专题26+一元二次不等式及其解法（题型专练）-2019年高考数学（理）热点题型和提分秘籍
1．使不等式2x2－5x－3≥0成立的一个充分不必要条件是( )
A．x≥0 B．x<0或x>2
C．x∈{－1,3,5} D．x≤－或x≥3
【答案】C
【解析】不等式2x2－5x－3≥0的解集是。
由题意，选项中x的范围应该是上述解集的真子集，只有C满足。
2．函数f(x)＝的定义域是( )
A．(－∞，1)∪(3，＋∞)
B．(1,3)
C．(－∞，2)∪(2，＋∞)
D．(1,2)∪(2,3)
【答案】D
3．已知一元二次不等式f(x)<0的解集为，则f(10x)>0的解集为( )
A．{x|x<－1或x>lg2}
B．{x|－1
－lg2}
D．{x|x<－lg2}
【答案】C
【解析】由题意，得10x<－1，或10x>，
10x<－1无解；
由10x>，得x>lg，即x>－lg2。
4．若x＝1满足不等式ax2＋2x＋1<0，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－3) B．(－3，＋∞)
C．(1，＋∞) D．(－∞，1)
【答案】A
【解析】因为x＝1满足不等式ax2＋2x＋1<0，
所以a＋2＋1<0，
所以a<－3。故选A。
5．已知f(x)＝ax2－x－c，不等式f(x)＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为( )
A B
C D
【答案】B
6．已知a∈Z，关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，则所有符合条件的a的值之和是( )
A．13 B．18
C．21 D．26
【答案】C
【解析】设f(x)＝x2－6x＋a，其图象开口向上，对称轴是x＝3的抛物线，如图所示。
若关于x的一元二次不等式x2－6x＋a≤0的解集中有且仅有3个整数，
则即
解得5＜a≤8，又a∈Z，a＝6,7,8。
则所有符合条件的a的值之和是6＋7＋8＝21。
7．已知集合A＝，B＝{0,1,2,3}，则A∩B＝( )
A．{1,2} B．{0,1,2}
C．{1} D．{1,2,3}
【答案】A
【解析】∵A＝＝{x|0＜x≤2}，
∴A∩B＝{1,2}，故选A．
8．已知x，y∈R，那么“x＞y”的充要条件是( )
A．2x＞2y B．lg x＞lg y
C．＞ D．x2＞y2
【答案】A
9．关于x的不等式ax－b＜0的解集是(1，＋∞)，则关于x的不等式(ax＋b)(x－3)＞0的解集是( )
A．(－∞，－1)∪(3，＋∞) B．(1,3)
C．(－1,3) D．(－∞，1)∪(3，＋∞)
【答案】C
【解析】关于x的不等式ax－b＜0即ax＜b的解集是(1，＋∞)，∴a＝b＜0，
∴不等式(ax＋b)(x－3)＞0可化为
(x＋1)(x－3)＜0，解得－1＜x＜3，
∴所求不等式的解集是(－1,3)．故选C．
10．已知0＜a＜b，且a＋b＝1，则下列不等式中正确的是( )
A．log2a＞0 B．2a－b＜
C．log2a＋log2b＜－2 D．2＋＜
【答案】C
【解析】由题意知0＜a＜1，此时log2a＜0，A错误；由已知得0＜a＜1,0＜b＜1，所以－1＜－b＜0，又a＜b，所以－1＜a－b＜0，所以＜2a－b＜1，B错误；因为0＜a＜b，所以＋＞2＝2，所以2＞22＝4，D错误；由a＋b＝1＞2，得ab＜，因此log2a＋log2b＝log2(ab)＜log2＝－2，C正确．
11．若集合A＝＝∅，则实数a的值的集合是( )
A．{a|00在区间(1,4)内有解，则实数a的取值范围是( )
A．(－∞，－2) B．(－2，＋∞)
C．(－6，＋∞) D．(－∞，－6)
【答案】A
【解析】不等式x2－4x－2－a>0在区间(1,4)内有解等价于a<(x2－4x－2)max，令g(x)＝x2－4x－2，x∈(1,4)，∴g(x)6时，f(x)的值恒大于零等价于f(－1)＝1＋(k－4)×(－1)＋4－2k>0，解得k<3，故k∈∅；
②当－1≤≤1，即2≤k≤6时，
只要f＝2＋(k－4)×＋4－2k>0，即k2<0，故k∈∅。
③当>1，即k<2时，只要f(1)＝1＋(k－4)＋4－2k>0
即k<1，故有k<1，
综上可知，当k<1时，对任意x∈[－1,1]，
函数f(x)＝x2＋(k－4)x＋4－2k的值恒大于零。
20．已知不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}。
(1)求a，b的值。
(2)解不等式ax2－(ac＋b)x＋bc<0。
【解析】(1)因为不等式ax2－3x＋6>4的解集为{x|x<1或x>b}，所以x1＝1与x2＝b是方程ax2－3x＋2＝0的两个实数根，b＞1且a＞0。
21．设函数f(x)＝mx2－mx－1。
(1)若对于一切实数x，f(x)<0恒成立，求m的取值范围；
(2)若对于x∈[1,3]，f(x)<－m＋5恒成立，求m的取值范围。
【解析】(1)要使mx2－mx－1<0恒成立，
若m＝0，显然－1<0；
若m≠0，则⇒－40时，g(x)在[1,3]上是增函数，
22．已知函数f(x)＝x2－2ax－1＋a，a∈R.
(1)若a＝2，试求函数y＝(x>0)的最小值；
(2)对于任意的x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立，试求a的取值范围．
【解析】(1)依题意得y＝＝＝x＋－4.
因为x>0，所以x＋≥2，
当且仅当x＝时，即x＝1时，等号成立，所以y≥－2.
所以当x＝1时，y＝的最小值为－2.
(2)因为f(x)－a＝x2－2ax－1，
所以要使得“∀x∈[0,2]，不等式f(x)≤a成立”只要“x2－2ax－1≤0在[0,2]上恒成立”．
不妨设g(x)＝x2－2ax－1，
则只要g(x)≤0在[0,2]上恒成立即可，所以
即
解得a≥，则a的取值范围为.
