专题5-9 压轴题高分策略之解三角形中的不等问题（理科-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题5-9 压轴题高分策略之解三角形中的不等问题（理科-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

压轴题高分策略之解三角形中的不等问题 ‎【知识梳理】‎ ‎1、正弦定理：，其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边，或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边，否则不可行 例如：（1） ‎ ‎ （2）（恒等式）‎ ‎ （3） ‎ ‎2、余弦定理： ‎ 变式： 此公式在已知的情况下，配合均值不等式可得到和的最值 ‎ ‎3、三角形面积公式：‎ ‎（1） （为三角形的底，为对应的高）‎ ‎（2）‎ ‎（3）（其中为外接圆半径）‎ ‎4、三角形内角和：，从而可得到：‎ ‎（1）正余弦关系式： ‎ ‎ ‎ ‎（2）在已知一角的情况下，可用另一个角表示第三个角，达到消元的目的 ‎5、两角和差的正余弦公式：‎ ‎ ‎ ‎6、辅助角公式：，其中 ‎ ‎7、三角形中的不等关系 ‎（1）任意两边之和大于第三边：在判定是否构成三角形时，只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件，在求最值时使用较少 ‎（2）在三角形中，边角以及角的三角函数值存在等价关系：‎ 其中由利用的是余弦函数单调性，而仅在一个三角形内有效。‎ ‎ 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 ‎（1）转变为一个变量的函数：通过边角互化和代入消元，将多变量表达式转变为函数，从而将问题转化为求函数的值域 ‎（2）利用均值不等式求得最值 ‎【典例1】【2015，新课标I】在平行四边形中，，，则的取值范围是_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 延长交于点，则在中， ‎ 设，则由正弦定理可得设，则由正弦定理：可得：，整理后可得：，所以 ，由可知，所以 ‎ ‎【典例2】【2016江苏高三第一次联考】在中，是的中点，边（含端点）上存在点，使得，则的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【方法二】（向量法）‎ 以为原点，直线为轴建系，则，设，‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由和可得 ‎【典例3】【2014，新课标全国卷I】已知分别为三个内角的对边，且，则面积的最大值为_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正弦定理可得：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ 即 ‎ ‎【典例4】【2014，重庆】已知的内角满足，面积满足，记分别是所对的边，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【审题指导】本题需判断的式子比较多，先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得，即，联想到面积公式及可得：，从而可用进行表示求出范围，另一方面可由，利用不等式的传递性即可求出的范围 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 由正弦定理可得： ‎ ‎ ‎ 所以由可得：‎ ‎，所以均不正确 ‎ 正确 同理 ，不正确 ‎【变式训练】‎ ‎1. 设的内角所对的边为，若成等比数列，则的取值范围是 ‎______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由成等比数列可得：，也可视为 ，所求表达式也可视为。如果从角入手，则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得：，在中，若 ，则，所以，即，同理，若，则，解得：。综上 ‎2. 若的内角满足，则的最小值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎2. 在中，角所对的边分别为，已知 ‎ ‎（1）求的大小 ‎（2）若，求的取值范围 ‎ ‎【解析】‎ ‎（1）由条件可考虑使用正弦定理，将分子进行“边化角”‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎（2）思路：考虑在中，已经已知，从而可求出外接圆半径，进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑，则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”，但不易利用 这个条件，考虑利用角来解决 ‎ 解： ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【一题多解】‎ 在锐角中，角所对的边分别为，且 ‎ ‎（1）求角 ‎ ‎（2）求的取值范围 ‎【解析】‎ ‎（1）‎ ‎【方法一】使用余弦定理 ‎ ‎ 由余弦定理得： ‎ ‎【方法二】观察等式齐次，考虑使用正弦定理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【思路点拨】要注意对锐角三角形条件的运用：三个角均为锐角，而用代换，所以满足锐角的条件也由来承担，这也是在利用等式消元时所要注意的一点：若被消去的元带有范围，则这个范围由主元承担。 ‎