2017-2018学年广西桂林市高二上学期期末数学文试题（解析版）

2017-2018学年广西桂林市高二上学期期末数学文试题（解析版）

桂林市2017-2018学年上学期期末质量检测 高二年级数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知为等差数列，首项，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题 故选C.‎ ‎2. 命题“若，则”的否命题为（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】B ‎【解析】命题“若，则”的否命题为若，则.故选B.‎ ‎3. 设，且，则下列判断一定正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】对于A :函数在R上单调递增，当时，有，故A对；‎ 对于B：当时，有但，故B错；‎ 对于C：当时，有但，故C错；‎ 对于D：当时，但，故D错；‎ 故选A.‎ ‎4. 双曲线 的顶点坐标是（ ）‎ A. 和 B. 和 C. 和 D. 和 ‎【答案】B ‎【解析】令 ，得 ，所以双曲线 的顶点坐标是和.‎ ‎5. 在中，已知，那么角等于（ ）‎ A. B. 或 C. D. 或 ‎【答案】A ‎【解析】由正弦定理得得 所以角等于或.‎ 故选D.‎ ‎6. 设变量满足线性约束条件，则目标函数的最大值是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】画出可行域如图阴影部分，‎ 由 得C(3,2)‎ 目标函数z=3x+y可看做斜率为−3的动直线，其纵截距越大z越大，‎ 由图数形结合可得当动直线过点C时，z最大=3×3+2=11‎ 本题选择C选项.‎ ‎7. 已知命题： 为真，则下列命题是真命题的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 为真，则真，为假，为假；‎ 对于A：为假，故A错；‎ 对于B：为假，故B错；‎ 对于C：为真，故C对；‎ 对于D：为假，故D错；‎ 故选C.‎ ‎8. 已知点是椭圆上的一点，分别是椭圆的左右焦点，且的周长是，则椭圆的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】椭圆中，， 的周长为，解得；‎ 故选A.‎ ‎9. 设，则“”是“”的（ ）‎ A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎10. 在中，三个角对应的三边分别是，若，则角等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得，‎ ‎,‎ 故选C.‎ ‎11. 设，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎12. 设分别是圆和椭圆上的点，则 两点间的最大距离是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆心,设椭圆上的点为,则,,当时取最大值,所以 故选C.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知为等差数列，，则 __________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】为等差数列，=18,所以 .‎ 故答案为72.‎ ‎14. 在中，若 ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由可得,‎ 由正弦定理 ，可得 ‎15. 若命题“对，都有”是假命题，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若命题“对，都有”是真命题，令,当时取等号.所以命题为真命题时，，命题为假命题时，.‎ 故答案为.‎ ‎16. 过双曲线的右焦点作一条直线，直线与双曲线相交于两点，且 ‎，若有且仅有三条直线，则双曲线离心率的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】中，a=1,所以2a=2,由题意过右焦点作直线有且仅有三条直线l，使得弦AB的长度恰好等于2，所以一条为x轴，另外两条肯定是与右支分别有两个交点，所以 ,‎ ‎ ‎ 点睛:双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列满足.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）设出等差数列的公差，由已知列式求得公差，进一步求出首项，代入等差数列的通项公式求数列{an}的通项公式；（2）利用等差数列求和公式求和即可.‎ 试题解析：（1）设数列的公差为，‎ 则 ，所以.‎ ‎（2）.‎ ‎18. 在如图所示四边形中，,求四边形的面积.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由，得连接对角线，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，，则，代值计算即得解.‎ 试题解析：‎ 由，得，连接对角线，在中，由正弦定理，得，即，解得，在中，，则 .‎ ‎19. 甲乙两地相距，货车从甲地匀速行驶到乙地，速度不得超过，已知货车每小时的运输成本（单位：圆）由可变本和固定组成组成，可变成本是速度平方的倍，固定成本为元.‎ ‎（1）将全程匀速匀速成本（元）表示为速度的函数，并指出这个函数的定义域；‎ ‎（2）若，为了使全程运输成本最小，货车应以多大的速度行驶？‎ ‎【答案】(1)答案见解析；(2)当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求出汽车从甲地匀速行驶到乙地所用时间，根据货车每小时的运输成本（以元为单位）由可变部分和固定部分组成，可得全程运输成本，及函数的定义域；‎ ‎（2）利用基本不等式可得结论．‎ 试题解析：‎ ‎（1）可变成本为，固定成本为元，所用时间为，‎ 所以，即，定义域为.‎ ‎（2），当且仅当，即时，等号成立，‎ 所以当时，，‎ 答：当货车以的速度行驶，全程运输成本最小.‎ ‎20. 已知抛物线的焦点为，直线.‎ ‎（1）若抛物线和直线没有公共点，求的取值范围；‎ ‎（2）若，且抛物线和直线只有一个公共点时，求的值.‎ ‎【答案】(1)或；(2)2.‎ ‎【解析】试题分析：（1）联立方程 ，整理得，‎ 由抛物线和直线没有公共点，则，即可求得k的取值范围；‎ ‎（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，由，即，解得或，因为，故，将代入得求得x的值即得点M的坐标，可求的值.‎ 试题解析：（1）联立方程 ，‎ 整理得，‎ 由抛物线和直线没有公共点，则，‎ 即，解得或.‎ ‎（2）当抛物线和直线只有一个公共点时，记公共点坐标为，‎ 由，即，解得或，‎ 因为，故，‎ 将代入得，解得，‎ 由抛物线的定义知：.‎ 点睛:抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．因此，涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题，可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离，这样就可以使问题简单化．‎ ‎21. 已知为等比数列，其前项和为，且.‎ ‎（1）求的值及数列的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）当时，，当时，，因为是等比数列，所以，即 ，可求得数列的通项公式；‎ ‎（2）由（1）得，利用错位相减法即可求得数列的前项和.‎ 试题解析：‎ ‎（1）当时，，当时，，因为是等比数列，所以，即 ，所以数列通项公式为.‎ ‎（2）由（1）得，‎ 则 ‎ ‎，‎ 两式相减可得 ‎，‎ ‎，‎ 所以 ‎ 点睛：本题中利用与的等量关系即可求得通项公式，利用错位相减法求得数列前n项和,有关数列求和中的裂项相消法，并项求和法等都需要熟练掌握.‎ ‎22. 设椭圆的离心率为，已知但在椭圆上.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过右焦点作斜率为的直线与椭圆交于两点，在轴上是否存在点，使得成立？如果存在，求出的取值范围；如果不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)答案见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题得，，结合，解得，可得椭圆的方程.‎ ‎（2）联立方程组，整理得，设，则 ‎，把坐标化,可得，代入整理得，解得，可得解.‎ 试题解析：（1）将代入，得，‎ 由，得，结合，解得，‎ 故椭圆的方程为.‎ ‎（2）设，联立方程组，整理得，‎ 设，则，‎ ‎，‎ 由于菱形的对角线垂直，故,‎ 故，即，‎ 即，‎ 由已知条件知且，‎ 所以，所以，‎ 故存在满足题意的点，且的取值范围是，‎ 当直线的斜率不存在时，不合题意.‎ 点睛:本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一．‎