‎（2）求出圆心到公共弦所在直线的距离，利用勾股定理求公共弦的长．‎ ‎【解答】解：（1）两圆方程相减，可得公共弦所在直线的方程x﹣2y﹣4=0；‎ ‎（2）圆的圆心坐标为（1，﹣5），半径为5，‎ 圆心到公共弦所在直线的距离d==，‎ ‎∴公共弦的长=2=．‎ ‎【点评】本题考查圆与圆的位置关系，考查点到直线距离公式的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎