重庆市西南大学附属中学校2020届高三第四次月考数学（理）试题

重庆市西南大学附属中学校2020届高三第四次月考数学（理）试题

西南大学附属中学校高2020级第四次月考 数学试题（理）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求集合，再求.‎ ‎【详解】 ‎ 解得： ，，‎ ‎，解得： ，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查集合的运算，属于基础题型.‎ ‎2.已知复数满足，则的共轭复数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简，然后求.‎ ‎【详解】 ‎ ‎.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查复数的代数运算，意在考查计算能力，属于基础题型.‎ ‎3.已知向量，，则是//的（ ）‎ A. 充要条件 B. 既不充分也不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 充分不必要条件 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，求，然后再判断充分必要条件.‎ ‎【详解】当时，‎ ‎ ，即，‎ 解得：或，‎ 是的充分不必要条件.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查向量平行的坐标表示求参数和充分必要条件结合的简单综合问题，属于基础题型.‎ ‎4.已知各项均为正数的等比数列的前3项和为，且，则（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等比数列的首项，公比为，根据已知条件列方程组，求和.‎ ‎【详解】设等比数列的首项，公比为，‎ ‎ ，‎ 得 ，解得：（舍）或 ，‎ ‎ ， ，‎ ‎ ，解得： ，‎ ‎.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查等比数列基本量的求解，意在考查公式的运用和计算能力，属于基础题型.‎ ‎5.已知圆与直线，若直线与圆相交于两点，且为等边三角形，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由为等边三角形，得到圆心到直线的距离，列方程求的值.‎ ‎【详解】 ‎ 圆心，半径 ，‎ 为等边三角形，‎ 圆心到直线的距离，‎ 即 ，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查直线与圆相交的综合问题，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，属于基础题型.‎ ‎6.函数的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性，和的正负，排除选项，得到正确答案.‎ ‎【详解】是奇函数，是偶函数 是奇函数，故排除B,C ‎ ‎ ‎，故排除D.‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查了根据函数解析式判断函数图象，属于基础题型，一般根据选项判断函数的奇偶性，零点，特殊值的正负，以及单调性，极值点等排除选项.‎ ‎7.在中国足球超级联赛某一季的收官阶段中，广州恒大淘宝、北京中赫国安、上海上港、山东鲁能泰山分别积分59分、58分、56分、50分，四家俱乐部都有机会夺冠．A，B，C三个球迷依据四支球队之前比赛中的表现，结合自已的判断，对本次联赛的冠军进行如下猜测：猜测冠军是北京中赫国安或山东鲁能泰山；猜测冠军一定不是上海上港和山东鲁能泰山；猜测冠军是广州恒大淘宝或北京中赫国安.联赛结束后，发现A，B，C三人中只有一人的猜测是正确的，则冠军是（ ）‎ A. 广州恒大淘宝 B. 北京中赫国安 C. 上海上港 D. 山东鲁能泰山 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据选项将冠军分成4种可能，分别判断的猜测是否满足条件，从而得到答案.‎ ‎【详解】如果冠军是广州恒大淘宝，那么A不正确，但B和C都正确，不满足条件；‎ 如果冠军是北京中赫国安，那么A，B，C都正确了，不满足条件；‎ 如果冠军是上海上港，那么A，B，C都不正确，也不满足条件；‎ 如果冠军是山东鲁能，那么A正确，B,C不正确，满足条件.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了合情推理的应用，属于基础题型.‎ ‎8.已知椭圆，分别是椭圆的左、右焦点，点为椭圆上的任意一点，则的取值范围为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，，并且根据椭圆定义和焦半径的范围可知 ，且，所求式子变形为，再根据的范围求值域.‎ ‎【详解】由题意可知 ， ‎ 设， ， ，且 ‎ ‎，‎ ‎ ，，‎ ‎ ，‎ 的范围是.‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查椭圆的定义和与焦半径有关范围的计算，意在考查转化与化归和计算能力，属于基础题型.‎ ‎9.如图，过抛物线的右焦点的直线交抛物线于点A，B，交其准线于点C，若，且，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 如图作辅助线，根据抛物线的定义可知， ，，根据和，可得和，解出值.‎ ‎【详解】过点作准线的垂线交于，过点作准线的垂线，交于，准线与轴交于点，根据抛物线的定义可知，， ， ‎ ‎，‎ ‎，解得：，①‎ ‎，‎ ‎，②‎ 由①②解得：.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查抛物线的定义和应用，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力和转化与化归的思想，属于中档题型.‎ ‎10.已知平面四边形的两条对角线互相垂直，，，点在四边形上运动，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面图形的对称性，只需讨论点在边上的运动情况，当点在边上运动时，利用共线向量和向量的加减运算，化简为，再求最小值，同理可得到当点在边上运动时，的最小值，‎ ‎【详解】由题意可知，四边形是关于直线对称的图形，故点在四边形的四条边上运动时，仅需考虑点在边上的运动情况，‎ 易知，所以，‎ ‎①当点在边上运动时，‎ 设，则，‎ ‎ ‎ ‎,‎ 当时，取得最小值-1；‎ ‎②当点在边上运动时，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 当时，取得最小值-3,‎ 综上：的最小值是-3.‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查向量数量积的运算，本题以四边形为载体，将向量知识迁移到几何情景中考查，突出考查了直观想象和运算能力，本题的难点是转化向量，即，后面的问题迎刃而解.‎ ‎11.设双曲线 的左右焦点分别为，过的直线分别交双曲线左右两支于点M，N.若以MN为直径的圆经过点且，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得△MNF2为等腰直角三角形，设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，运用双曲线的定义，求得|MN|＝4a，可得m，再由勾股定理可得a，c的关系，即可得到所求离心率．‎ ‎【详解】若以MN为直径的圆经过右焦点F2，‎ 则，又|MF2|＝|NF2|，‎ 可得△MNF2为等腰直角三角形，‎ 设|MF2|＝|NF2|＝m，则|MN|m，‎ 由|MF2|﹣|MF1|＝2a，|NF1|﹣|NF2|＝2a，‎ 两式相加可得|NF1|﹣|MF1|＝|MN|＝4a，‎ 即有m＝2a，‎ 在直角三角形HF1F2中可得 ‎4c2＝4a2+（2a+2a﹣2a）2，‎ 化为c2＝3a2，‎ 即e．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，注意运用等腰直角三角形的性质和勾股定理，考查运算能力，属于中档题．‎ ‎12.已知定义在R上的奇函数满足，且对任意的，都有．又，则关于的不等式在区间上的解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，函数在是增函数，故恒成立，设，可判断函数是单调递减函数，所以当 时，，可推出，又根据函数的性质画出函数和的函数图象，根据图象解不等式.‎ ‎【详解】是奇函数， ‎ 设，‎ 由，可知 ，‎ 整理为：，‎ 是增函数，‎ 当时，，‎ 即 ‎ 设，‎ ‎ ，‎ 是单调递减函数，‎ 当时，‎ ‎ ，‎ 即，‎ 当时，恒成立，即，‎ 又 ，‎ 关于对称，‎ 又有，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ 是周期为的函数，‎ 综上可画出和的函数图象，‎ 由图象可知不等式的解集是.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查函数的性质和解不等式，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力 ，以及变形计算能力，旨在培养逻辑思维能力，本题的一个关键点是不等式转化为，确定函数是增函数，另一个是判断的单调性，这样当时，不等式转化为的解集.‎ 二、填空题：本大题共4小题，每题5分，共20分．‎ ‎13.若，满足约束条件，则的最大值为_____________．‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先根据题中所给约束条件，画出相应的可行域，再将目标函数化成斜截式 ‎，之后在图中画出直线，在上下移动的过程中，结合的几何意义，可以发现直线过B点时取得最大值，联立方程组，求得点B的坐标代入目标函数解析式，求得最大值.‎ ‎【详解】根据题中所给的约束条件，画出其对应的可行域，如图所示：‎ 由，可得，‎ 画出直线，将其上下移动，‎ 结合的几何意义，可知当直线在y轴截距最大时，z取得最大值，‎ 由，解得，‎ 此时，故答案为6.‎ 点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.‎ ‎14.曲线在点处的切线与直线垂直，则________.‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先对函数求导，求出其在点处的切线斜率，进而可求出结果.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ 因此，曲线在点处的切线斜率为；‎ 又该切线与直线垂直，所以.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查导数在某点处的切线斜率问题，熟记导数的几何意义即可，属于常考题型.‎ ‎15.已知数列满足，且．记数列的前项和为，若对一切的，都有恒成立，则实数能取到的最大整数是____________．‎ ‎【答案】9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先由数列的递推公式求通项公式，，再求，并判断数列单调性，最后转化为，根据数列的单调性求最小值.‎ ‎【详解】由已知可知，，‎ 数列是等差数列，并且首项，公差，‎ ‎， ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ，‎ 数列是单调递增数列，‎ 若对一切的，都有恒成立，‎ ‎ ，‎ 当时，的最小值是，‎ 即 ‎ ‎，‎ 能取到的最大整数是9.‎ 故答案为：9‎ ‎【点睛】本题考查数列的的递推公式求通项公式，以及数列求和，数列与函数结合的综合应用问题，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，本题的关键步骤是需要判断数列的单调性，根据数列的单调性求最小值.‎ ‎16.在平面四边形中，，，，则的取值范围是___________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ 首先补全平面四边形，成为等腰直角三角形，在内平移直线都能满足条件，通过数形结合，分析的两个临界点得到的取值范围.‎ ‎【详解】如图1，延长和交于点，由已知可知是等腰直角三角形，‎ 直线向下平移，当点和点重合时，如图2，‎ 此时，，， ‎ 中，根据正弦定理可知，‎ ‎，‎ 解得：,‎ 图1的向上平移，当重合于点时，此时,‎ 的取值范围是.‎ ‎,‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查求几何图形中的长度计算，意在考查数形结合分析问题和解决问题的能力，本题的关键是通过平行移动，根据临界点分析出的长度.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎17.已知函数.‎ ‎(1)求函数的周期和对称轴方程；‎ ‎(2)将的图像向右平移个单位长度，得到的图像，求函数在上的值域.‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）首先根据三角恒等变换可得，根据公式和，求函数的周期和对称轴方程；‎ ‎（2），先求的范围，再求函数的值域.‎ ‎【详解】（1）‎ ‎；‎ 所以的周期,‎ 令，则对称轴.‎ ‎（2）， ‎ 当，，,‎ ‎.‎ ‎【点睛】本题考查三角函数的恒等变换和三角函数的性质，意在考查转化与化简和计算能力，属于基础题型.‎ ‎18.已知各项均为正数的数列的前项和为，，.‎ ‎(1)证明数列为等差数列，并求的通项公式；‎ ‎(2)设，数列的前项和记为,证明：.‎ ‎【答案】（1）证明见解析，；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，，两式相减变形为，‎ 验证后，判断数列是等差数列；（2）根据（1）的结果求和，利用裂项相消法求数列的前项和，并证明不等式.‎ ‎【详解】（1）由已知：①,‎ 得②‎ ‎①－②可得.‎ 因为，所以 检验：由已知，，所以，‎ 那么，也满足式子.所以.‎ 所以为等差数列，首项为，公差为.于是.‎ ‎（2）由，所以.‎ 所以.‎ 则 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查已知求通项公式和裂项相消法求和，意在考查转化与化归和计算能力，从形式看此题不难，但有两个地方需注意，第一问，如果忽略的条件，就会忘记验证，第二问，采用裂项相消法求和，消项时注意不要丢掉某些项.‎ ‎19.中，，，为线段上一点，且满足.‎ ‎(1)求的值；‎ ‎(2)若，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知可得，利用面积公式求的值；‎ ‎（2）根据（1）可知，又因为，变形可求，，设，和分别利用余弦定理求的长度.‎ ‎【详解】（1）由题：，所以,‎ 即.‎ 所以.‎ ‎（2）由，所以，‎ 所以，所以，.‎ 设，在中，由.‎ 中，.‎ 又因为,所以，即.‎ 化简可得，即，则或.‎ 又因为为线段上一点，所以且，所以.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理解三角形的综合运用，重点考查转化与变形和计算能力，属于中档题型，有多个三角形的解三角形时，一是可以先分析条件比较多的三角形，再求解其他三角形，二是任何一个三角形都不能求解时，可以先设共有变量，利用等量关系解三角形.‎ ‎20.已知椭圆的左右焦点分别为点．为椭圆上的一动点，面积的最大值为．过点的直线被椭圆截得的线段为，当轴时，．‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)椭圆上任取两点A，B，以，为邻边作平行四边形．若，则是否为定值？若是，求出定值；如不是，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，10‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由已知条件可知，，再结合，求椭圆方程；‎ ‎（2）设，，由平行四边形法则，所以.‎ 所以，再变形为，再根据已知条件转化坐标间的关系，求得定值.‎ ‎【详解】（1）由题意：的最大面积，.‎ 又，联立方程可解得，所以椭圆的方程为：.‎ ‎（2）设，，由平行四边形法则，所以.‎ 所以.‎ 又因为，即，即.‎ 又因为点A，B在椭圆上，则，，‎ 可得①， ②，‎ ‎①×②可得即，‎ 又，所以,即.‎ 又①＋②可得，可得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查椭圆方程以及几何中的定值问题，属于中档题型，本题的第二问比较有特色，利用四边形是平行四边形，则，然后巧妙的将长度转化为，转化为坐标的运算求解.‎ ‎21.已知函数．‎ ‎(1)若，求证：在区间是增函数；‎ ‎(2)设，若对任意的，恒有，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时， ，求函数导数并判断单调性，说明在区间是增函数；‎ ‎（2）首先判断函数的单调性，并且判断函数只有最小值，无最大值，若满足条件，即，转化为求的最小值，并且用表示.‎ ‎【详解】（1）当，．则.‎ 当，由函数单调性的性质可知，为上的增函数.‎ 所以，当时，.‎ 所以在区间是增函数.‎ ‎（2）由题，则 令，则为上的增函数.‎ 当；当；‎ 所以必然存在，使得，即.‎ 当，，即，所以减函数.‎ 当，，即，所以为增函数.‎ 所以，无最大值.‎ 此外，因为，所以.‎ 令，则就有.‎ 又，当，，所以为上的增函数.‎ 因为，且，.所以必然有.‎ 此时，.‎ 又任意的，恒有，‎ 所以，即.‎ ‎【点睛】本题考查导数与函数的单调性，极值和最值的综合运用，意在考查转化与化归和分析问题解决问题的能力，属于难题，本题第二问的难点是求的最小值并且用表示，用到构造函数，，判断的单调性，从而得出，从而得到函数的最小值并且用表示.‎ ‎22.已知曲线，点是曲线上的动点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，以极点为中心，将点绕点逆时针旋转得到点，设点的轨迹为曲线.‎ ‎(1)求曲线与曲线的极坐标方程；‎ ‎(2)射线与曲线相交于两点，已知定点M（– 2，0），求的面积．‎ ‎【答案】（1），；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据转化公式，，，代入求的极坐标方程，再用代入法求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）分别和曲线联立方程求点，的坐标，并根据几何关系求点到直线的距离，最后代入面积公式.‎ ‎【详解】（1）曲线，化简则有：.‎ 将代入可得曲线.‎ 设，则,‎ 由点在曲线上，则.‎ 所以曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）点到射线的距离.‎ 射线与曲线的交点的坐标为，‎ 射线与曲线的交点的坐标为，‎ 所以,故.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标和极坐标方程的转化，重点考查了极角和极径的几何意义，属于基础题型，注意当过极点的直线与曲线相交时，.‎ ‎23.已知函数．‎ ‎(1)解不等式；‎ ‎(2)设函数的最小值为t，实数满足，且．‎ 求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）不等式为，利用零点分段法解不等式；‎ ‎（2），所以，构造柯西不等式 ，证明不等式.‎ ‎【详解】（1），即.‎ 则不等式等价于或或 可解得或或无解.‎ 所以原不等式的解集为.‎ ‎（2）因为，当且仅当取等号，‎ 所以函数的最小值为即.‎ 由柯西不等式：，‎ 所以，即，当且仅当 即时取等号.‎ 又，所以当且仅当时等号成立.‎ ‎【点睛】本题考查零点分段法解不等式和利用柯西不等式证明意在考查转化与化归和计算能力，属于中档题型，柯西不等式在使用时经常会变形使用，所以需熟练掌握柯西不等式的形式，注意构造.‎ ‎ ‎