专题5-9 压轴题高分策略之解三角形中的不等问题(理科-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点+题型全突破

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专题5-9 压轴题高分策略之解三角形中的不等问题(理科-《奇招制胜》2017年高考数学(理)热点+题型全突破

压轴题高分策略之解三角形中的不等问题 ‎【知识梳理】‎ ‎1、正弦定理:,其中为外接圆的半径 正弦定理的主要作用是方程和分式中的边角互化。其原则为关于边,或是角的正弦值是否具备齐次的特征。如果齐次则可直接进行边化角或是角化边,否则不可行 例如:(1) ‎ ‎ (2)(恒等式)‎ ‎ (3) ‎ ‎2、余弦定理: ‎ 变式: 此公式在已知的情况下,配合均值不等式可得到和的最值 ‎ ‎3、三角形面积公式:‎ ‎(1) (为三角形的底,为对应的高)‎ ‎(2)‎ ‎(3)(其中为外接圆半径)‎ ‎4、三角形内角和:,从而可得到:‎ ‎(1)正余弦关系式: ‎ ‎ ‎ ‎(2)在已知一角的情况下,可用另一个角表示第三个角,达到消元的目的 ‎5、两角和差的正余弦公式:‎ ‎ ‎ ‎6、辅助角公式:,其中 ‎ ‎7、三角形中的不等关系 ‎(1)任意两边之和大于第三边:在判定是否构成三角形时,只需验证较小的两边之和是否比第三边大即可。由于不存在等号成立的条件,在求最值时使用较少 ‎(2)在三角形中,边角以及角的三角函数值存在等价关系:‎ 其中由利用的是余弦函数单调性,而仅在一个三角形内有效。‎ ‎ 8、解三角形中处理不等关系的几种方法 ‎(1)转变为一个变量的函数:通过边角互化和代入消元,将多变量表达式转变为函数,从而将问题转化为求函数的值域 ‎(2)利用均值不等式求得最值 ‎【典例1】【2015,新课标I】在平行四边形中,,,则的取值范围是_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】‎ 延长交于点,则在中, ‎ 设,则由正弦定理可得设,则由正弦定理:可得:,整理后可得:,所以 ,由可知,所以 ‎ ‎【典例2】【2016江苏高三第一次联考】在中,是的中点,边(含端点)上存在点,使得,则的取值范围是_______‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【方法二】(向量法)‎ 以为原点,直线为轴建系,则,设,‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 由和可得 ‎【典例3】【2014,新课标全国卷I】已知分别为三个内角的对边,且,则面积的最大值为_______‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由正弦定理可得:‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 且 ‎ 即 ‎ ‎【典例4】【2014,重庆】已知的内角满足,面积满足,记分别是所对的边,则下列不等式一定成立的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【审题指导】本题需判断的式子比较多,先从条件出发向所求靠拢。化简已知条件可得,即,联想到面积公式及可得:,从而可用进行表示求出范围,另一方面可由,利用不等式的传递性即可求出的范围 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 即 由正弦定理可得: ‎ ‎ ‎ 所以由可得:‎ ‎,所以均不正确 ‎ 正确 同理 ,不正确 ‎【变式训练】‎ ‎1. 设的内角所对的边为,若成等比数列,则的取值范围是 ‎______________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由成等比数列可得:,也可视为 ,所求表达式也可视为。如果从角入手,则无法与联系。所以考虑从边入手。由可得:,在中,若 ,则,所以,即,同理,若,则,解得:。综上 ‎2. 若的内角满足,则的最小值是 ‎ ‎【答案】‎ ‎2. 在中,角所对的边分别为,已知 ‎ ‎(1)求的大小 ‎(2)若,求的取值范围 ‎ ‎【解析】‎ ‎(1)由条件可考虑使用正弦定理,将分子进行“边化角”‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎(2)思路:考虑在中,已经已知,从而可求出外接圆半径,进而与也可进行边角互化。若从边的角度考虑,则能够使用的不等关系只有“两边之和大于第三边”,但不易利用 这个条件,考虑利用角来解决 ‎ 解: ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【一题多解】‎ 在锐角中,角所对的边分别为,且 ‎ ‎(1)求角 ‎ ‎(2)求的取值范围 ‎【解析】‎ ‎(1)‎ ‎【方法一】使用余弦定理 ‎ ‎ 由余弦定理得: ‎ ‎【方法二】观察等式齐次,考虑使用正弦定理 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎【思路点拨】要注意对锐角三角形条件的运用:三个角均为锐角,而用代换,所以满足锐角的条件也由来承担,这也是在利用等式消元时所要注意的一点:若被消去的元带有范围,则这个范围由主元承担。 ‎
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