2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：35

2019届高三上学期期末考试数学试题分类汇编：35

（山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ），以坐标原点 为 极点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）求直线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）已知直线 与曲线 交于 两点，且 ，求实数 的值. 【答案】（1） 的普通方程 ； 的直角坐标方程是 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）把直线 l 的标准参数方程中的 t 消掉即可得到直线 的普通方程，由曲线 C 的极坐标方 程为ρ＝2 sin（θ ），展开得 （ρsinθ+ρcosθ），利用 即可得 出曲线 的直角坐标方程； （2）先求得圆心 到直线 的距离为 ，再用垂径定理即可求解． 【详解】（1）由直线 的参数方程为 ，所以普通方程为 由曲线 的极坐标方程是 ， 所以 ， 所以曲线 的直角坐标方程是 （2）设 的中点为 ，圆心 到直线 的距离为 ，则 ， 圆 ，则 ， ， , 由点到直线距离公式， 解得 ，所以实数 的值为 . 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线参数方程化为普通方程，考查了点 到直线的距离公式，圆中垂径定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． （山东省德州市 2019 届高三期末联考数学（理科）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）若不等式 的解集为 ，求 的值； （2）当 时，求 的解集. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）通过讨论 a 的范围，求出不等式的解集，结合对应关系求出 a 的值即可； （2）代入 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出各个区间上的不等式的解集，取并集即可． 【详解】（1）由 得 ， 当 时， 由 ，得 ， 当 时， 由 ，无解 所以 . （2） 当 时，原不等式化为 ，所以 ； 当 时，原不等式化为 ，所以 （舍）； 当 时，原不等式化为 所以，不等式的解集为 . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，是一道中档题． （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题） 22.已知在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以 轴的非 负半轴为极轴，原点 为极点建立极坐标系，两种坐标系中取相同的长度单位，若直线 和 分别与曲线 相交于 、 两点（ ， 两点异于坐标原点）. （1）求曲线 的普通方程与 、 两点的极坐标； （2）求直线 的极坐标方程及 的面积. 【答案】（1） ， .（2） 【解析】 【分析】 （1）消参，即可得到曲线 C 的普通方程，结合 ， ，得到曲线 C 的极坐标方 程，计算 A,B 坐标，即可。（2）结合 ， ，即可得到直线 AB 的极坐标方程， 分别计算 OA,OB 的长，结合三角形面积计算公式，即可。 【详解】解：（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数）， 所以消去参数 得曲线 的普通方程为 ， 因为 ， ， 代入曲线 可得 的极坐标方程： . 将直线 ， 代入圆的极坐标方程可知: ， ， 故 、 两点的极坐标为 ， . （2）由 ， 得： ， ，根据两点式可知直线 的方程为：， 所以的极坐标方程为： . 所以 的极坐标方程为 . 可知直线 恰好经过圆的圆心，故 为直角三角形，且 ， ， 故 . 【点睛】本道题考查了参数方程，极坐标方程，普通方程互相转化，难度中等。 （山东省潍坊市 2019 届高三上学期期末测试数学（文科）试题） 23.设函数 . （1）证明： ； （2）若不等式 的解集为 ，求实数 的值. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 (1)利用 ,同时结合基本不等式,即可.(2)针对 a 取不同范围讨论，去绝对值，即可。 【详解】（1）证明： ， 所以 . （2）由 可得 ， 当 时， ， ， 这与 矛盾，故不成立， 当 时， ， ， 又不等式的解集为 ， 所以 ， 故 . 【点睛】本道题考查了基本不等式以及不等式证明，难度偏难。 （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），曲线 的参数方程为 （ 为参数），以该直角坐标系的原点 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极 坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）分别求曲线 的极坐标方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 交曲线 于 ， 两点，交曲线 于 ， 两点，求 的长. 【答案】（Ⅰ）曲线 的极坐标方程为： ； 的直角坐标方程为： ； （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （I）消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，结合 ，即可得到曲线 的极坐标方程。（II）计算直线 l 的直角坐标方程和极坐标方程，计算 长，即可。 【详解】解法一：（Ⅰ）曲线 ： （ 为参数）可化为直角坐标方程： ， 即 ， 可得 ， 所以曲线 的极坐标方程为： . 曲线 ： ，即 ， 则 的直角坐标方程为： . （Ⅱ）直线 的直角坐标方程为 ， 所以 的极坐标方程为 . 联立 ，得 ， 联立 ，得 ， . 解法二：（Ⅰ）同解法一 （Ⅱ）直线 的直角坐标方程为 ， 联立 ，解得 ， 联立 ，解得 ， 所以 . 【点睛】本小题考查直线和圆的极坐标方程、参数方程等基础知识，考查运算求解能力，考 查数形结合思想、化归与转化思想等. （福建省宁德市 2019 届高三第一学期期末质量检测数学理科试题） 23.已知函数 . （Ⅰ）当 时，求不等式 的解集； （Ⅱ）若不等式 对 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） 或 （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （I）把 代入 中，结合 x 取不同范围，去绝对值，建立不等式，计算 x 的范围，即可。 （II）计算 最小值，建立不等式，计算 a 的范围，即可。 【详解】解：（Ⅰ）当 时， ，所以 ， 所以 ，或 ，或 ， 解得： 或 ， 综上，不等式 的解集为： 或 . （Ⅱ）即 . 由 ， 故 ， ∴ 或 ， 解得 或 ， 综上， . 【点睛】本小题考查绝对值不等式的解法与性质等基础知识，考查运算求解能力、推理论证 能力，考查分类与整合思想、化归与转化思想等. （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 （ 为参数），直线 （ 为参数）， 以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系. （1）求曲线 与直线 的极坐标方程（极径用 表示，极角用 表示）； （2）若直线 与曲线 相交，交点为 、 ，直线 与 轴也相交，交点为 ，求 的取 值范围. 【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 （2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系式，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换； （2）利用直线与圆的位置关系，数形结合即可得到 的取值范围． 【详解】（1）曲线 即 即 即 或 由于曲线 过极点 ∴曲线 的极坐标方程为 直线 即 即 即 直线 的极坐标方程为 （2）由题得 设 为线段 的中点，圆心到直线 的距离为 则 它在 时是减函数 ∴ 的取值范围 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，直线与圆 的位置关系，三角函数关系式的恒等变变换，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基 础题型． （湖北省 2019 届高三 1 月联考测试数学（理）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 . （1）画出函数 的图象； （2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1）见解析（2） 【解析】 【分析】 （1）写出 f（x）的分段函数式，画出图象； （2）由题意可得 2m+1≥f（x）﹣x 的最小值，对 x 讨论去绝对值，结合一次函数的单调性可 得最小值，即可得到所求范围． 【详解】（1）∵f（x）＝|2x+1|﹣|x﹣2| ， ∴ 的图像如图 （2）由（Ⅰ）得 ∴当 时， ∴题设等价于 即 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式有解的条件，注意运用分类讨论思想方法和 分离参数法，考查单调性的运用：求最值，属于中档题． （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极 点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 的 极坐标方程为 . （1）把曲线 的参数方程化为极坐标方程； （2）曲线 与曲线 交于点 ，与曲线 交于点 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）利用 消去参数，求得 的普通方程，再利用 转为极坐 标方程.（2）将 分别代入 的极坐标方程，求得 两点对应的极坐标，由此求得 的值. 【详解】解：（1）曲线 的普通方程为 ，即 ， 由 ，得 ， ∴曲线 的极坐标方程为 ； （2）设点 的极坐标为 ，点 的极坐标为 ， 则 ， ， ∴ . 【点睛】本小题主要考查将圆的参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求解有关弦长 的问题，属于基础题. （辽宁省实验中学、大连八中、大连二十四中、鞍山一中、东北育才学校 2019 届高三上学 期期末考试数学（文）试题） 23.设函数 . （1）解不等式 ； （2）当 时，证明： . 【答案】（1）解集为 ；（2）见解析. 【解析】 【分析】 (1)零点分区间，去掉绝对值，写成分段函数的形式，分段解不等式即可；(2) 由（1）知， , ，之后利用均值不等式可证明. 【详解】（1）由已知可得： ， 当 时， 成立； 当 时， ，即 ，则 ． 所以 的解集为 . （2）由（1）知， ， 由于 ， 则 ，当且仅当 ，即 时取等号， 则有 ． 【点睛】利用基本不等式证明不等式是综合法证明不等式的一种情况，证明思路是从已证不 等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理最后转化 为需证问题．若不等式恒等变形之后与二次函数有关，可用配方法． （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 22.已知直线 l 的参数方程为 为参数）， 椭圆 C 的参数方程为 为参 数）。在平面直角坐标系中,以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,点 A 的极 坐标为(2, (1)求椭圆 C 的直角坐标方程和点 A 在直角坐标系下的坐标 (2)直线 l 与椭圆 C 交于 P,Q 两点,求△APQ 的面积 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 试题分析：(1)消去参数，即可得到椭圆的直角坐标方程，利用极坐标与直角坐标的互化公 式，即可求解点 的直角坐标； （2）将直线的参数方程代入椭圆的方程，得到 , ，即可求得 ，再求 得点到直线的距离，即可求解面积. 试题解析： (1)由 得 . 因为 的极坐标为 ,所以 ， . 在直角坐标系下的坐标为 . （2）将 代入 ，化简得 , 设此方程两根为 ,则 , . . 因为直线 的一般方程为 , 所以点 到直线 的距离 . 的面积为 . （山东省烟台市 2018 届高三下学期高考诊断性测试数学（文）试题） 23.已知函数 . (1)当 a=0 时,求不等式 f(x)<1 的解集 (2)若 f(x)的的图象与 x 轴围成的三角形面积大于 ,求 a 的取值范围 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）代入 时，不等式 化为 ，分类讨论，即可求得不等 式的解集； （2）由题设可得 的解析式，求解三角形顶点坐标，得到三角形的面积 ，列出不是， 即可求解实数 的取值范围. 试题解析： （1）当 时， 化为 . 当 时，不等式化为 ，无解； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 当 时，不等式化为 ，解得 ； 综上， 的解集为 . （2）由题设可得 所以 的图像与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 ， ， ，该三角形 的面积为 由题设 ，且 ，解得 所以 的取值范围是 . （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 22.在直角坐标系 中，直线 过点 且倾斜角为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的直角坐标方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用直线参数方程中 t 的几何意义即可解得直线直角坐标方程. 【详解】（1）由 ， 得， 曲线 的直角坐标方程为 . （2）直线 的参数方程为 （ 为参数） 将其代入曲线 的直角坐标方程得 ， 设 ， 是方程的两个实数根， 则 即 ，且 ， 由 的几何意义得， ， 所以 或 （舍去）， 又因为 ，所以 ， 故直线 的直角坐标方程为 即 . 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次 方程根和系数关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 型． （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学文试题） 23.已知函数 ，其中 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）通过讨论 x 的范围，求出不等式组的解集，结合 a 的范围求出不等式的解集即可． 【详解】（1）若 ， ，则 即 . 当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 当 时，原不等式等价于 ，即 ， 结合 ，知此时不等式的解为 ； 当 时，原不等式等价于 ，解得 . 综上，原不等式的解集为 . （2）由 ，得 . 此不等式化为不等式组 或 ， 即 或 因为 ， ， 所以 的解为 ， 的解为 ， 所以原不等式的解集为 . 又由已知原不等式的解集为 ，可得 ，故 . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题. （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 22.在直角坐标系 中，直线 过点 且倾斜角为 .以坐标原点为极点， 轴正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 ， 两点，且 ，求直线 的直角坐标方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用直线参数方程中 t 的几何意义即可解得直线直角坐标方程. 【详解】（1）由 ， 得， 曲线 的直角坐标方程为 . （2）直线 的参数方程为 （ 为参数） 将其代入曲线 的直角坐标方程得 ， 设 ， 是方程的两个实数根， 则 即 ，且 ， 由 的几何意义得， ， 所以 或 （舍去）， 又因为 ，所以 ， 故直线 的直角坐标方程为 即 . 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，一元二次 方程根和系数关系的应用，极径的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题 型． （福建省泉州市 2019 届高三 1 月单科质检数学理试题） 23.已知函数 ，其中 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集为 ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）求出 a 的值，通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）通过讨论 x 的范围，求出不等式组的解集，结合 a 的范围求出不等式的解集即可． 【详解】（1）若 ， ，则 即 . 当 时，原不等式等价于 ，解得 ； 当 时，原不等式等价于 ，即 ， 结合 ，知此时不等式的解为 ； 当 时，原不等式等价于 ，解得 . 综上，原不等式的解集为 . （2）由 ，得 . 此不等式化为不等式组 或 ， 即 或 因为 ， ， 所以 的解为 ， 的解为 ， 所以原不等式的解集为 . 又由已知原不等式的解集为 ，可得 ，故 . 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想，转化思想，属于中档题. （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的 极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离 的最大值. 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）分别用极坐标方程与直角坐标方程的关系、参数方程与直角坐标方程的关系转化即可； （2）设 ，由点到直线的距离公式可得到 ，结合三角函数 求最值即可。 【详解】（1）由 得 ， 直线的直角坐标方程为 由 消 得曲线的直角坐标方程 （2）设 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程间的转化，考查了三角函数求最 值，属于基础题。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（理科）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 . （1）解不等式 ； （2）若 ， 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）通过分类讨论去掉绝对值，然后解不等式取并集即可；（2）结合 的范围去掉绝对值， 可得到 的单调性，令 即可。 【详解】（1）依题意 或 或 解得 （2） 在 上是减函数，在 上是增函数 ， ， ， ， ，解得 . 【点睛】绝对值不等式的解法： (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去 掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂， 又简洁直观，是一种较好的方法． （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 22.已知平面直角坐标系 ，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线 过点 P(-1，2)，且倾斜角为 ，圆 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）求圆 的普通方程和直线 的参数方程； （Ⅱ）设直线 与圆 交于 M、N 两点，求 的值． 【答案】(Ⅰ) 圆 C 的方程为： ；直线 l 的方程为： （t 为参数） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)利用极坐标方程与直接坐标方程的转化方法，可求出圆的普通方程，由直线过点 P(-1， 2)，且倾斜角为 ，结合直线的参数方程的特点可写出答案；（Ⅱ）将直线的参数方程代入 圆 的方程，得到关于 t 的一元二次方程， ，可以得到答案。 【详解】（Ⅰ）因为 ，则 ， 所以圆 的普通方程为 ， 直线 过点 P(-1，2)，且倾斜角为 ，故参数方程为 （ 为参数） （Ⅱ）将直线 的参数方程代入圆 的方程， 得： ， 则 ，所以 ，即 . 【点睛】本题考查了极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线的参数方程的求法，及参数的 含义，属于中档题。 （安徽省黄山市 2019 届高三第一次质量检测（一模）数学（理）试题） 23.已知函数 （Ⅰ）若 ，求不等式 的解集； （Ⅱ）若函数 有三个零点，求实数 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) ；(Ⅱ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）分 x ﹣2，﹣2≤x≤2，x 2 三种情况求解； （Ⅱ）若函数 有三个零点，只需 与 有三个交点即 可. 【详解】解：（Ⅰ）当 时， , , 不等式的解集为 . （Ⅱ）若函数 有三个零点，只需 与 有三个交点即 可，只需 的两个分段点位于 的两侧即可. , . 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，函数与方程的思想，属于中档题． （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数），以原点 为极点， 以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ，曲线 ， 的公共点 为 . （Ⅰ）求直线 的斜率； （Ⅱ）若点 分别为曲线 ， 上的动点，当 取最大值时，求四边形 的面积. 【答案】（Ⅰ）2；（Ⅱ） ． 【解析】 【分析】 （Ⅰ）消去参数α得曲线 C1 的普通方程，将曲线 C2 化为直角坐标方程，两式作差得直线 AB 的方程，则直线 AB 的斜率可求； （Ⅱ）由 C1 方程可知曲线是以 C1（0，1）为圆心，半径为 1 的圆，由 C2 方程可知曲线是 以 C2（2，0）为圆心，半径为 2 的圆，又|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|，可知当|CD|取 最大值时，圆心 C1，C2 在直线 AB 上，进一步求出直线 CD（即直线 C1C2）的方程，再求 出 O 到直线 CD 的距离，则四边形 ACBD 的面积可求． 【详解】（Ⅰ）消去参数α得曲线 C1 的普通方程 C1：x2+y2﹣2y=0．…（1） 将曲线 C2：ρ=4cosθ化为直角坐标方程得 x2+y2﹣4x=0．…（2） 由（1）﹣（2）化简得 y=2x，即为直线 AB 的方程，故直线 AB 的斜率为 2； （Ⅱ）由 C1：x2+y2﹣2y=0 知曲线 C1 是以 C1（0，1）为圆心，半径为 1 的圆， 由 C2：x2+y2﹣4x=0 知曲线 C2：是以 C2（2，0）为圆心，半径为 2 的圆． ∵|CD|≤|CC1|+|C1C2|+|DC2|， ∴当|CD|取最大值时，圆心 C1，C2 在直线 CD 上， ∴直线 CD（即直线 C1C2）的方程为：2x+y=2． ∵O 到直线 CD 的距离为 ，即|AB|= 又此时|CD|=|C1C2|+1+2=3+ ， ∴四边形 ACBD 的面积 ． 【点睛】本题考查了简单曲线的极坐标方程以及参数方程化成普通方程，考查了直线与圆的 位置关系，是中档题． （河北省衡水中学 2019 届高三上学期七调考试数学（文）试题） 23.设 的最小值为 . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）设 ，求 的最小值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 试题分析: （Ⅰ）根据绝对值定义将函数化为三段，分别求出各段上的最小值，最后取三个 最小值的最小值，作为 的值；（Ⅱ）根据条件可得所求式子中两个分母的和为定值 4，利用 1 的代换方法，将式子转化： ，最后根据基本不等式求最值. 试题解析:解：（Ⅰ）当 时， 当 时， 当 时， 当 时， 取得最小值 （Ⅱ）由题意知 当且仅当 时，即 等号成立， 的最小值为 . （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 22.选修 4－4：坐标系与参数方程 在以原点 O 为极点；x 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C1 的极坐标方程为 ， 曲线 C2 的极坐标方程为 （1）求曲线 C2 的直角坐标方程； （2）过原点 O 且倾斜角为 的射线 l 与曲线 C1，C2 分别相交于 A，B 两点（A，B 异于原点），求 ・ 的取值范围 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1)等式两边同时乘以 ，由 即可得到直角方程；（2）写出直线 l 的极坐标 方程，与曲线 C1，C2 联立，可得 与 ，利用正切函数图像的性质即可得到取值范围. 【详解】（1）由曲线 的极坐标方程为 ， 两边同乘以 ，得 ， 故曲线 的直角坐标方程为 。 （2）射线 的极坐标方程为 ， 把射线 的极坐标方程代入曲线 的极坐标方程得 ， 把射线 的极坐标方程代入曲线 的极坐标方程得 。 ， ， 的取值范围是 。 【点睛】本题考查极坐标方程与直角坐标方程之间的转化，考查极坐标方程的应用，以及利 用同角三角函数关系式和正切函数图像的性质求范围问题，属于基础题. （湖南省长沙市雅礼中学 2019 届高三上学期月考（五）数学（文）试题） 23.选修 4－5：不等式选讲 已知定义在 R 上的函数 的最小值为 a． （1）求 a 的值； （2）若 p，q 是正实数，且满足 ，求证： 【答案】(1) (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）利用绝对值三角不等式即可得到函数的最小值；（2）由（1）得 ，则 ，展开利用基本不等式即可得到证明. 【详解】（1）因为 ， 当且仅当 时，等号成立， 所以 的最小值等于 3，即 。 （2）证明：由（1）知 ， 又因为 是正实数， 所以 ， 当且仅当 时，等号成立。 【点睛】本题考查利用绝对值三角不等式求函数的最值，考查利用基本不等式证明不等式， 属于基础题. （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 22.选修 4－4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C1： (φ为参数，实数 a＞0)，曲线 C2： (φ为参数，实数 b＞0)．在以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中， 射线 l： 与 C1 交于 O，A 两点，与 C2 交于 O，B 两点．当α＝0 时，|OA| ＝2；当α＝ 时，|OB|＝4. (Ⅰ)求 a，b 的值； (Ⅱ)求 2|OA|2＋|OA|·|OB|的最大值． 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由曲线 消去参数，得到曲线 的普通方程，再由极坐标方程与直角的互化公 式，得到曲线的极坐标方程 ，由题意可得当 时，得 ，当 时， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 的极坐标方程，进而得到 的表达式，利用三角 函数的性质，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数，实数 ）， 化为普通方程为 ，展开为： ， 其极坐标方程为 ，即 ，由题意可得当 时， ，∴ . 曲线 ： （ 为参数，实数 ）， 化为普通方程为 ，展开可得极坐标方程为 ， 由题意可得当 时， ，∴ . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 的极坐标方程分别为 ， . ∴ ， ∵ ，∴ 的最大值为 ， 当 ， 时取到最大值. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以 及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，合 理应用曲线的极坐标方程的转化是解答本题的关键，着重考查了转化思想和推理与运算能 力. （湖南师范大学附属中学 2019 届高三上学期月考（四）数学（理）试题） 23.选修 4－5：不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)当 a＝1 时，解不等式 f(x)＜4； (Ⅱ)求函数 g(x)＝f(x)＋f(－x)的最小值． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析： (1)零点分段可得原不等式的解集为 . (2)利用绝对值不等式的性质结合均值不等式的结论可得最小值为 . 试题解析： （1） ， 原不等式为 ， ，或 或 或 或 ， 原不等式的解集为 . （2）由题意得 ， 当且仅当 ，计 ，且 时， 取最小值 . 绝对值不等式的解法 点睛：|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 22.在直角坐标坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系的 原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程； （2）若 与曲线 相切，且 与坐标轴交于 两点，求以 为直径的圆的极坐标方程. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 分析：（1）利用公式，把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化； （2）利用 与曲线 相切，结合一元二次方程的解法求出结果． 详解：（1）由 ，得 ， ，即 ， 故曲线 的普通方程为 ． （2）由 ，当 ， 联立 得 ， 因为 与曲线 相切，所以 ， ， 所以 的方程为 ，不妨假设 ，则 ，线段 的中点为 ． 所以 ，又 ， 故以 为直径的圆的直角坐标方程为 ． 点睛：把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法； ③乘除消元法；④三角恒等式消元法. （吉林省长春实验高中 2019 届 高三第五次月考 数学（文）试题） 23.已知函数 ， . （1）求不等式 的解集； （2）若存在 ，使得 和 互为相反数，求 的取值范围. 【答案】(1) ;(2) . 【解析】 试题分析：（1）分 ， ，和 三种情况去掉绝对值，解不等式即可. （2）由题存在 ，使得 成立，即 . 又 ，由（1）可知 ，所以 ，可解得 的取值范围. 试题解析：（1）由题意可得 ， 当 时， ，得 ，无解； 当 时， ，得 ，即 ； 当 时， ，得 . 综上， 的解集为 . （2）因为存在 ，使得 成立， 所以 . 又 ， 由（1）可知， ，则 所以 ，解得 . 故 的取值范围为 . （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 22.在平面直角坐标系 中，直线 l 的参数方程为 ( 为参数，0 )，在以 坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线 C 的极坐标方程为 (I)求曲线 C 的直角坐标方程； (Ⅱ)设点 M 的坐标为(1，0)，直线 l 与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 的值. 【答案】(I) (Ⅱ) 【解析】 【分析】 （I）直接利用转换关系把极坐标方程与直角坐标方程进行转化； （Ⅱ）利用方程组建立一元二次方程根与系数的关系进行应用． 【详解】（Ⅰ）曲线 ，即 曲线 C 的直角坐标方程为 即 (Ⅱ)将 代入 并整理得 ， ， ， . 【点睛】直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、可负、 可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| ＝|t|＝ . (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. （山东省济南外国语学校 2019 届高三 1 月份阶段模拟测试数学（文）试题） 23.设函数 ． (I)当 a=1 时，求不等式 的解集； (Ⅱ)已知 的取值范围． 【答案】(Ⅰ) 或 . (Ⅱ) 【解析】 【分析】 （Ⅰ）通过讨论 x 的范围，得到关于 x 的不等式组，解出即可； （Ⅱ）求出 f（x）的分段函数的形式，通过讨论 a 的范围，求出 f（x）的最小值即可． 【详解】（Ⅰ）当 时，不等式 即 ， 当 时， 或 此时， ， 当 时， 或 此时， 当 时， 或 此时， ， 不等式的解集为 或 . (Ⅱ) 若 则 解得： 或 ， 若 则， 综上所述， 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对 值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式 与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵 活应用. （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 21.在直角坐标系 中， 曲线 的参数方程为 为参数） ，若以直角 坐标系中的原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系， 曲线 的极坐标方程为 为实数 ． （1）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （2）若曲线 与曲线 有公共点， 求 的取值范围 ． 【答案】（1） ， ， （2） 【解析】 试题分析：（1）先根据三角函数平方关系消参数得曲线 的普通方程，注意参数对自变量范 围的限制，再根据 将曲线 的极坐标方程化为直角坐标方程；（2）联立直 线方程与抛物线段方程，求出相切时以及过端点时 的取值，结合图像确定 的取值范围. 试题解析：解：（Ⅰ）因为 ，所以 ． 由 平方得： 又 两式相减得 ， 故曲线 的普通方程为 ， ． 另由 得 的直角坐标方程为 ． （Ⅱ）如图，当直线 过点 时， ； 当直线 与 相切时， 由 得 由 得 ， 从而，曲线 与曲线 有公共点时， ． （河北省武邑中学 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 22.在直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 ( 为参数),曲线 的直角坐标方 程为 .以平面直角坐标系的原点 为极点, 轴非负半轴为极轴建立直角坐标系, 射线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 ， 的极坐标方程； （2）设点 分别为射线 与曲线上 ， 除原点之外的交点，求 的最大值. 【答案】（1） ， .（2）2. 【解析】 试题分析：（1）将曲线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 化为普通方程，再根 据 ，可得曲线 、 的极坐标方程；（2）联立 得 ，求得 ，再联立 ，得 ，求得 ，进而可求得 的最大值. 试题解析：（1）由曲线 的参数方程 （ 为参数）消去参数 得 ，即 ， ∴曲线 的极坐标方程为 . 由曲线 的直角坐标方程 ， ， ∴曲线 的极坐标方程 . （2）联立 ，得 ∴ 联立 ，得 ∴ . ∴ . ∵ ，∴当 时， 有最大值 2. （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 22.在直角坐标系 中，将圆 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 倍，再把所得曲线上每一点向下平移 1 个单位得到曲线 ．以 为极点，以 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 ． （1）写出 的参数方程和 的直角坐标方程； （2）设点 在 上，点 在 上，求使 取最小值时点 的直角坐标． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 分析：（1）由平移及伸缩变换可得 ，由椭圆的参数方程可得参数形式，由 可得极坐标的直角坐标方程； （2）设 ， 的最小值，就是 到 距离 的最小值，利用点到直线距离 及三角函数的最值求解即可. 详解：（1） ：为 ，其参数方程为 （ 为参数）． ： ，其直角坐标方程为 ． （2）由（1）可设 ，由于 是直线，所以 的最小值，就是 到 距离 的最小值． ，当 时， 取最小值，最小值为 ．此时 的直 角坐标为 ． 点睛：本题主要考查了极坐标与直角坐标方程的互化及椭圆参数方程的应用，属于基础题. （辽宁省丹东市 2018 年高三模拟（二）理科数学试题） 23.设函数 ，若 ， ． （1）证明： ； （2）比较 与 的大小． 【答案】（1）见解析；（2）见解析 【解析】 分析：（1）由 ， ，解绝对值不等式可得 ， 的范围，利用 即可证得； （2）由 ，结合范围可证得. 详解：（1） ， 由 得 ． 从而 ， ， ．所以 ． （2） ． 由（1）得 ， ，所以 ， 故 ． 点睛：本题主要考查了解绝对值不等式及比较大小，属于中档题. （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 已知在直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的 极坐标方程为 ，曲线 的参数方程为 （ 为参数）. （1）求直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）设点 是曲线 上的一个动点，求它到直线 的距离 的最大值. 【答案】（1） ， ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）分别用极坐标方程与直角坐标方程的关系、参数方程与直角坐标方程的关系转化即可； （2）设 ，由点到直线的距离公式可得到 ，结合三角函数 求最值即可。 【详解】（1）由 得 ， 直线的直角坐标方程为 由 消 得曲线的直角坐标方程 （2）设 【点睛】本题考查了极坐标方程、参数方程及直角坐标方程间的转化，考查了三角函数求最 值，属于基础题。 （福建省龙岩市 2019 届高三第一学期期末教学质量检查数学（文科）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 设函数 . （1）解不等式 ； （2）若 ， 成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）通过分类讨论去掉绝对值，然后解不等式取并集即可；（2）结合 的范围去掉绝对值， 可得到 的单调性，令 即可。 【详解】（1）依题意 或 或 解得 （2） 在 上是减函数，在 上是增函数 ， ， ， ， ，解得 . 【点睛】绝对值不等式的解法： (1)用零点分段法解绝对值不等式的步骤：①求零点；②划区间、去绝对值号；③分别解去 掉绝对值的不等式；④取每个结果的并集，注意在分段时不要遗漏区间的端点值． (2)用图象法，数形结合可以求解含有绝对值的不等式，使得代数问题几何化，既通俗易懂， 又简洁直观，是一种较好的方法． （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 变为曲线 .以坐标原点为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）过点 作 的垂线交 于 两点，点 在 轴上方，求 ． 【答案】（1）曲线 的方程为 ,直线 的直角坐标方程为 (2)- 【解析】 【分析】 (1)将 代入 得，即可得到曲线 的方程；由 ，代入即可得到直 线 的直角坐标方程； （2）由题意，得过点 的垂线的参数方程为 （ 为参数），代入曲线 C 的方程， 根据参数的几何意义，即可求解. 【详解】(1)将 代入 得，曲线 的方程为 由 得 ， 因为 ，代入上式得直线 的直角坐标方程为 （2）因为直线 的倾斜角为 ，所以其垂线的倾斜角为 ， 过点 的垂线的参数方程为 ，即 （ 为参数） 代入曲线 的方程整理得 ， 设 两点对应的参数为 （由题意知 ） 则 ，且 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以 及直线的参数方程的应用，其中解中合理消参，以及合理利用直线参数方程几何意义是解答 的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检理科数学试题） 23.函数 ，其中 ，若 的解集为 。 （1）求 的值； （2）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立. 【答案】(1)a=2 (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）由题意知 不满足题意，当 时，由 得 ，即可求解； （2）由题意，对于任意实数 ，存在 ，使得 ，只需 ，分类讨论求得 ，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）由题意知 不满足题意， 当 时，由 得 ， 则 ,则 a=2 （2）设 ， 对于任意实数 ，存在 ，使得 ， 只需 ， 因为 ，当 时， 由 ，仅当 取等号 所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数 ，存在 ，使得 ，转换为 是解答的关键，着重考查 了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在同一直角坐标系中，经过伸缩变换 后，曲线 变为曲线 .以坐标原点为 极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 . （1）求 和 的直角坐标方程； （2）过点 作 的垂线交 于 两点，点 在 轴上方，求 ． 【答案】（1）曲线 的方程为 ,直线 的直角坐标方程为 (2)- 【解析】 【分析】 (1)将 代入 得，即可得到曲线 的方程；由 ，代入即可得到直 线 的直角坐标方程； （2）由题意，得过点 的垂线的参数方程为 （ 为参数），代入曲线 C 的方程， 根据参数的几何意义，即可求解. 【详解】(1)将 代入 得，曲线 的方程为 由 得 ， 因为 ，代入上式得直线 的直角坐标方程为 （2）因为直线 的倾斜角为 ，所以其垂线的倾斜角为 ， 过点 的垂线的参数方程为 ，即 （ 为参数） 代入曲线 的方程整理得 ， 设 两点对应的参数为 （由题意知 ） 则 ，且 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以 及直线的参数方程的应用，其中解中合理消参，以及合理利用直线参数方程几何意义是解答 的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题. （福建省厦门市 2019 届高三第一学期期末质检文科数学试题） 23.函数 ，其中 ，若 的解集为 。 （1）求 的值； （2）求证：对任意 ，存在 ，使得不等式 成立. 【答案】(1)a=2 (2)见证明 【解析】 【分析】 （1）由题意知 不满足题意，当 时，由 得 ，即可求解； （2）由题意，对于任意实数 ，存在 ，使得 ，只需 ，分类讨论求得 ，再利用基本不等式，即可求解； 【详解】（1）由题意知 不满足题意， 当 时，由 得 ， 则 ,则 a=2 （2）设 ， 对于任意实数 ，存在 ，使得 ， 只需 ， 因为 ，当 时， 由 ，仅当 取等号 所以原命题成立. 【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式求解及应用，其中解答中把对于任意实数 ，存在 ，使得 ，转换为 是解答的关键，着重考查 了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 22.已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O），且 的倾斜角为锐角 . （1）求曲线 C 和射线 的极坐标方程； （2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时 的值． 【答案】（1）C 的极坐标方程为 ，[或 ]； 的极坐标方程为 ；（2） 16， 【解析】 【分析】 （1）消去参数 ，求得曲线 的普通方程，再转为极坐标方程.射线 过原点，根据角度直接 写出 的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得 的表达式，求得三角形 面积的 表达式，利用三角函数的的最值求得三角形 面积的最小值，同时求得 的值. 【详解】解：（1）由曲线 C 的参数方程，得普通方程为 ， 由 ， ，得 ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 ，[或 ] 的极坐标方程为 ； （2）依题意设 ，则由（1）可得 ， 同理得 ，即 ， ∴ ∵ ∴ ，∴ ， △OAB 的面积的最小值为 16，此时 ， 得 ，∴ ． 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考 查三角函数求最值，属于中档题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试理科数学试题） 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当 时，对函数 去绝对值后，构造一次函数 ，一次函数恒大于或等于零， 则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得 的取值范围. 【详解】解：（1）①当 时， ， 解得 ， ②当 时， ， 解得 ， ③当 时， 解得 ， 综上知，不等式 的解集为 . （2）当 时， ， 设 ，则 ， 恒成立， 只需 ， 即 ，解得 【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数 学思想方法，属于中档题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 22.已知曲线 C 的参数方程为 （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴 建立极坐标系，过极点的两射线 、 相互垂直，与曲线 C 分别相交于 A、B 两点（不同于点 O），且 的倾斜角为锐角 . （1）求曲线 C 和射线 的极坐标方程； （2）求△OAB 的面积的最小值，并求此时 的值． 【答案】（1）C 的极坐标方程为 ，[或 ]； 的极坐标方程为 ；（2） 【解析】 【分析】 （1）消去参数 ，求得曲线 的普通方程，再转为极坐标方程.射线 过原点，根据角度直接 写出 的极坐标方程.（2）利用极坐标方程求得 的表达式，求得三角形 面积的 表达式，利用三角函数的的最值求得三角形 面积的最小值，同时求得 的值. 【详解】解：（1）由曲线 C 的参数方程，得普通方程为 ， 由 ， ，得 ， 所以曲线 C 的极坐标方程为 ，[或 ] 的极坐标方程为 ； （2）依题意设 ，则由（1）可得 ， 同理得 ，即 ， ∴ ∵ ∴ ，∴ ， △OAB 的面积的最小值为 16，此时 ， 得 ，∴ ． 【点睛】本小题主要考查参数方程转化为极坐标方程，考查利用极坐标求三角形的面积，考 查三角函数求最值，属于中档题. （广东省揭阳市 2018-2019 学年高中毕业班学业水平考试文科数学试题） 23.已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）当 时，不等式 恒成立，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时，利用零点分段法去绝对值，解一元一次不等式求得不等式的解集.（2）当 时，对函数 去绝对值后，构造一次函数 ，一次函数恒大于或等于零， 则需区间端点的函数值为非负数，由此列不等式组，解不等式组求得 的取值范围. 【详解】解：（1）①当 时， ， 解得 ， ②当 时， ， 解得 ， ③当 时， 解得 ， 综上知，不等式 的解集为 . （2）当 时， ， 设 ，则 ， 恒成立， 只需 ， 即 ，解得 【点睛】本小题主要考查利用零点分段法解含有两个绝对值的不等式，考查化归与转化的数 学思想方法，属于中档题. （广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 22.在平面直角坐标系中，以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 的参数方程为 （ 为参数， ）直线 的极坐标方程为 . （I）求曲线 的普通方程与直线 的直角坐标方程； （II）已知 ，直线 与曲线 的交点为 ，求 . 【答案】（I） ， （II）8 【解析】 【详解】（I）由 得 （1）式除以 2 与（2）式平方相减得 ， 曲线 C 的直角坐标方程为 由 得 ， 曲线 l 的直角坐标方程为 ； （II）由（I）可知，曲线 l 的直角坐标方程为 ， 故曲线 l 是倾斜角为 的直线，点 A 在直线 l 上， 则可设直线 l 的参数方程为 （ 为参数） 代入 ，并整理得： 。 设点为 M、N 对应的参数值分别为 ，则 |MA|•|NA|= =8. 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线 参数方程的几何意义，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程， 消去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元 法;极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可. （广东省清远市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 23.已知函数 . （I）若不等式 的解集为 ，求实数 的值； （II）在（I）的条件下，若 对一切实数 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（I） ； （II） . 【解析】 【分析】 （I）将原不等式转化为 ，利用绝对值不等式的解法求得 的范围，对比题目所给已 知条件，可求得 的值.（II）利用零点分段法将函数 表示成分段函数的 形式，由此求得 的最小值，从而求得 的取值范围. 【详解】（I）由 ，得 则 ，即 故得 。 （II）由（1）得， 令 则 所以，若 对一切实数 恒成立，实数 的取值范围是 。 解法二 由（1）得， =4 ∴ ，∴ , 所以，若 对一切实数 恒成立，实数 的取值范围是 。 【点睛】本小题主要考查含有一个绝对值的不等式的解法，考查含有两个绝对值问题的 求解策略，即零点分段法.属于中档题. （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为 ，将直线 绕极点 逆 时针旋转 个单位得到直线 ． （1）求 和 的极坐标方程； (2)设直线 和曲线 交于 两点，直线 和曲线 交于 两点，求 的最大值． 【答案】(1)C 的极坐标方程为 . 的极坐标方程为 (2) 【解析】 【分析】 （1）先将曲线 的参数方程消参转化为直角坐标方程，再将直角坐标方程转化为极坐标方 程，根据题意直接写出直线 的极坐标方程.（2）将 分别代入曲线 、直线 的极坐标方 程，求得 的表达式，再利用辅助角公式和三角函数的最值，求得 的最大 值. 【详解】（1）将 的参数方程化为普通方程得 ，将 代入， 并化简得 C 的极坐标方程为 . 的极坐标方程为 （2）依题意可得 ，即 ，即 因为 ，所以 ，当 时， 取得最大值 . 【点睛】本小题主要考查参数方程、普通方程、极坐标方程的相互转化，考查三角函数辅助 角公式以及最大值的求法，属于中档题. （广东省肇庆市 2019 届高三第二次（1 月）统一检测数学文试题） 23.选修 4－5：不等式选讲 已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）当 时，利用零点分段法去绝对值，将 变为分段函数，来求得 的解集.（2） 利用绝对值不等式求得 的最小值，这个最小值不小于 ，由此解得 的取值范围. 【详解】（1）不等式 ，即 . 可得 ，或 或 解得 ，所以不等式的解集为 . （2） 当且仅当 时，两处等号同时成立， 所以 ，解得 或 实数 的取值范围是 【点睛】本小题主要考查含有两个绝对值不等式的解法，考查绝对值不等式的运用，属于中 档题. （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求直线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； （2）求曲线 上的点 到 的距离的最大值. 【答案】（1）直线 ： ，曲线 ： （2） 【解析】 【分析】 （1）消去参数 t 即可得到直线 l 的普通方程，利用 ， ，y= 化简可得 曲线 的直角坐标方程；（2）由曲线 C 的方程，设 ，再由点到直线的距离公式 和三角函数的性质，即可求解． 【详解】（1） 消 ，得 ： . ， . ，即 ，即 . . 直线 ： ，曲线 ： . （2）曲线 的参数方程为 （ 为参数），设 ， 则 （其中 满足 ， ）. ， . 【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的互化，以及椭圆的参数方程的应用问题，考查 点到直线的距离公式，把距离转化为三角函数问题是解答的关键，着重考查了分析问题和解 决问题的能力． （河北省张家口市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 23.已知函数 . （1）若 ，求不等式 的解集； （2）若不等式 的解集非空，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义去掉绝对值符号，转化为三个不等式组，分别求解集，最后求并集. （2）不等式 有解，即 ,利用绝对值三角不等式可得 f(x)最大值，从而得到 a 的范围. 【详解】(1) 当 时， 无解； 当 时，由 ，得 ，解得 ， ； 当 时， 恒成立， . 所以不等式 的解集为 . （2） . 由 的解集非空， . 或 ， 解得 或 . 的取值范围为 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的有解问题，考查学生运用函数零点分类讨 论的解题思路和问题的转化能力. （河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题） 22.已知直角坐标系 的原点和极坐标系 的极点重合， 轴非负半轴与极轴重合， 单位长 度相同， 在直角坐标系下， 曲线 的参数方程为 ， 为参数） ． （1） 写出曲线 的极坐标方程； （2） 直线 的极坐标方程为 ，求曲线 与直线 在平面直角坐标系中的交点坐 标 ． 【答案】（1）曲线 的极坐标方程为 （2） 或 【解析】 【分析】 （1）由曲线 C 的参数方程，能求出曲线 C 的普通方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程． （2）直线 l 的极坐标方程化为直角坐标方程，得 x﹣y﹣2＝0，联立 ，能求出曲线 C 与直线 l 的交点坐标． 【详解】（1） 曲线 的参数方程为 ，（ 为参数） 曲线 的普通方程为 ， 曲线 的极坐标方程为 （2） 直线 的极坐标方程为 ， 将直线 的极坐标方程化为直角坐标坐标方程，得 ， 联立 ，解得 ，或 ， 曲线 与直线 的交点坐标为 或 . 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程的求法，考查曲线与直线的交点坐标的求法，考查直角 坐标方程、普通方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档题． （河南省驻马店市 2019 届高三上学期期中考试数学文试题） 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知：函数 ． （1） 若 ，解不等式 ； （2） 若函数 有最小值， 求实数 的取值范围 ． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）分①x ；②x ，两种情况讨论去绝对值解不等式，然后结果相并； （2）将 f（x）去绝对值变为分段函数：）f（x）＝|3x﹣1|+ax+2 ，要使 f （x）有最小值，必须有： ，解得即可． 【详解】（1）当 时， ，所以不等式 ，即为 ，讨论： 当 时， ，解之得 ； 当 时， ，解之得 ， 综上，原不等式的解集为 . （2） ， 分析知函数 有最小值的充要条件为 ，即 . 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了函数思想及数形结合思想，属于中档题． （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数）， 在以平面直角坐标系的原点为极点、 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系 取相同单 位长度的极坐标系中，曲线 ： . （1）求曲线 的普通方程以及曲线 的平面直角坐标方程； （2）若曲线 上恰好存在三个不同的点到曲线 的距离相等，求这三个点的极坐标. 【答案】（1） ， ;（2） ， ， . 【解析】 【分析】 (1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求 出三个点的极径与极角. 【详解】解：（1）由 消去参数 得 ， 即曲线 的普通方程为 ， 又由 得 即为 ，即曲线 的平面直角坐标方程为 （2）∵圆心 到曲线 ： 的距离 ， 如图所示，所以直线 与圆的切点 以及直线 与圆的两个交点 ， 即为 所求． ∵ ，则 ，直线 的倾斜角为 ， 即 点的极角为 ，所以 点的极角为 ， 点的极角为 ， 所以三个点的极坐标为 ， ， . 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化， 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消 元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程， 只要将 和 换成 和 即可. （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试理科数学试题） 23.选修 4-5：不等式选讲：设函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）问题等价于关于 的不等式 有解， ，求出 a 的范围 即可． 【详解】解：（1） 可转化为 或 或 ， 解得 或 或无解. 所以不等式的解集为 . （2）依题意，问题等价于关于 的不等式 有解， 即 ， 又 ，当 时取等号. 所以 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 . 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对 值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式 与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵 活应用。 （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程：在平面直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数）， 在以平面直角坐标系的原点为极点、 轴的正半轴为极轴，且与平面直角坐标系 取相同单 位长度的极坐标系中，曲线 ： . （1）求曲线 的普通方程以及曲线 的平面直角坐标方程； （2）若曲线 上恰好存在三个不同的点到曲线 的距离相等，求这三个点的极坐标. 【答案】（1） ， ;（2） ， ， . 【解析】 【分析】 (1)把曲线 的参数方程与曲线 的极坐标方程分别转化为直角坐标方程；(2)利用图象求 出三个点的极径与极角. 【详解】解：（1）由 消去参数 得 ， 即曲线 的普通方程为 ， 又由 得 即为 ，即曲线 的平面直角坐标方程为 （2）∵圆心 到曲线 ： 的距离 ， 如图所示，所以直线 与圆的切点 以及直线 与圆的两个交点 ， 即为 所求． ∵ ，则 ，直线 的倾斜角为 ， 即 点的极角为 ，所以 点的极角为 ， 点的极角为 ， 所以三个点的极坐标为 ， ， . 【点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、直线极坐标方程和直角坐标方程的转化， 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参数的常用方法有：①代入消 元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法，极坐标方程化为直角坐标方程， 只要将 和 换成 和 即可. （湖北省宜昌市 2019 届高三元月调研考试文科数学试题） 23.选修 4-5：不等式选讲：设函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）通过讨论 x 的范围，求出不等式的解集即可； （2）问题等价于关于 的不等式 有解， ，求出 a 的范围 即可． 【详解】解：（1） 可转化为 或 或 ， 解得 或 或无解. 所以不等式的解集为 . （2）依题意，问题等价于关于 的不等式 有解， 即 ， 又 ，当 时取等号. 所以 ，解得 ，所以实数 a 的取值范围是 . 【点睛】含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对 值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式 与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵 活应用。 （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程，并指出曲线 是什么曲线； （2）若直线 与曲线 相交于 两点， ，求 的值. 【答案】(1) 曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为半径的圆. (2) 【解析】 【分析】 （1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论； （2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可 求解。 【详解】（1）由 （ 为参数），消去参数得 ， 故曲线 的普通方程为 . 曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为半径的圆. （2）由 ，展开得 ， 的直角坐标方程为 . 则圆心到直线 的距离为 ， 则 ，解得 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用， 重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一 般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解. 要结合题目本身特点，确定选择何种方程. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（理）试题） 23.设函数 . （1）当 时，求关于 的不等式 的解集； （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集； （2）因为 ，得 ，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。 【详解】（1）因为 ， 所以 的解集为 . （2）因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法 二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化 函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），在以坐标为极点， 轴正半轴为极轴的极坐标系中，直线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的普通方程，并指出曲线 是什么曲线； （2）若直线 与曲线 相交于 两点， ，求 的值. 【答案】(1) 曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为半径的圆. (2) 【解析】 【分析】 （1）由曲线的参数方程，消去参数，即可得到曲线的普通方程，得出结论； （2）把直线的极坐标方程化为直角坐标方程，再由点到直线的距离公式，列出方程，即可 求解。 【详解】（1）由 （ 为参数），消去参数得 ， 故曲线 的普通方程为 . 曲线 的轨迹是以 为圆心，3 为半径的圆. （2）由 ，展开得 ， 的直角坐标方程为 . 则圆心到直线 的距离为 ， 则 ，解得 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用， 重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一 般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解. 要结合题目本身特点，确定选择何种方程. （湖南省湘潭市 2019 届高三上学期第一次模拟检测数学（文）试题） 23.设函数 . （1）当 时，求关于 的不等式 的解集； （2）若 在 上恒成立，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值的意义，取到绝对值号，得到分段函数，进而可求解不等式的解集； （2）因为 ，得 ，再利用绝对值的定义，去掉绝对值号，即可求解。 【详解】（1）因为 ， 所以 的解集为 . （2）因为 ，所以 ， 即 ，则 ， 所以 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法 二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化 函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的 参数方程为 （ 为参数），过原点 且倾斜角为 的直线 交 于 、 两点. （Ⅰ）求 和 的极坐标方程； （Ⅱ）当 时，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）结合 消去参数，得到极坐标方程，即可。（2）将直线的极坐标方程， 代入曲线的极坐标方程，得到 ，用 表示 ，结合三角函数的性质，计算范围，即可。 【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线 的极坐标方程为 . 曲线 的普通方程为 ， 因为 ， ， ， 所以极坐标方程为 . （Ⅱ）设 ， ，且 ， 均为正数， 将 代入 ， 得 ， 当 时， ， 所以 ， 根据极坐标的几何意义， ， 分别是点 ， 的极径. 从而： . 当 时， ， 故 的取值范围是 . 【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大。 （湖南省长沙市 2019 届高三上学期统一检测文科数学试题） 23.已知函数 . （Ⅰ）当 ，求 的取值范围； （Ⅱ）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）结合 a 取不同范围，去绝对值，计算 a 的范围，即可。（2）结合函数性质,计算 的 最大值,结合题意,建立关于 a 的不等式，计算 a 的范围，即可。 【详解】（Ⅰ） ， 若 ，则 ，得 ，即 时恒成立； 若 ，则 ，得 ，即 ； 若 ，则 ，得 ，此时不等式无解. 综上所述， 的取值范围是 . （Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需 . 当 时， ， . 因为 ， 所以当 时， . 于是 ，解得 . 结合 ，所以 的取值范围是 . 【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大。 （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 22.在平面直角坐标系 中，以 为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的 参数方程为 （ 为参数），过原点 且倾斜角为 的直线 交 于 、 两点. （Ⅰ）求 和 的极坐标方程； （Ⅱ）当 时，求 的取值范围. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （1）结合 消去参数，得到极坐标方程，即可。（2）将直线的极坐标方程， 代入曲线的极坐标方程，得到 ，用 表示 ，结合三角函数的性质，计算范围，即可。 【详解】（Ⅰ）由题意可得，直线 的极坐标方程为 . 曲线 的普通方程为 ， 因为 ， ， ， 所以极坐标方程为 . （Ⅱ）设 ， ，且 ， 均为正数， 将 代入 ， 得 ， 当 时， ， 所以 ， 根据极坐标的几何意义， ， 分别是点 ， 的极径. 从而： . 当 时， ， 故 的取值范围是 . 【点睛】本道题考查了极坐标方程的转化以及极坐标方程的性质，难度较大。 （湖南省长沙市 2019 届上学期高三统一检测理科数学试题） 23.已知函数 . （Ⅰ）当 ，求 的取值范围； （Ⅱ）若 ，对 ，都有不等式 恒成立，求 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）结合 a 取不同范围，去绝对值，计算 a 的范围，即可。（2）结合函数性质,计算 的 最大值,结合题意,建立关于 a 的不等式，计算 a 的范围，即可。 【详解】（Ⅰ） ， 若 ，则 ，得 ，即 时恒成立； 若 ，则 ，得 ，即 ； 若 ，则 ，得 ，此时不等式无解. 综上所述， 的取值范围是 . （Ⅱ）由题意知，要使不等式恒成立， 只需 . 当 时， ， . 因为 ， 所以当 时， . 于是 ，解得 . 结合 ，所以 的取值范围是 . 【点睛】本道题考查了绝对值不等式的解法，难度较大。 （江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 22.平面直角坐标系中，直线 的参数方程为 ( 为参数)，以原点为极点， 轴正半 轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）写出直线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程; （2）已知与直线 平行的直线 过点 ，且与曲线 交于 ， 两点，试求 ． 【答案】(1)直线 的极坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 .(2) . 【解析】 【分析】 (1)直线参数方程 消去 即可得直角坐标方程，极坐标方程 两边同时乘 以 后再按极坐标与直角坐标关系化简即可. （2）写出 的参数方程 ，代入曲线 的直角坐标方程可得 ，利用根 与系数的关系求得 即为所求. 【详解】（1）直线 的参数方程为 ，把直线 的参数方程化为普通方程为 ．由 ，可得 ，∴曲线 的直角坐标方程为 ． （2）直线 的倾斜角为 ，∴直线 的倾斜角也为 ，又直线 过点 ， ∴直线 的参数方程为 ( 为参数)， 将其代入曲线 的直角坐标方程可得 ， 设点 ， 对应的参数分别为 ， ． 由一元二次方程的根与系数的关系知 ， ． ∴ ． 【点睛】极坐标与直角坐标之间的转化： ， . 直线的参数方程中注意参数 的几何意义. （江西省新余市 2019 届高三上学期期末考试数学（理）试题） 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 (1)去掉绝对值得到分段函数形式，分段求解即可；（2） ， 根据绝对值三角不等式求得最值. 【详解】（1） , 或 或 ， 解得： 或 或无解， 综上，不等式 的解集是 （2） ，当 时等号成立， 不等式 有解， ， 或 ，即 或 ， 实数 的取值范围是 或 【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，通常是去掉绝对值分段解决；考查到了绝对 值三角不等式求最值的应用，不等式求最值常见的做法有绝对值三角不等式的应用，均值不 等式的应用. （四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题） 22.在平面直角坐标系 xoy 中，曲线 C 的参数方程是 （θ为参数）．以坐标原 点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系，直线 l 的极坐标方程为： （1）求曲线 C 的极坐标方程； （2）设直线θ＝ 与直线 l 交于点 M，与曲线 C 交于 P，Q 两点，已知｜OM｜•｜OP｜•｜ OQ）＝10，求 t 的值。 【答案】（1） ；（2） 或 . 【解析】 【分析】 （1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程，再将其化为极坐标方程． （2）将 代入 中，求得|OM|，将 代入 中，得 ，得到|OP| |OQ|=5．再根据|OM| |OP| |OQ|=10，解得 t 值即可. 【详解】（1）由曲线 C 的参数方程，可得曲线 C 的普通方程为 ， 即 ． ∵ ， ， 故曲线 C 的极坐标方程为 ． （2）将 代入 中，得 ，则 ． ∴ |OM|= ．将 代入 中，得 ． 设点 P 的极径为 ，点 Q 的极径为 ，则 ． 所以|OP| |OQ|=5．又 |OM| |OP| |OQ|=10，则 5 =10．∴ t= 或 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，考查了利 用极坐标解决长度问题，考查了学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． （四川省绵阳市 2019 届高三第二次（1 月）诊断性考试数学理试题） 23.已知函数 （1）m＝1 时，求不等式 f（x－2）+f（2x）＞4 的解集； （2）若 t＜0，求证： ≥ ． 【答案】（1）{x|x<0 或 x>2}；（2）见解析. 【解析】 【分析】 （1）将不等式|x-3|+|2x-1|>4 去绝对值 ，按当 x≥3、 及 x≤ 分三类分别解不等式. （2）由绝对值三角不等式直接证明. 【详解】（1）由 m=1，则 |x-1|，即求不等式|x-3|+|2x-1|>4 的解集． 当 x≥3 时，|x-3|+|2x-1|=3x-4>4 恒成立； 当 时，x+2>4，解得 x>2，综合得 ；当 x≤ 时，4-3x>4，解得 x<0，综合得 x<0；所以不等式的解集为{x|x<0 或 x>2}． （2）∵ t<0， ∴ ≤ = = ．所以 ≥ ． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及绝对值三角不等式的应用，考查了不等式的证明， 难度中档． （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，以原点 为极点， 轴正半轴为极轴，长度单位相同，建立极坐标 系，直线 的参数方程为 （ 为参数， 为 的倾斜角），曲线 的根坐标方程为 ，射线 ， ， 与曲线 分别交于不同于极点的 三点. （1）求证： ； （2）当 时，直线 过 , 两点，求 与 的值. 【答案】（1）见解析;（2） ， . 【解析】 试题分析：（1）由题意可知求得 及 ，即可证明 （2）当 时，求得 和 点坐标，求得直线 的方程，即可求得 与 的值． 试题解析：（1）证明：依题意， ， ， ， 则 . （2）当 时， 点的极坐标为 ， 点的极坐标为 直线 ， ∴ ， . （广西桂林、贺州、崇左三市 2018 届高三第二次联合调研考试数学（理）试题） 23.已知函数 . （1）若 ，使不等式 成立，求满足条件的实数 的集合 ； （2） 为 中最大正整数， ， ， ， ，求证： . 【答案】（1） ;（2）见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据题意，由零点分段讨论法分析不等式 ，得 到 的解析式，即可得到 . （2）由（1）可得 ，即可得 ，由基本不等式的性质可得 ， ， ，将 3 个式子 相乘，可得 ． 试题解析：（1）由已知得 则 ， 由于 ，使不等式 成立，所以 ， 即 （2）由（1）知 ，则 因为 ， ， ，所以 ， ， ， 则 ，（当且仅当 时等号成立）， ，（当且仅当 时等号成立）， （当且仅当 时等号成立）， 则 （当且仅当 时等号成立）， 即 . 【点睛】本题绝对值不等式的性质以解法，涉及基本不等式的性质以及应用，（2）的关键 是分析转化求出 的最值． （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程选讲 在平面直角坐标系中，以原点为极点，以 轴非负半轴为极轴建立极坐标系， 已知曲线 的 极坐标方程为 ，直线 的极坐标方程为 ． （Ⅰ）写出曲线 和直线 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 过点 与曲线 交于不同两点 ， 的中点为 ， 与 的交点为 ， 求 ． 【答案】（Ⅰ）C: ；直线 的直角坐标方程 （Ⅱ）8 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由极坐标方程与直角坐标方程的互化公式可直接得出结果； （Ⅱ）先写出直线 的参数方程，代入曲线 的普通方程，得到 ，再由直线 的参数方程 代入 ，得到 ，进而可得出结果. 【详解】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为： ； 即 的直角坐标方程为： （Ⅱ）直线 的参数方程 （ 为参数）， 将其代入曲线 的普通方程并整理得 ， 设 两点的参数分别为 ，则 因为 为 的中点，故点 的参数为 ， 设 点的参数分别为 ，把 代入 整理得 所以 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的互化，熟记公式即可；本题也考查了参 数的方法求弦长的问题，熟记参数方程即可求解，属于常考题型. （江西省重点中学盟校 2019 届高三第一次联考数学（理）试题） 23.选修 4-5；不等式选讲 若关于 的不等式 在实数范围内有解． （Ⅰ）求实数 的取值范围； （Ⅱ）若实数 的最大值为 ，且正实数 满足 ，求证： . 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）见证明 【解析】 【分析】 （Ⅰ）不等式 在实数范围内有解，也即是 成立， 求出 最大值即可； （Ⅱ）先由（Ⅰ）得到 ，因此 ， 展开之后结合基本不等式即可证明结论成立；也可利用柯西不等式 来证明. 【详解】解：（Ⅰ）因为 所以 又因为 所以 （Ⅱ）由（1）可知， ,则 方法一： 方法二：利用柯西不等式 【点睛】本题主要考查含绝对值的不等式，以及不等式的证明，常用到基本不等式或柯西不 等式等，需要考生灵活运用各类结论，属于常考题型. （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 22.曲线 的参数方程为 ，以原点为极点， 轴的正半轴为极轴，取相同的单 位长度建立极坐标系，曲线 关于 对称． (1)求 极坐标方程， 直角坐标方程； (2)将 向左平移 4 个单位长度，按照 变换得到 与两坐标轴交于 两点， 为 上任一点，求 的面积的最大值. 【答案】（1） ， ： ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)消 整理，即可得到 的普通方程，利用 即可得 极坐标方程，利用 消 得到 ，利用曲线 关于 对称即可 求得 ，即可求得 直角坐标方程。 (2)求出 的方程，，求出 ，利用参数方程可设 ，表示出点 P 到直 线的距离，利用辅助角公式即可求得 到 的距离 的最大值，问题得解。 【详解】解：（1） ： 消去 ，得 . 又 ，代入 得： . ∴ . ： 化为： ，又 关于 ： 对称， ∴ ，∴ ，∴ ： . （2） 向左平移 4 个单位长度得： ，按 变换后得： . ∴ ： ，∴令 ， ，∴ . 易得： ： ，设 到 的距离为 . 则 . 当 时， 有最大值 . ∴ . 【点睛】本题主要考查了直角坐标方程与极坐标方程互化，考查了平移，伸缩变换，还考查 了椭圆参数方程的应用及点到直线距离公司，辅助角公式，考查计算能力，属于中档题。 （湖南省长沙市长郡中学 2019 届高三上学期第一次适应性考试（一模）数学（文）试题） 23.已知 ． (1)解关于 的不等式 ； (2)对任意正数 ，求使得不等式 恒成立的 的取值集合 . 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 (1)对 的范围分类，分段表示出 ，即可求解 。 (2)利用基本不等式即可求得 的最小值，把问题转化成 ，对 的范 围分类即可求解。 【详解】解：（1） ， 由 解得 或 . （2）∵ . 当 时等号成立，即知 . 解不等式， 分情况讨论：①当 时， ，故 ； ②当 时， ，故 ； ③当 ，满足 . ∴ 的取值集合为 . 【点睛】本题主要考查了含两个绝对值的不等式解法及基本不等式得应用，考查了分类思想 及转化思想，考查计算能力，属于中档题。 （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 为参数 ，以 为极点， 轴正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． 求曲线 的普通方程及曲线 的直角坐标方程； 若 ，当曲线 与曲线 有两个公共点时，求 t 的取值范围． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 把已知参数方程平方相加即可得到曲线 的普通方程，展开两角差的余弦，结合 ， 即可求得曲线 的直角坐标方程； 画出两曲线的图形，数形结合即 可求得 t 的取值范围. 【详解】 由 ， 两式平方相加得： ； 由 ，得 ， ，即 ； 由 ，得曲线 ： ． 作出曲线 与曲线 的图象如图： 由图可知，当曲线 与曲线 有两个公共点时，实数 t 的取值范围为 ． 【点睛】本题主要考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程与普通方程的互化，考查数形 结合的解题思想方法，易错点是忽略 的范围，造成曲线 图象出现错误. （广东省广州市天河区 2019 届高三毕业班综合测试（二）理科数学试题） 23.已知函数 ． 当 时，求不等式 的解集； 若 ，都有 恒成立，求 m 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：（1）对 x 分类讨论，得到三个不等式组，分别解之，最后求并集即可；（2）对 于 ，都有 恒成立，转化为求函数的最值问题即可. 试题解析： （1）当 时， 当 解得 当 恒成立. 当 解得 ，此不等式的解集为 . ， 当 时， 当 时， ，当 单调递减， ∴f(x)的最小值为 3+m，设 当 ，当且仅当 时，取等号 即 时，g(x)取得最大值 . 要使 恒成立，只需 ，即 . （安徽省淮南市 2019 届高三第一次模拟考试数学（文）试题） 13.已知直线 过点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立坐标 系，圆 的极坐标方程为 ． 求圆 的直角坐标系方程及直线 的参数方程； 若直线 与圆 交于 两点，求 的最大值和最小值． 【答案】（1） （ 为参数）；（2）最大值为 ，最小值为 【解析】 分析：（1）直接代极坐标公式求出圆 C 的直角坐标方程，写出直线 的参数方程.(2)利用直 线的参数方程 t 的几何意义求 的最大值和最小值. 详解：（1）由 ，得 ，即 ， 所以圆 的直角坐标方程为 ， 直线 的参数方程为 （ 为参数）． （2）将 代入 ， 得 ， ， 设 ， 两点对应的参数分别为 ， ， 则 ， 因为 ， 所以 的最大值为 ，最小值为 ． 点睛：(1)本题主要考查极坐标参数方程和直线的参数方程，意在考查学生对这些基础知识 的掌握能力.(2) 直线参数方程中参数 的几何意义是这样的：如果点 在定点 的上方，则 点 对应的参数 就表示点 到点 的距离 ,即 .如果点 在定点 的下方，则点 对 应的参数 就表示点 到点 的距离 的相反数，即 . （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 22.在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以原点 为极 点，以 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的普通方程与曲线 的直角坐标方程； （2）试判断曲线 与 是否存在两个交点，若存在，则求出两交点间的距离；若不存在， 请说明理由． 【答案】（1） : ， ；（2）2 【解析】 【分析】 （1）直接把参数方程和极坐标方程转化成直角坐标方程． （2）先判断两圆的位置关系，再两圆作差得交点所在的直线方程，直线恰好过圆心即可得 两交点间的距离. 【详解】（1）曲线 的参数方程为 （ 为参数），化为普通方程为： ，曲线 的极坐标方程为 ，化为直角坐标方程为： （2）因为 ， ， ， 相交 ，设 与 的交点为 ，两圆的方程作差得 ，又 恰过 ， . 【点睛】本题考查了参数方程，极坐标和直角坐标方程的转化，也考查了两圆的位置关系， 属于中档题. （江西省上饶市重点中学 2019 届高三六校第一次联考数学（文）试卷） 23.已知函数 ． （1）当 时，求不等式 的解集； （2）若 的解集为 ，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 或 【解析】 【分析】 （1）当 时，对 x 分类讨论求解集即可. （2）由题意得 ，由含绝对值的不等式求最小值，即可求出 的取值范围. 【详解】（1）当 时，原不等式可化为 或 或 解得 所以不等式的解集为 （2）由题意可得 ， 当 时取等号. ， 即 或 【点睛】本题主要考查绝对值的意义，绝对值不等式的解法，函数的恒成立问题，体现了转 化的数学思想，属于基础题． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 22.选修 4—4：坐标系与参数方程 点 P 是曲线 C1：（x－2）2＋y2＝4 上的动点，以坐标原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立 极坐标系，以极点 O 为中心，将点 P 逆时针旋转 90°得到点 Q，设点 Q 的轨迹为曲线 C2． （Ⅰ）求曲线 C1，C2 的极坐标方程； （Ⅱ）射线 （ρ＞0）与曲线 C1，C2 分别交于 A，B 两点，设定点 M（2，0），求△MAB 的面积． 【答案】（Ⅰ） ： ， ： ；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用极坐标与直角坐标方程的互化可得曲线 的极坐标方程．设 Q（ ），则 ，代入即可得出曲线 C2 的极坐标方程． （Ⅱ）M 到射线 的距离为 ， ，由面积公式即可得出 面积． 【详解】（Ⅰ）曲线 的圆心为（2，0），半径为 2，把互化公式代入可得：曲线 C1 的极坐 标方程为 ＝4cosθ． 设 ，则 ，则有 ． 所以，曲线 的极坐标方程为 ． （Ⅱ） 到射线 的距离为 ， ， 则 ． 【点睛】本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程及其应用、三角形面积计算公式，考查了 推理能力与计算能力，属于中档题． （陕西省宝鸡市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文科）试题） 23.选修 4—5：不等式选讲 设函数 f（x）＝x2－x－1． （Ⅰ）解不等式：|f（x）|＜1； （Ⅱ）若|x－a|＜1，求证：|f（x）－f（a）|＜2（|a|＋1）． 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由题意得 ，转化为不等式组求解即可．（2）将原不等式变形后再利 用绝对值的三角不等式证明即可． 【详解】（1）由 得 ，即 ， 所以 ，解得 或 ， 所以原不等式的解集为 ． （2）证明： 因为 ， 所以 ＝ ． 【点睛】本题考查二次不等式的解法和绝对值三角不等式的应用，用三角不等式证明时一是 要注意将式子进行变形，使得满足能使用不等式的形式，同时还要注意等号成立的条件，属 于基础题． （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C2 的参数方程为 （α为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （ 1 ）求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程； （ 2 ）直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C1 和 C2 分别交于不同于原点的 A ， B 两点， 求 |AB| 的值． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用求出结果． 【详解】（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：y2=8x， 转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ． 曲线 C2 的参数方程为 （α为参数）， 转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0， 转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0． （2）设 A（ ）B（ ）， 所以： ， ， 所以： ． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应 用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． （广东省汕尾市普通高中 2019 年 3 月高三教学质量检测文科数学试题） 23.已知 的最小值为 ． 求 的值； 若实数 满足 ，求 的最小值． 【答案】（1）2；（2）1 【解析】 【分析】 （1）分类讨论将函数 f（x）化为分段函数，进而求出 t 的值； （2）根据 t 的值求得 a2+b2 的值，进而得到 a2+1+b2+2 的值再根据基本不等式求最小值． 【详解】（1）f（x）=|2x+2|+|x-1|= 故当 x=-1 时，函数 f（x）有最小值 2，所以 t=2． （2）由（1）可知 2a2+2b2=2，故 a2+1+b2+2=4， 所以 = 当且仅当 a2+1=b2+2=2，即 a2=1，b2=0 时等号成立，故 的最小值为 1． 【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． （广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 22.在直角坐标系 中，曲线 ： （ 为参数），以 为极点， 轴的正半轴为 极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 ． （1）分别求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程； （2） 是曲线 和 的一个交点，过点 作曲线 的切线交曲线 于另一点 ，求 ． 【答案】（1） ， ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由 、 得曲线 的直角坐标方程，由 得，曲线 的 普通方程；（2）联立两圆的方程得到 P 点坐标，则 ， ，进而得到直线 PQ 的直线方程，结合垂径定理得到结果. 【详解】（1）由 得，曲线 的普通方程为 , 由 、 得， 曲线 的直角坐标方程为 . （2）解 得， ， , 根据圆的对称性，不妨设 ，则 ， , 直线 的方程为 ，即 , 圆心 到直线 的距离 , 所以， . 【点睛】这个题目考查了参数方程和极坐标方程化为普通方程的化法，也涉及圆的知识的应 用，关于圆的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直 线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别 得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理。 选修 4-5：不等式选讲 （广东省江门市 2019 届高三高考模拟（第一次模拟）考试数学（理科）试题） 23.已知函数 ， ， ， 是常数． （1）解关于 的不等式 ； （2）若曲线 与 无公共点，求 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （ 1 ） 原 式 等 价 于 ， 由 绝 对 值 的 几 何 意 义 得 到 解 集 ；（ 2 ） 依 题 意 ， 无零点， ，去掉绝对值得到该函数的最小值 为 4 进而得到结果. 【详解】（1）依题意， , 由 得， , ，解 得， , 解 得， 或 , 不等式的解集为 . （2）依题意， 无零点 , 的最小值为 4，所以 ， 的取值范围是 . 【点睛】这个题目考查了绝对值不等式的解法，一般可以采用零点分区间去掉绝对值的方法 来解，也可以采用绝对值的几何意义来解. （广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），直线 的参数方 程为 （ 为参数 ，）. （1）当 时，求直线 的普通方程及曲线 的普通方程； （2）过点 的直线 交曲线 于 两点，若 ，求线段 的长. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 (1)利用代入消参法与平方消参法，得到直线 的普通方程及曲线 的普通方程；； (2) 将直线参数方程代入 得 ，利用韦达定理表 示 即可. 【详解】（1）解：当 时，直线 方程为 消参数 得： 又由 得 . （2）解：将直线参数方程代入 得 ， 由韦达定理可得： ， ， 依题意， ， ， 又由 ，解得 ， 所以 ， 所以 ， . 【点睛】过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可 正、可负、可为 0),若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| ＝|t|＝ . （广东省韶关市 2019 届高三 1 月调研考试数学理试题） 23.（1）解不等式： ； （2）若 ， ， ，证明： . 【答案】（1） ；（2）见解析 【解析】 【分析】 (1) 利用绝对值的几何意义，分段解不等式，将所得的结果并起来，得到绝对值不等式的解 集； (2)利用反证法结合均值不等式即可证明. 【详解】（1）不等式： 或 或 或 或 解集为 . （2）假设： 则 ， ， ， 故假设与已知矛盾！ 故假设不成立，原结论成立. 法 1 证明： ， 又 ， ， ， ， “=”号成立当且仅当“ ” 法 2 证明： ， ， ， ， ， ， “=”号成立当且仅当“ ” 【点睛】本题考查不等式的解法，考查不等式的证明，考查学生分析解决问题的能力，属于 中档题． （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 22.以原点 O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线 C 的极坐标方程为 （ ,a 为常数）），过点 、倾斜角为 的直线 的参数方程满足 ，（ 为参数）． （1）求曲线 C 的普通方程和直线 的参数方程； （2）若直线 与曲线 C 相交于 A、B 两点（点 P 在 A、B 之间），且 ，求 和 的值． 【答案】（1） 为参数）； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据 ， ，化曲线 C 的极坐标方程为直角坐标方程，根据点斜式得直 线 的普通方程，代入 解得 ，即得参数方程.（2）将直线参数方程代入 曲 线 C 方 程 ， 根 据 参 数 几 何 意 义 得 ， 解 得 ， 再 根 据 ，利用韦达定理解得结果. 【详解】（1）由 得 ， 又 ， ，得 ，∴C 的普通方程为 ， ∵过点 、倾斜角为 的直线 的普通方程为 ， 由 得 ∴直线 的参数方程为 （t 为参数）； （2）将 代入 ，得 ， 依题意知 则上方程的根 、 就是交点 A、B 对应的参数，∵ ， 由参数 t 的几何意义知 ，得 ， ∵点 P 在 A、B 之间，∴ ， ∴ ，即 ，解得 （满足 ），∴ ， ∵ ，又 ， ∴ ． 【点睛】本题考查直线的参数方程的标准形式的应用，考查基本分析应用求解能力，属基本 题. （广东省揭阳市 2019 届高三一模数学（文科）试题） 23.已知函数 ， （1）求函数 的值域； （2）若 时， ，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，再根据分段函数性质求值域，或根据绝对 值三角不等式求最值得值域，（2）先分离变量，转化为求对应函数最值问题，利用绝对值 定义将函数化为分段函数形式，再根据分段函数性质得最值，即得结果. 【详解】（1）法一： ， ∴ ， 的值域为[-2, 2]； 法二： ，得 ， ∴ 的值域为[-2, 2]； （2）由 得 ， 由 得 ， ∴ ， 设 ， ①当 时， ， ，∴ ； ②当 时， ， ，∴ ； 综上知， ， 由 恒成立，得 ，即 a 的取值范围是 ． 【点睛】含绝对值不等式的解法 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想. （河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题） 22.在直角坐标系 中，以 为极点， 轴为正半轴为极轴建立极坐标系.已知曲线 的极坐 标方程为 ，直线 与曲线 相交于 两点，直线 过定点 且倾斜角为 交曲线 于 两点. （1）把曲线 化成直角坐标方程，并求 的值； （2）若 成等比数列，求直线 的倾斜角 . 【答案】(1) 答案见解析 (2) 或 【解析】 【分析】 （1）将极坐标方程化为直角坐标方程可得 C 的直角坐标方程为 联立直线方程确定 MN 的长度即可； （2）联立直线的参数方程和 C 的直角坐标方程可得 ,结合韦达定理可 知 .据此得到关于 的三角方程，解方程即可确定直线 的倾斜角. 【详解】（1） 得 ，即 曲线 的直角坐方程为 , 直线 为 ，代入 ，得 . （2）直线 的参数方程为 （ 为参数），代入 得: ,即 恒成立. 设 两点对应的参数分别为 . . 由于 成等比数列， ,从而 或 . 【点睛】本题主要考查极坐标方程与直角坐标方程的转化，直线参数方程的几何意义等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （河北省沧州市 2019 年普通高等学校招生全国统一模拟考试理科数学试题） 23.已知 . （1）解不等式 ； （2）若 ，求实数 的最大值. 【答案】(1) 或 (2) 最大值为 【解析】 【分析】 （1）由题意可得 ，分类讨论求解不等式的解集即可； （2）原问题等价于 恒成立，考查函数 的性质确定实数 m 的 最大值即可. 【详解】（1） 或 或 得 或无解或 . 所以不等式 的解集为 或 . （2） 恒成立恒成立 令 结合二次函数的性质分析可知， 在 上单调递减，在 上单调递增. . 实数 的最大值为 . 【点睛】绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； 法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； 法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 22.极坐标系的极点为直角坐标系的原点，极轴为 x 轴的正半轴，两种坐标系中的长度单位 相同，已知曲线 C 的极坐标方程为 ． 求 C 的直角坐标方程； 直线 l： (t 为参数)与曲线 C 交于 A，B 两点，与 y 轴交于 E，求 的 值． 【答案】（Ⅰ） (x－1)2＋(y－1)2＝2． （Ⅱ）|EA|＋|EB|＝ 【解析】 分析：（1）根据 将极坐标方程化为直角坐标方程（2）将直 线参数方程代入圆方程，根据参数几何意义以及韦达定理求结果. 详解： (1)在ρ＝2(cosθ＋sinθ)中， 两边同乘ρ，得ρ2＝2(ρcosθ＋ρsinθ)， 则 C 的直角坐标方程为 x2＋y2＝2x＋2y， 即(x－1)2＋(y－1)2＝2. (2)将 l 的参数方程代入曲线 C 的直角坐标方程，化简得 t2－t－1＝0， 点 E 所对的参数 t＝0，设点 A，B 对应的参数分别为 t1，t2， 则 t1＋t2＝1，t1t2＝－1， 所以|EA|＋|EB|＝|t1|＋|t2|＝|t1－t2|＝ ＝ . 点睛：直线的参数方程的标准形式的应用 过点 M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线 l 的参数方程是 .(t 是参数，t 可正、可 负、可为 0) 若 M1，M2 是 l 上的两点，其对应参数分别为 t1，t2，则 (1)M1，M2 两点的坐标分别是(x0＋t1cos α，y0＋t1sin α)，(x0＋t2cos α，y0＋t2sin α). (2)|M1M2|＝|t1－t2|. (3)若线段 M1M2 的中点 M 所对应的参数为 t，则 t＝ ，中点 M 到定点 M0 的距离|MM0| ＝|t|＝ . (4)若 M0 为线段 M1M2 的中点，则 t1＋t2＝0. （河南省濮阳市 2019 届高三下学期摸底考试数学（理）试题） 23.已知函数 ， 1 当 时，解不等式 ； 2 若存在 ，使得 成立，求实数 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 试题分析：（1）当 时，得 ，从而两边平方即可求得不等式的解集；（2）由 题意，得 ，从而令 ，进而用零点分段法求得 的最小值， 由此求得实数 的取值范围． 试题解析：（1）当 时，由 得 ，两边平方整理得 ， 解得 或 , 原不等式解集为 . （2）由 得 ,令 ,则 , 故 ，从而所求实数 的取值范围为 . 考点：1、绝对值不等式的解法；2、不等式恒成立问题． （山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 22.已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以直角坐标系原点为极点，以 轴 正半轴为极轴并取相同的单位长度建立极坐标系. （1）求曲线 的极坐标方程，并说明其表示什么轨迹； （2）若直线 的极坐标方程为 ，求曲线 上的点到直线 的最大距离. 【答案】（1）曲线 ： 表示以 为圆心，2 为半径的圆. （2） 【解析】 【分析】 （1）利用平方和为 1 消去参数 得到曲线 C 的直角坐标方程，再利用 ，整理即 可得到答案；（2）将直线的极坐标方程化为直角坐标方程，求出圆心到直线的距离，加上 半径即可得到最大距离. 【详解】（1）由 ，得 ， 两式两边平方并相加，得 ， 所以曲线 表示以 为圆心，2 为半径的圆. 将 代入得 ，化简得 所以曲线 的极坐标方程为 （2）由 ，得 ，即 ，得 所以直线 的直角坐标方程为 因为圆心 到直线 的距离 ， 所以曲线 上的点到直线 的最大距离为 . 【点睛】本题考查直角坐标方程，参数方程及极坐标方程之间的互化，考查直线与圆的位置 关系的应用，属于基础题. （山东省菏泽市 2019 届高三下学期第一次模拟考试数学（文）试题） 23.已知函数 . （1）求 的解集； （2）若 ， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 (1) 根据绝对值定义去掉绝对值符号,即可得到不等式得解集；（2）不等式恒成立，等价于 ，根据绝对值定义去掉绝对值即可求得最大值，从而可 得 t 的范围. 【详解】（1） ，即 ，所以 所以 ，所以 ， 所以 的解集为 . （2）“ ”等价于“ ”， ， 成立，等价于 令 ， 则 所以 ，即 ，解得 故实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查绝对值不等式的解法，考查不等式恒成立问题的处理方法，属于基础题. （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系．直线 的极坐标方程为 ． （1）求曲线 的极坐标方程与直线 的直角坐标方程； （2）已知直线 与曲线 交于 两点，与 轴交于点 ，求 ． 【答案】（1） ： ，直线 ： ；（2）1 【解析】 【分析】 （1）由曲线 C 的参数方程，能求出曲线 C 的普通方程，由此能求出曲线 C 的极坐标方程； 直线 l 的极坐标方程转化为ρcosα+ρsinα＝2，由此能求出直线 l 的直角坐标方程． （2）联立 ，求出 M，N 的坐标，在直线 l：x+y﹣2＝0 中，令 y＝0，得 P （2，0），由此能求出|PM|•|PN|． 【详解】（1）∵曲线 的参数方程为 （ 为参数）， ∴曲线 的普通方程为 ，即 ， ∴曲线 的极坐标方程为 ． ∵直线 的极坐标方程为 ． ∴ ，即 ， ∴直线 的直角坐标方程为 ． （2）联立 ，得 或 ， ∴可设 ， 在直线 中，令 ，得 ， ∴ ， ， ∴ ． 【点睛】本题考查曲线的极坐标方程、直线的直角坐标方程的求法，考查两线段乘积的求法， 考查极坐标方程、参数方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是中档 题． （山东省泰安市 2019 届高三上学期期末考试数学（文）试题） 23.已知函数 ． （1）当 时，解不等式 ． （2）若存在 满足 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2）（0，4） 【解析】 【分析】 （1）分 3 种情况去绝对值解不等式，再相并； （2）等价于|2x﹣2|+|2x﹣m|＜2 有解，等价于左边的最小值小于 2，用绝对值不等式的性 质可求得最小值． 【详解】（1） 时， 或 或 ， 解得 或 ， ∴ 的解集为 ； （2）若存在 满足 等价于 有解， ∵ ，∴ ，解得 ， 实数 的取值范围是（0，4）． 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了绝对值三角不等式的应用，属于中档题． （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 22.[选修 4-4：坐标系及参数方程] 已知曲线 的参数方程为 （ 为参数），以平面直角坐标系 的原点 为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 的直角坐标方程及曲线 上的动点 到坐标原点 的距离 的最大值； （2）若曲线 与曲线 相交于 ， 两点，且与 轴相交于点 ，求 的值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【试题分析】(I)将 方程展开后化为直角坐标方程,利用勾股定理求得 的长度并求得其最 大值.(II)求出直线的参数方程,代入椭圆方程,利用直线参数的几何意义求得 的值. 【试题解析】 （Ⅰ）由 得 ， 即曲线 的直角坐标方程为 根据题意得 ， 因此曲线 上的动点 到原点 的距离 的最大值为 （Ⅱ）由（Ⅰ）知直线 与 轴交点 的坐标为 ，曲线 的参数方程 为: ，曲线 的直角坐标方程为 联立得 ……8 分 又 ， 所以 （西安市 2019 届高三年级第一次质量检测文科数学） 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设函数 .当 时， 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） . 【解析】 试题分析：（Ⅰ）利用绝对值的定义，去掉绝对值号，转化为一般不等式，即可求解不等式 的解集； （Ⅱ）利用绝对值三角不等式，即可求解 最小值 ，得 ，即可求解 实数 的取值范围. 试题解析： （Ⅰ）当 时， .由 ，解得 . 所以，不等式 的解集为 . （Ⅱ） （当且仅当 时取等号） （当且仅当 时取等号） . 综上，当 时， 有最小值 .故由题意得 ，解得 ，或 . 所以，实数 的取值范围为 . （江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 22.在平面直角坐标系 中，曲线 （ 为参数，实数 ），曲线 （ 为参数，实数 ）.在以 为极点， 轴的正半轴为极轴的极坐标系 中，射线 与 交于 ， 两点，与 交于 ， 两点.当 时， ； 当 ， . （1）求 和 的值. （2）求 的最大值. 【答案】（1） ， （2） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由曲线 消去参数，得到曲线 的普通方程，再由极坐标方程与直角的互化公 式，得到曲线的极坐标方程 ，由题意可得当 时，得 ，当 时， . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 的极坐标方程，进而得到 的表达式，利用三角 函数的性质，即可求解. 【详解】（Ⅰ）由曲线 ： （ 为参数，实数 ）， 化为普通方程为 ，展开为： ， 其极坐标方程为 ，即 ，由题意可得当 时， ，∴ . 曲线 ： （ 为参数，实数 ）， 化为普通方程为 ，展开可得极坐标方程为 ， 由题意可得当 时， ，∴ . （Ⅱ）由（Ⅰ）可得 ， 的极坐标方程分别为 ， . ∴ ， ∵ ，∴ 的最大值为 ， 当 ， 时取到最大值. 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，以及极坐标方程与直角坐标方程的互化，以 及曲线的极坐标方程的应用，其中解答中熟记参数方程、普通方程和极坐标方程的互化，合 理应用曲线的极坐标方程的转化是解答本题的关键，着重考查了转化思想和推理与运算能 力. （江西省临川一中，南昌二中，九江一中，新余一中等九校重点中学协作体 2019 届高三第 一次联考数学（理）试题） 23.已知函数 的图象的对称轴为 . （1）求不等式 的解集. （2）若函数 的最小值为 ，正数 ， 满足 ，求 的最小值. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意得到 m，代入 f(x)并将 f(x)去绝对值，分情况解不等式，再取并集即可. （2）先由绝对值不等式的性质求得 M，再构造均值不等式求解，即可得最小值． 【详解】（1）∵函数 的对称轴为 ，∴ ， ∴ . 由 ，得 或， 或 ， 解得 或 ，故不等死 的解集为 . （2）由绝对值不等式的性质，可知 ， ∴ ，∴ ， ∴ . （当且仅当 a= ， 时取等号）. 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法及性质的应用，考查了均值不等式的应用，属于简 单题． （晋冀鲁豫名校 2018-2019 年度高三上学期期末联考数学(理)试题） 22.在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数），以坐标 原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，直线 的极坐标方程 为 ，点 的极坐标为 ，且点 是直线 与圆 的一个公共点． （1）求实数 的值； （2）判断直线 与圆 的位置关系． 【答案】（1） ， ， ；（2）相交 【解析】 【分析】 （1）将点 A 的极坐标代入极坐标方程可得 的值；参数方程化为直角坐标方程可得实数 b 的值；由极坐标为 的点 在圆 上计算可得 c 的值； （2）由（1）求解知，直线 的直角坐标方程是 ，圆 的直角坐标方程是 ，由圆心到直线的距离与半径的大小关系即可确定直线与圆的位置关系. 【详解】（1）因为极坐标为 的点 在直线 上， 所以 ． 所以直线 的直角坐标方程是 ． 参数方程为 （ 为参数）的圆 的普通方程为 ， 所以 ． 又因为极坐标为 的点 在圆 上，所以 ，解得 ． （2）由（1）求解知，直线 的直角坐标方程是 ，圆 的直角坐标方程是 ， 所以圆 的圆心为 ，半径 ， 圆心 到直线 的距离 ． 因为 ，所以直线 与圆 相交． 【点睛】本题主要考查直角坐标方程与参数方程互化的方法，直线与圆的位置关系等知识， 意在考查学生的转化能力和计算求解能力. （河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中，直线 过点 ，且倾斜角为 ，以坐标原点 为极点， 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 (1)写出直线 L 的参数方程及曲线 C 的直角坐标方程； （2）若直线 与曲线 交于 两点，且弦 的中点为 求 的值. 【答案】(1) (2)2+2 【解析】 【分析】 (1)利用直线参数方程公式，及极坐标与直角坐标互化即可求解；（2）将直线参数方程公式 代入圆的普通方程，利用韦达定理及中点参数 【详解】(1)直线 的参数方程为： 为参数）， 曲线 的直角坐标方程为： （2）直线 的参数方程代入 得： 【点睛】本题考查直线参数方程，极坐标与直角坐标互化，直线与圆的位置关系，是基础题， 注意弦中点参数 t= （河北省五个一名校联盟 2019 届高三下学期第一次诊断考试数学（文）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 已知函数 (1)解关于 的不等式 (2) 若 , 的解集非空，求实数 的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 试题分析：第一步根据 解含绝对值不等式，化为两个一元二次不等式 分别解出，找出不等式的解集，第二步写出关于 的不等式 ，得到不等式等价于 的解集非空，根据“极值原理”，只需 大于 的最小值，根 据绝对值三角不等式求出最值，得到 的取值范围. 试题解析： （1）原不等式可化为： 即： 或 由 得 或 由 得 或 综上原不等式的解为 或 （2）原不等式等价于 的解集非空， 令 ，即 ， 由 ，所以 ， 所以 . 【点睛】解含有绝对值的不等式有三种方法，第一种只含有一个绝对值符号，一般使用公式： ， ；第二种不等式两边均有一个绝对值符号的，可 采用两边平方；第三种含有两个绝对值符号的一般采用零点分区间讨论，利用定义讨论去掉 绝对值符号是一种解决绝对值问题的通法，必须灵活会用，分离参数，利用“极值原理”求 参数的取值范围是常见题型常用方法. （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 22.在直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 (t 为参数),曲线 C 的方程为 以坐标原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系． 求直线 l 的普通方程与曲线 C 的极坐标方程； 直线 与直线 l 交于点 A，点 B 是曲线 C 上一点，求 面积的最 大值． 【答案】（1）直线 l 的普通方程为 ，曲线 C 的极坐标方程为 （2） ． 【解析】 【分析】 用代入法消去 t 可得直线 l 的普通方程；利用 ， 代入可得曲线 C 的极 坐标方程； 先求得 ，再利用 B 的极径求出三角形的面积，再求最值． 【详解】解： 由 得 代入 整理得 ， 直线 l 的普通方程为 ， 又 ， ， ， 曲线 C 的极坐标方程为 ， 由 得 ， ， 设 ，则 ， 的面积 ， ． 【点睛】此题主要考查曲线的参数方程与普通方程的互化，极坐标方程与普通方程的互化， 以及极坐标方程在求最值中的应用等方面的知识与运算能力，属于中档题型. （山东省泰安市 2019 届 3 月高三第一轮复习质量检测数学文科试题） 23.已知函数 ． 当 时，求不等式 的解集； 当 时，不等式 恒成立，求 m 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 代入 m 的值，得到关于 x 的不等式组，解出即可； 问题转化为 恒成立，当 时， ，令 ，求出 的最大值，求出 m 的范围即可． 【详解】解： 当 时， ， 由 ， 得 或 或 ， 解得： 或 ， 故不等式的解集是 ； 当 时， ， 恒成立， 即 恒成立， 整理得： ， 当 时， 成立， 当 时， ， 令 ， ， ， ， ， 故 ， 故 【点睛】本题考查了解绝对值不等式问题，考查分类讨论思想以及转化思想，是一道常规题． （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点为极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （1）求曲线 ， 的直角坐标方程； （2）判断曲线 ， 是否相交，若相交，请求出交点间的距离；若不相交，请说明理由. 【答案】（1） ； （2） 【解析】 【分析】 （1）由题意，消去参数，即可得到曲线 的直角坐标方程，再利用极坐标与直角坐标的互 化，即可得到曲线 的直角坐标方程； （2）由（1），将 代入曲线 ，求得 ， ，在由曲线 ， 两交点间 的距离公式，即可求解。 【详解】（1）将 ，消去参数，得曲线 的直角坐标方程为 ， 将 展开整理，得 ， 因为 ， ， 所以曲线 的直角坐标方程为 . （2）由（1）知曲线 是过定点 的直线，因为点 在曲线 的内部，所以曲线 与 曲线 相交.将 代入 并整理，得 ， 设曲线 ， 的两交点为 ， ，则 ， ， 故曲线 ， 两交点间的距离 . 【点睛】本题主要考查了参数方程与普通方程，极坐标与直角坐标的互化，以及弦长公式的 应用，其中解答中熟记互化公式，合理消去参数是解答本题的关键，着重考查了推理与运算 能力，属于基础题。 （河南省部分省示范性高中 2018-2019 学年高三数学试卷（理科）1 月份联考试题） 23.[选修 4-5：不等式选讲]:已知函数 . （1）当 时，求不等式 的解集； （2）设 ， ，且 的最小值为 .若 ，求 的最小值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）当 时， ，原不等式可化为 ，分类讨论即 可求得不等式的解集； （2）由题意得， 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ，利用基本不等 式即可求解其最小值。 【详解】（1）当 时， ，原不等式可化为 ，① 当 时，不等式①可化为 ，解得 ，此时 ； 当 时，不等式①可化为 ，解得 ，此时 ； 当 时，不等式①可化为 ，解得 ，此时 ， 综上，原不等式的解集为 . （2）由题意得， ， 因为 的最小值为 ，所以 ，由 ，得 ， 所以 ， 当且仅当 ，即 ， 时， 的最小值为 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式问题，对于含绝对值不等式的解法有两个基本方法， 一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法 二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化 函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向． （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题） 22.在极坐标系中，曲线 方程为 .以极点 为原点，极轴为 轴正半 轴建立直角坐标系 ，直线 ： ，（t 为参数， ）. （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设直线 与曲线 相交于 两点，求 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据公式 ，代入即可求得曲线 C 的直角坐标方程； （2）将直线的参数方程代入圆的方程，根据参数的几何意义，即可求解. 【详解】（1）由ρ2－2 ρsin(θ＋ )－4＝0 得， ρ2－2ρcosθ－2ρsinθ－4＝0． 所以 x2＋y2－2x－2y－4＝0． 曲线 C 的直角坐标方程为(x－1)2＋(y－1)2＝6． （2）将直线 l 的参数方程代入 x2＋y2－2x－2y－4＝0 并整理得， t2－2(sinα＋cosα)t－4＝0， t1＋t2＝2(sinα＋cosα)，t1t2＝－4＜0． ||OA|－|OB||＝||t1|－|t2||＝|t1＋t2|＝|2(sinα＋cosα)|＝|2 sin(α＋ )| 因为 0≤α＜ ，所以 ≤α＋ ＜ ， 从而有－2＜2 sin(α＋ )≤2 ． 所以||OA|－|OB||的取值范围是[0，2 ]． 【点睛】本题考查了极坐标方程的求法及应用，重点考查了转化与化归能力.通常遇到求曲 线交点、距离、线段长等几何问题时，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程 后求解，或者直接利用极坐标的几何意义求解.要结合题目本身特点，确定选择何种方程. （河北省唐山市 2019 届高三上学期第一次摸底考试数学（文）试题） 23.已知 ． 求不等式 解集； 若 时，不等式 恒成立，求 a 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 （1）由题意得 |，可得 ，整理可得 ，利用一元二次 不等式的解法可得结果不；（2） ，将 写出分段函数形式，利用单调性可得 时， 取得最大值 1，所以 的取值范围是 ． 【详解】（1）由题意得|x＋1|＞|2x－1|, 所以|x＋1|2＞|2x－1|2, 整理可得 x2－2x＜0，解得 0＜x＜2， 故原不等式的解集为{x|0＜x＜2}． （2）由已知可得，a≥f(x)－x 恒成立， 设 g(x)＝f(x)－x，则 , 由 g(x)的单调性可知，x＝ 时，g(x)取得最大值 1， 所以 a 的取值范围是[1，＋∞）． 【点睛】绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想； ④转化法，转化为一元二次不等式或对数、指数不等式. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 22.在平面直角坐标系 中，圆 的参数方程为 （ 为参数， 是大于 0 的常 数）.以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，圆 的 极坐标方程为 . （1）求圆 的极坐标方程和圆 的直角坐标方程； （2）分别记直线 ： ， 与圆 、圆 的异于原点的交点为 ， ，若圆 与圆 外 切，试求实数 的值及线段 的长. 【答案】(1) ， (2) ， 【解析】 试题分析：（1）先将圆 的参数方程化为直角坐标方程，再利用 可得圆 的极坐标方程，两边同乘以 利用互化公式 即可得圆 的直角坐标方程；（2）由（1） 知圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 ， 圆 与圆 外切 的性质列方程解得 ，分别将 代入 、 的极坐标方程，利用极径的几何意义可得 线段 的长. 试题解析：（1）圆 ： （ 是参数）消去参数 ， 得其普通方程为 ， 将 ， 代入上式并化简， 得圆 的极坐标方程 ， 由圆 的极坐标方程 ，得 ． 将 ， ， 代入上式， 得圆 的直角坐标方程为 ． （2）由（1）知圆 的圆心 ，半径 ；圆 的圆心 ，半径 ， ， ∵圆 与圆 外切， ∴ ，解得 ， 即圆 的极坐标方程为 ． 将 代入 ，得 ，得 ； 将 代入 ，得 ，得 ； 故 ． 【名师点睛】本题考查圆的参数方程和普通方程的转化、圆的极坐标方程和直角坐标方程的 转化以及极径的几何意义，消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消去参 数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法；极 坐标方程化为直角坐标方程，只需利用 转化即可. （河南省九师联盟 2019 届高三 2 月质量检测数学文试题） 23.已知函数 . （1）求不等式 的解集； （2）设函数 的最小值为 ，若不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） 或 ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由题，直接运用零点分段法，对 x 进行讨论，然后解不等式即可； （2）先根据第一问求出 的最小值为 ，然后再参变分离得 有解，再求 得 的最大值即可. 【详解】解：（1） ， ①当 时， ，由 ，解得 ； ②当 时， ，由 ，解得 ； ③当 时， ，由 ，解得 . 综上 或 . 所以不等式 的解集是 . （2）由（1）可知 ， 所以函数 在区间 单调递减，在区间 上单调递增， 所以函数 的最小值 . 由题意得 有解， 所以 有解. 设 ， 则 . 所以 . 故实数 的取值范围是 . 【点睛】本题考查了不等式选讲的内容，细心审题，耐心计算可得结果，属于较易题目. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数），以坐标原点极点， 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . （Ⅰ）求曲线 的普通方程和曲线 的直角坐标方程； （Ⅱ）点 为曲线 上一点，若曲线 上存在两点 ， ，使得 ，求 的取值 范围. 【答案】(1) ： ， ： .(2) 【解析】 【分析】 （1）根据 和 直接化简求得结果；（2）过 作圆切线，此时两切线 夹角为临界状态，需大于等于 才能出现 的情况，利用角的正弦的范围求出 的 范围. 【详解】（1）由题意得： （2）由（1） ，过 作曲线 的两条切线，切点分别记为 曲线 上存在两点 ，使得 即 ，即 【点睛】本题考查极坐标与参数方程部分的知识，关键在于通过临界值将问题转移到直角三 角形内的角的范围问题，构造不等式求解出最终结果. （安徽省江南十校 2019 届高三 3 月综合素质检测数学（文）试题） 23.[选修 4-5：不等式选讲] 设函数 . （Ⅰ）当 时，求函数 的定义域； （Ⅱ）若函数 的定义域为 ，求 的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）利用零点分段法讨论各个区间的解析式，得到取值范围；（2）利用恒成立思想，根据 绝对值不等式的性质求得最值，得到 的范围. 【详解】（1）当 时， 定义域基本要求为： 当 时， 当 时， ，无解 当 时， 综上： 的定义域为 （2）由题意得： 恒成立 【点睛】本题考查含绝对值不等式的解法和绝对值不等式的性质，关键在于本题定义域为 等价于恒成立，利用恒成立中的分离变量法求解. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 以坐标原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 的极坐标方程是 . （1）求曲线 的直角坐标方程； （2）设过点 且倾斜角为 的直线 和曲线 交于两点 ， ，求 的值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）由 ，可得 ，由互化公式可得直角坐标方程； （2）可以利用直线方程的点斜式将直线方程写出，之后与椭圆方程联立，消元利用弦长公 式求得结果，也可以根据条件，写出直线的参数方程，结合参数的几何意义，求得结果. 【详解】（I）将 ， 代入 ， 得曲线 的直角坐标方程为 . 即 为曲线 的直角坐标方程. 由 得 ， (II)法 1：依题意得直线 ，与椭圆 联立得 ， 即 ， 法 2：依题意得直线 ，与椭圆 联立得 ，即 ， 法 3：依题意得直线 （ 为参数），与椭圆 联立得 ，即 ， 【点睛】该题主要考查椭圆的极坐标方程与平面直角坐标方程的转化，直线的参数方程与参 数的几何意义，注意解决问题的方法不是唯一的. （陕西省咸阳市 2019 届高三高考模拟检测（二）数学（文）试题） 23.[选修 4-5：不等式选讲] 已知函数 ，且 的解集为 . （1）求实数 的值； （2）设 ， ， ，且 ，求 的最大值. 【答案】(1) (2) 【解析】 【分析】 （1）不等式 ，就是 ，求出解集，与 对比，便可求出实数 的值； （2）已知 ，求 的最大值，考虑到柯西不等式 ，对这个不等式进行化简即可得到答案. 【详解】（I）依题意得 ， 即 ， 可得 . （II）依题意得 （ ）由柯西不等式得， ， 当且仅当 ，即 ， ， 时取等号. ， ， ， 的最大值为 【点睛】这是一道关于绝对值不等式以及柯西不等式应用的题目，掌握绝对值不等式的解法 是解题的关键；细查题意可知，根据已知不等式的解集得到含绝对值的不等式是解题的突破 口. （广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 22.在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 （ t 为参数），曲线 C2 的参数方程为 （α为参数），以 O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系． （ 1 ）求曲线 C1 和 C2 的极坐标方程； （ 2 ）直线 l 的极坐标方程为 ，直线 l 与曲线 C1 和 C2 分别交于不同于原点的 A ， B 两点， 求 |AB| 的值． 【答案】（1） ， ；（2） 【解析】 【分析】 （1）直接利用转换关系，把参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间进行转换． （2）利用极径的应用求出结果． 【详解】（1）曲线 C1 的参数方程为 （t 为参数）， 转换为直角坐标方程为：y2=8x， 转换为极坐标方程为：ρsin2θ=8cosθ． 曲线 C2 的参数方程为 （α为参数）， 转换为直角坐标方程为：x2+y2-2x-2y=0， 转换为极坐标方程为：ρ-2cosθ-2sinθ=0． （2）设 A（ ）B（ ）， 所以： ， ， 所以： ． 【点睛】本题考查的知识要点：参数方程直角坐标方程和极坐标方程之间的转换，极径的应 用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型． （广东省汕尾市 2019 届高三普通高中 3 月教学质量检测理科数学试题） 23.已知 的最小值为 ． 求 的值； 若实数 满足 ，求 的最小值． 【答案】（1）2；（2）1 【解析】 【分析】 （1）分类讨论将函数 f（x）化为分段函数，进而求出 t 的值； （2）根据 t 的值求得 a2+b2 的值，进而得到 a2+1+b2+2 的值再根据基本不等式求最小值． 【详解】（1）f（x）=|2x+2|+|x-1|= 故当 x=-1 时，函数 f（x）有最小值 2，所以 t=2． （2）由（1）可知 2a2+2b2=2，故 a2+1+b2+2=4， 所以 = 当且仅当 a2+1=b2+2=2，即 a2=1，b2=0 时等号成立，故 的最小值为 1． 【点睛】本题考查分段函数的性质以及基本不等式在求最值中的应用，属于中档题． （江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题） 22.已知在极坐标系中，直线 的极坐标方程为 ，曲线 的极坐标方程为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴，建立平面直角坐标系. （1）写出直线 和曲线 的直角坐标方程； （2）若直线 ： 与曲线 交于 两点， ，求 的值. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）利用极坐标与直角坐标互化公式即可求解；（2）写出 的参数方程，代入曲线 C，利用 韦达定理及参数 t 的意义即可求解 【详解】（1）因为直线 ： ，故 ， 即直线 的直角坐标方程： ； 因为曲线 ： ，则曲线 直角坐标方程： . （2）设直线 参数方程为 将其代入曲线 的直角坐标系方程得 ， 设 对应的参数分别为 则 . 【点睛】本题考查极坐标与直角坐标互化，直线参数方程，直线与抛物线的位置关系，弦长 公式，准确计算是关键，是基础题. （江西省红色七校 2019 届高三第二次联考数学（理）试题） 23.已知函数 . （1）当 时，解不等式 ； （2）若 对于 恒成立，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ；（2） 或 .。 【解析】 试题分析： （1）根据分类讨论的方法去掉绝对值，化为不等式组求解．（2）先由绝对值的三角不等式 得 ，再根据 求得实数 的取值范围． 试题解析： （1） 时，不等式为 ，等价于 或 或 ， 解得 ，或 或 ， ∴ ， ∴不等式的解集是 . （2）由绝对值的三角不等式得 ， ∵ 对于 恒成立， ∴ ， 解得 或 . ∴实数 的取值范围为 ． （陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 22.在平面直角坐标系 中，以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，曲 线 ， . （1）以过原点的直线的倾斜角 为参数，写出曲线 的参数方程； （2）直线 过原点，且与曲线 ， 分别交于 ， 两点（ ， 不是原点）。求 的最大值. 【答案】(1) 圆的参数方程为 ，（ 为参数，且 ）(2) 【解析】 【分析】 （1）将圆的方程化为标准方程，根据倾斜角即可化为参数方程。 （2）将圆的方程化为极坐标方程，根据极坐标方程表示出 即可求得最大值。 【详解】解：（1）如图， ， 即 ， 是以 为圆心， 为半径，且经过原点的圆， 设 ， 则 ， 由已知，以过原点的直线倾斜角 为参数，则 ，而 ， 所以圆的参数方程为 ，（ 为参数，且 ） （2）根据已知 ， 的极坐标方程分别为 ， 故 ，其中 . 故当 时，等号成立， 综上， 的最大值为 . 【点睛】本题考查了直角坐标方程和参数方程的转化，极坐标方程的应用，属于中档题。 （陕西省 2019 届高三第二次教学质量检测数学（理）试题） 23.已知对任意实数 ，都有 恒成立. （1）求实数 的范围； （2）若 的最大值为 ，当正数 ， 满足 时，求 的最小值. 【答案】(1) (2)9 【解析】 【分析】 （1）根据绝对值三角不等式，代入即可求得 m 的取值范围。 （2）根据柯西不等式，代入即可求得 的最小值。 【详解】解（1） 对任意实数 ，都有 恒成立， 又 （2）由（1）知 ，由柯西不等式知： 当且仅当 ， 时取等号， 的最小值为 . 【点睛】本题考查了绝对值不等式的应用，柯西不等式的用法，属于中档题。 （四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学） 22.在平面坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以坐标原点 为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系并取相同的单位长度，曲线 的极坐标方程为 . （1）把曲线 的方程化为普通方程， 的方程化为直角坐标方程 （2）若曲线 , 相交于 两点， 的中点为 ，过 点作曲线 的垂线交曲线 于 两点，求 . 【答案】（1） ；（2） 【解析】 【分析】 利用代入法消去参数可得到曲线 的普通方程，利用 可得 的直角坐标方程； 利用 的结论，利用一元二次方程根和系数关系求得线段 AB 的中垂线参数方程为 为参数 ，代入 ，利用直线参数方程的几何意义可得结果． 【详解】 曲线 的参数方程为 其中 t 为参数 ，转换为直角坐标方程为： ． 曲线 的极坐标方程为 ．转换为直角坐标方程为： ． 设 ， ，且中点 ，联立方程为： ， 整理得： 所以： ， ，由于： ， ． 所以线段 AB 的中垂线参数方程为 为参数 ，代入 ， 得到： ，故： ， ， 所以： ， 故： ． 【点睛】本题考查参数方程和普通方程的转化、极坐标方程和直角坐标方程的转化以及直线 参数方程的应用，属于中档题. 消去参数方程中的参数，就可把参数方程化为普通方程，消 去参数的常用方法有：①代入消元法；②加减消元法；③乘除消元法；④三角恒等式消元法， 极坐标方程化为直角坐标方程，只要将 和 换成 和 即可. （四川省成都市实验外国语学校 2019 届高三二诊模拟考试理科数学） 23.已知函数 ，其中 . （1）若函数 的图像关于直线 对称，且 ，求不等式 的解 集. （2）若函数 的最小值为 ，求 的最小值及相应的 和 的值. 【答案】（1） ；（2） 的最小值为 2，相应的 【解析】 【分析】 先根据对称性求出 ，对 分三种情况讨论，分别去掉绝对值符号，然后求解不等式 组 ， 再 求 并 集 即 可 得 结 果 ； 根 据 绝 对 值 三 角 不 等 式 即 可 求 出 ， 可 得 ，再根据基本不等式即可求出. 【详解】 函数 的图象关于直线 对称， ， ， 当 时， ，解得 ， 当 时， ，此时不等式无解， 当 时， ，解得 ， 综上所述不等式 的解集为 ． ， 又 的最小值为 2， ， ，当且仅当 时取等 号， 故 的最小值为 2，其相应的 ． 【点睛】绝对值不等式的常见解法： ①利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想； ②利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想； ③通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 22.在直角坐标系 中，直线 的参数方程为 （ 为参数， ）. 以坐标 原点为极点， 轴正半轴为极轴建立极坐标系（且两种坐标系取相同的长度单位），曲线 的 极坐标方程为 ． （Ⅰ）求曲线 C 的直角坐标方程； （Ⅱ）设直线 与曲线 C 相交于 A、B 两点，若 16，求角 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ）角 的取值范围为 或 . 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 ， ，能求出曲线 的直角坐标方程；（Ⅱ）将直线 的参数方程代 入曲线 C 中得 ，运用韦达定理 ，解出 的范围，进而求出 的范围. 【详解】（Ⅰ）∵ ，∴ ，∴ ， 即 . 故曲线 C 的直角坐标方程为 . （Ⅱ）将直线 的参数方程代入曲线 C 中得 ， ∴ ，由题意 ， ， ∴ ， ∴ ，∴ 且 ， 又 ， ∴角 的取值范围为 或 . 【点睛】本题主要考查曲线的直角坐标方程的求法，直线的参数方程在求弦长时的合理运用， 属于中档题. （安徽省合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会 2019 届高三第二次联考数学（文）试题） 23.已知关于 的函数 ． （Ⅰ）若 对所有的 R 恒成立，求实数 的取值范围； （Ⅱ）若关于 的不等式 的解集非空，求实数 的取值范围． 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用绝对值三角不等式求出 的最小值 ，解不等式 即可；（Ⅱ）等 价于 ，即 ，分为 和 两种情形讨论即可. 【详解】（Ⅰ） ， ∴ 或 ， ∴ 或 . 故 m 的取值范围为 . （Ⅱ）∵ 的解集非空，∴ ， ∴ ， ①当 时， ， 恒成立，即 均符合题意； ②当 时， ， ， ∴不等式 可化为 ，解之得 . 由①②得，实数 的取值范围为 . 【点睛】本题主要考查了绝对值不等式的解法，绝对值三角不等式的应用，转化与化归思想， 属于中档题. （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 22.选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.在以原点 为极点， 轴 正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 极坐标方程为 . （Ⅰ）写出曲线 和 的直角坐标方程； （Ⅱ）若 ， 分别为曲线 ， 上的动点，求 的最大值. 【答案】（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ，曲线 的直角坐标方程为 （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）利用参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程间的关系，转化即可；（Ⅱ）设 点 的 坐 标 为 ， ，求出最大值即可。 【详解】解：（Ⅰ）曲线 的直角坐标方程为 ， 曲线 的直角坐标方程为 ，即 . （Ⅱ）设 点的坐标为 . ， 当 时， . 【点睛】本题考查了参数方程与普通方程、极坐标方程与直角坐标方程间的转化，考查了利 用参数方程求距离的最大值问题，属于中档题。 （安徽省合肥市 2019 届高三第二次教学质量检测数学（文）试题） 23.选修 4-5：不等式选讲 已知 . （Ⅰ）求 的解集； （Ⅱ）若 恒成立，求实数 的最大值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 （Ⅰ）由 得 ，解不等式即可；（Ⅱ）由题意知， 恒成立，当 时， ，然后利用基本不等式可求出 ，从而可求出 的最 大值。 【详解】解：（Ⅰ）由 得 ， 即 ，解得 ， 所以， 的解集为 . （Ⅱ） 恒成立，即 恒成立. 当 时， ； 当 时， . 因为 （当且仅当 ，即 时等号成立）， 所以 ，即 的最大值是 . 【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法，考查了不等式恒成立问题，考查了学生逻辑推理 能力，属于基础题。 （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 22.[选修 4-4：坐标系与参数方程] 在直角坐标系 中，曲线 的参数方程为 （ 为参数）.以原点 为极点， 轴非负半轴为极轴且取相同的单位长度建立极坐标系，曲线 的极坐标方程为 . 求曲线 的普通方程和 的直角坐标方程； 已知曲线 的极坐标方程为 ，点 是曲线 与 的交点，点 是曲线 与 的交点，且 ， 均异于原点 ， ，求 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）由曲线 C1 的参数方程消去参数能求出曲线 C1 的普通方程；曲线 C2 的极坐标方程化为 ρ2＝4ρsinθ，由此能求出 C2 的直角坐标方程． （2）曲线 C1 化为极坐标方程为ρ＝4cosθ，设 A（ρ1，α1），B（ρ2，α2），从而得到|AB| ＝|ρ1﹣ρ2|＝|4sinα﹣4cosα|＝4 |sin（ ）|＝4 ，进而 sin（ ）＝±1，由此能求出结 果． 【详解】解：（1）由 消去参数 ， 得 的普通方程为 . ∵ ，又 ， ∴ 的直角坐标方程为 . （2）由（1）知曲线 的普通方程为 ， ∴其极坐标方程为 ， ∴ . ∴ 又 ，∴ . 【点睛】本题考查曲线的普通方程、直角坐标方程的求法，考查角的求法，涉及到直角坐标 方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化 思想、函数与方程思想，是中档题． （广西南宁市、玉林市、贵港市等 2019 届高三毕业班摸底考试数学（文）试题） 23.已知函数 . （1）解不等式 ； （2）若关于 的不等式 有解，求实数 的取值范围. 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】 （1）由题意化简 ，分段解不等式，最后取并集即可； （2） 的不等式 有解等价于 . 【详解】（1）由题意化简 ， ∵ ， 所以 或 或 ， 解得不等式的解集为： . （2）依题意，求 的最小值， 的最小值为 9， ∴ . 【点睛】求解含参数的不等式存在性问题需要过两关： 第一关是转化关，先把存在性问题转化为求最值问题；不等式的解集为 R 是指不等式的恒 成立问题，而不等式的解集为∅的对立面也是不等式的恒成立问题，此两类问题都可转化为 最值问题，即 f(x)f(x)max，f(x)>a 恒成立 ⇔ a

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