高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试3章高考真题

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高中数学(人教A版)必修3能力强化提升及单元测试3章高考真题

第三章 概 率 本章归纳整合 高考真题 ‎1.(2011·新课标全国高考)有3个兴趣小组,甲、乙两位同学各自参加其中一个小组,每位同学参加各个小组的可能性相同,则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 本小题考查古典概型的计算,考查分析、解决问题的能力.因为两个同学参加兴趣小组的所有的结果是3×3=9(个),其中这两位同学参加同一兴趣小组的结果有3个,所以由古典概型的概率计算公式得所求概率为=.‎ 答案 A ‎2.(2012·辽宁高考)在长为12 cm的线段AB上任取一点C.现作一矩形,邻边长分别等于线段AC,CB的长,则该矩形面积大于20 cm2的概率为 (  ).‎ A. B. C. D. 解析 ‎ 此概型为几何概型,由于在长为12 cm的线段AB上任取一点C,因此总的几何度量为12,满足矩形面积大于20 cm2的点在C1与C2之间的部分,如图所示.因此所求概率为,即,故选C.‎ 答案 C ‎3.(2011·陕西高考)甲、乙两人一起去游“2011西安世园会”,他们约定,各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览,每个景点参观1小时,则最后一小时他们同在一个景点的概率是 ‎ ‎(  ).‎ A. B. C. D. 解析 考查学生的观察问题和解决问题的能力.最后一个景点甲有6种选法,乙有6种选法,共有36种,他们选择相同的景点有6种,所以P==,所以选D.‎ 答案 D ‎4.(2011·江苏高考)从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数,则其中一个数是另一个数的两倍的概率是________.‎ 解析 本题考查了古典概型问题,古典概型与几何概型两个知识点轮换在高考试卷中出现.从1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数,共有6种取法,其中1,2;2,4这两种取法使得一个数是另一个数的两倍,由此可得其中一个数是另一个数的两倍的概率是P==.‎ 答案  ‎5.(2012·湖北高考改编)如图,在圆心角为直角的扇形OAB中,分别以OA,OB为直径作两个半圆.在扇形OAB内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是________.‎ 解析设OA=OB=2R,连接AB,如图所示,由对称性可得,阴影的面积就等于直角扇形拱形的面积,S阴影=π(2R)2-×(2R)2=(π-2)R2,S扇=πR2,故所求的概率是=1-.‎ 答案 1- ‎6.(2012·安徽高考)若某产品的直径长与标准值的差的绝对值不超过1 mm时,则视为合格品,否则视为不合格品,在近期一次产品抽样检查中,从某厂生产的此种产品中,随机抽取5 000件进行检测,结果发现有50件不合格品,计算这50件不合格品的直径长与标准值的差(单位:mm),将所得数据分组,得到如下频率分布表:‎ 分组 频数 频率 ‎[-3,-2)‎ ‎0.10‎ ‎[-2,-1)‎ ‎8‎ ‎(1,2]‎ ‎0.50‎ ‎(2,3]‎ ‎10‎ ‎(3,4]‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎(1)将上面表格中缺少的数据填在相应位置上;‎ ‎(2)估计该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率;‎ ‎(3)现对该厂这种产品的某个批次进行检查,结果发现有20件不合格品,据此估算这批产品中的合格品的件数.‎ 解 (1)频率分布表 分组 频数 频率 ‎[-3,-2)‎ ‎5‎ ‎0.10‎ ‎[-2,-1)‎ ‎8‎ ‎0.16‎ ‎(1,2]‎ ‎25‎ ‎0.50‎ ‎(2,3]‎ ‎10‎ ‎0.20‎ ‎(3,4]‎ ‎2‎ ‎0.04‎ 合计 ‎50‎ ‎1.00‎ ‎(2)由频率分布表知,该厂生产的此种产品中,不合格品的直径长与标准值的差落在区间(1,3]内的概率约为0.50+0.20=0.70;‎ ‎(3)设这批产品中的合格品数为x件,依题意有 =,‎ 解得x=-20=1 980.‎ 所以该批产品的合格品件数估计是1 980件.‎ ‎7.(2011·山东高考)甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.‎ ‎(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率;‎ ‎(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一学校的概率.‎ 解 (1)甲校两男教师分别用A、B表示,女教师用C表示;乙校男教师用D表示,两女教师分别用E、F表示.‎ 从甲校和乙校报名的教师中各任选1名的所有可能的结果为:‎ ‎(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)共9种,从中选出两名教师性别相同的结果有:‎ ‎(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)共4种,选出的两名教师性别相同的概率为P=.‎ ‎(2)从甲校和乙校报名的教师中任选2名的所有可能的结果为:‎ ‎(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)共15种.‎ 从中选出两名教师来自同一学校的结果有:‎ ‎(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)共6种,‎ 选出的两名教师来自同一学校的概率为P==.‎ ‎8.(2012·湖南高考)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集了在该超市购物的100位顾客的相关数据,如下表所示.‎ 一次购物量 ‎1至4件 ‎5至8件 ‎9至12件 ‎13至16件 ‎17件及以上 顾客数(人)‎ x ‎30‎ ‎25‎ y ‎10‎ 结算时间 ‎(分钟/人)‎ ‎1‎ ‎1.5‎ ‎2‎ ‎2.5‎ ‎3‎ 已知这100位顾客中一次购物量超过8件的顾客占55%,‎ ‎(1)确定x,y的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值;‎ ‎(2)求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率.(将频率视为概率).‎ 解 (1)由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.‎ 该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体,所收集的100位顾客一次购物的结算时间可视为总体的一个容量为100的简单随机样本,顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均数估计,其估计值为=1.9(分钟).‎ ‎(2)记A为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟”,A1,A2,A3分别表示事件“该顾客一次购物的结算时间为1分钟”“该顾客一次购物的结算时间为1.5分钟”“该顾客一次购物的结算时间为2分钟”,将频率视为概率得 P(A1)==,P(A2)==,P(A3)==.‎ 因为A=A1∪A2∪A3,且A1,A2,A3是互斥事件,‎ 所以P(A)=P(A1∪A2∪A3)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=++=.‎ 故一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率为.‎ ‎9.(2011·福建高考)某日用品按行业质量标准分成五个等级,等级系数X依次为1,2,3,4,5.现从一批该日用品中随机抽取20件,对其等级系数进行统计分析,得到频率分布表如下:‎ X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ f a ‎0.2‎ ‎0.45‎ b c ‎(1)若所抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,等级系数为5的恰有2件,求a,b,c的值;‎ ‎(2)在(1)的条件下,将等级系数为4的3件日用品记为x1,x2,x3,等级系数为5的2件日用品记为y1,y2.现从x1,x2,x3,y1,y2这5件日用品中任取两件(假定每件日用品被取出的可能性相同),写出所有可能的结果,并求这两件日用品的等级系数恰好相等的概率.‎ 解 (1)由频率分布表得a+0.2+0.45+b+c=1,即a+b+c=0.35.‎ 因为抽取的20件日用品中,等级系数为4的恰有3件,所以b==0.15,‎ 等级系数为5的恰有2件,所以c==0.1,从而a=0.35-b-c=0.1.‎ 所以a=0.1,b=0.15,c=0.1.‎ ‎(2)从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,所有可能的结果为:{x1,x2},{x1,x3},{x1,y1},{x1,y2},{x2,x3},{x2,y1},{x2,y2},{x3,y1},{x3,y2},{y1,y2}.‎ 记事件A表示“从日用品x1,x2,x3,y1,y2中任取两件,其等级系数相等”,则A包含的基本事件为:{x1,x2},{x1,x3},{x2,x3},{y1,y2},共4个.‎ 又基本事件的总数为10,‎ 故所求的概率P(A)==0.4.‎
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