【数学】2020届一轮复习人教A版含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题学案
问题24 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题
一、考情分析
纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求学生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教学来看,这部分知识能力要求高、难度大,是学生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是学生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．
二、经验分享
(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．
(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．
(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．
三、知识拓展
不等式的恒成立、能成立、恰成立问题
(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)
A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；
若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；
不等式f(x),由⑴知h（x）=,于是得<.
点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.
⑶解析：对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0.
点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：
①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；
②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.
⑷解析：由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.
点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以.
点评：设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即.
点评：因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.
⑺解析：若存在,使得,则,即4,
所以.
点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.
⑻解析：若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是
五、迁移运用
1．【浙江省金华十校2019届高三上学期期末】若关于x的不等式在上恒成立，则实数a的取值范围是
A． B． C． D．
【答案】A
2．【山西省太原市2019届高三上学期期末】已知实数x,y满足，若不等式ax-y>0恒成立，则实数a的取值范围为( )
A．（－∞，） B．（4，＋∞） C．（，4） D．（，4）
【答案】B
【解析】作出不等式组对应的平面区域如图阴影所示：
若ax﹣y＞0恒成立即y＜ax恒成立，
根据二次函数的性质可知，
解得，故选B。
7．【湖南省邵阳市2018届高三上学期期末】若关于的不等式的解集包含区间，则的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】原不等式等价于,由于函数在区间上为增函数,当,故
.故选D.
8．【安徽省芜湖市2018届高三上学期期末】已知直线与双曲线的渐近线交于两点，设为双曲线上任一点，若（为坐标原点），则下列不等式恒成立的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
9．【湖北省武汉市2018届高中毕业生二月调研】已知实数，满足约束条件，若不等式恒成立，则实数的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
整理函数的解析式有：
14．【江西省重点中学盟校2019届高三第一次联考】已知关于实数的不等式组构成的平面区域为，若，使得恒成立，则实数的最小值是____．
【答案】
【解析】作出约束条件所表示的可行域如下：
15．【浙江省宁波市2019届高三上学期期末】已知不等式对任意正整数均成立，则实数的取值范围___
【答案】
【解析】由，得：，
记.
则或；或；
或；或；
当时，或.
所求范围为.
16.已知函数.
（Ⅰ）若对定义域内任意,成立,求实数的取值范围；
（Ⅱ）若,求证：对,不等式恒成立.
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）详见解析
【解析】（Ⅰ）解：的导数为,
令得,
所以,
,无最小值.
（3）又（2）知,当时, ,即.
在式中,令,得,即,
依次令,得.
将这个式子左右两边分别相加,得.
19.已知函数,．
（Ⅰ）若,且存在单调递减区间,求的取值范围；
（Ⅱ）设函数的图象与函数图象交于点,过线段的中点作轴的垂线分别交于点,证明在点处的切线与在点处的切线不平行.
【答案】（I）（－1,0）∪（0,+∞）（II）详见解析
方法二 分离参数, ,a的取值范围为（－1,0）∪（0,+∞）.
（II） 设点P、Q的坐标分别是（x1, y1）,（x2, y2）,0
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