广深珠三校2020届高三第1次联考数学（文）试卷

广深珠三校2020届高三第1次联考数学（文）试卷

文科数学试卷 一．选择题：本题共12小题，每小题5分． ‎ ‎1．集合，集合，则=‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎2．下列函数中，既是奇函数，又在上单调递增的是 ‎ A． B． C． D．‎ ‎3．1748年，瑞士著名数学家欧拉发现了复指数函数和三角函数的关系，并写出以下公式，这个公式在复变论中占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，根据此公式可知，表示的复数所对应的点在复平面中位于 A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎4．过点的直线被圆所截得的弦长最短时，直线的斜率为 A．1 B． C． D．‎ ‎5．下列说法中，错误的是 A．若命题，，则命题 ‎ B．“”是“”的必要不充分条件 ‎ C．“若，则，中至少有一个不小于‎2”‎的逆否命题是真命题 ‎ D．函数的图象关于对称 ‎6．已知各项均为正数的等差数列的公差为2，等比数列的公比为，则 A． B． C． D．‎ ‎7．函数的图象大致是 A． B． C． D．‎ ‎8．已知数列的前项和为，且，，则的值为 A. 768 B. ‎384 C. 192 D. 96‎ ‎9．等差数列的前项和为，若公差，，则 A. . B． C． D．‎ ‎10．过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，点O是坐标原点，若，则△AOB的面积为 A. B. C. D．‎ ‎11．函数，正确的命题是 A．值域为 B．在 是增函数 C．有两个不同的零点 D．过点的切线有两条 ‎12．如图，在三棱锥中，、、两两垂直，且,，．设是底面 内一点，定义，，，其中、、分别是三棱锥、三棱锥、三棱锥 的体积．若，，，且恒成立，则正实数 的最小值为 A．1 B．‎2 C．3 D．4‎ 二．填空题：本大题共4小题，每小题5分．‎ ‎13．已知函数，则 __________‎ ‎14．已知双曲线：的左右焦点分别是，过的直线与的左右两支分别交于两点，且，则=_____________‎ ‎15．已知曲线在点处的切线的倾斜角为，则的值为__________‎ ‎16．已知函数，若只有一个极值点，则实数的取值范围是__________‎ 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）的内角，，的对边分别为，，，已知，．‎ ‎（1）证明：为等腰三角形；‎ ‎（2）点在边上，，，求．‎ ‎18．(12分）已知某班的50名学生进行不记名问卷调查，内容为本周使用手机的时间长，如表：‎ 时间长（小时）‎ 女生人数 ‎4‎ ‎11‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎0‎ 男生人数 ‎3‎ ‎17‎ ‎6‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎（1）求这50名学生本周使用手机的平均时间长；‎ ‎（2）时间长为的7名同学中，从中抽取两名，求其中恰有一个女生的概率；‎ ‎（3）若时间长为被认定“不依赖手机”，被认定“依赖手机”，根据以上数据完成列联表：‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 男生 总计 能否在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系？‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎（参考公式：，）‎ ‎19．(12分）在四棱锥中，，，是的中点，面面.‎ ‎（1）证明：； ‎ ‎（2）若，求点到面的距离.‎ ‎20．(12分）设、分别是椭圆的左、右焦点．‎ ‎（1）若是第一象限内该椭圆上的一点，且，求点的坐标；‎ ‎（2）设过定点的直线与椭圆交于不同的两点、，且为锐角（其中为坐标原点），‎ 求直线的斜率的取值范围．‎ ‎21．(12分）已知．‎ ‎（1）若，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）当时，若不等式在，上恒成立，求的取值范围．‎ 请考生在第22、23题中任选一题做答，如果多做和，则按所做的第一题记分。做答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目的题号涂黑。‎ ‎22． [选修4-4：坐标系与参数方程]（本小题满分10分）‎ 在平面直角坐标系中，曲线：，曲线：（为参数），以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴，建立极坐标系.‎ ‎（1）求曲线，的极坐标方程；‎ ‎（2）曲线：（为参数，，）分别交，于，两点，当取何值时，取得最大值.‎ ‎23．[选修4－5：不等式选讲](本小题满分10分)‎ 函数的图象关于直线对称．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若的解集非空，求实数的取值范围．‎ 文科数学参考答案 一、选择题（每题5分，共60分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ 答案 C B B A D C A B D C B A 二、填空题（每题5分，共20分）‎ ‎13． 14．4 15． 16． ‎ 三、解答题（第17题10分，18-22题每题12分，共70分）‎ ‎17．‎ ‎【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（1），分 由正弦定理，可得：，整理可得，‎ ‎，‎ ‎，为等腰三角形，得证分 ‎（2）设，则，‎ 由余弦定理可得：，，分 ‎，‎ ‎，解得：，‎ ‎．分 ‎18【解答】（本题满分为12分）‎ ‎.（1），‎ 所以，这50名学生本周使用手机的平均时间长为9小时．　…3分 ‎（2）时间长为的有7人，记为、、、、、、，其中女生记为、、、，从这7名学生中随机抽取两名的基本事件有：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共21个．…5分 设事件表示恰有一位女生符合要求的事件有：，，，，，，，，，，，共12个．…6分 所以恰有一个女生的概率为．…7分 ‎（3）‎ 不依赖手机 依赖手机 总计 女生 ‎15‎ ‎5‎ ‎20‎ 男生 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 总计 ‎35‎ ‎15‎ ‎50‎ ‎…9分 ‎，…11分 不能在犯错概率不超过0.15的前提下，认为学生的性别与依赖手机有关系．…12分 ‎19【解答】（本题满分为12分）‎ 解法一：‎ ‎（Ⅰ）证明：取的中点，连接. （1分）‎ 因为是的中位线，所以. （2分）‎ 又，所以，所以四边形是平行四边形. （3分）‎ 所以，又所以. （5分）‎ ‎（Ⅱ）取的中点，连接，则，所以四边形是平行四边形.‎ 所以，所以在以为直径的圆上. （6分）‎ 所以，可得. （7分）‎ 因为面面，且面面=，‎ 所以面， （8分）‎ 即，可得. （9分）‎ 在面内做于，又面面，且面面=，所以面. （10分）‎ 由余弦定理可得，所以.（11分）‎ ‎，即到面的距离为. （12分）‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）证明：延长交于点，连接. （1分）‎ 因为，所以是的中位线. （2分）‎ ‎，所以是的中位线，‎ 所以. （3分）‎ 又所以. （5分）‎ ‎（Ⅱ）易得是等边三角形，所以. （6分）‎ 因为面面，且面面=，‎ 所以面，所以. （7分）‎ 所以，三棱锥是正四面体. （8分）‎ 所以在底面的投影是底面的中心，可得. （10分）‎ ‎，到面的距离为. （12分）‎ ‎20.【解答】（本题满分为12分）‎ 解：（Ⅰ）易知，，．‎ ‎∴，．设．则 ‎，．．．．．．2分 又，联立，解得，．．．．．．．5分 ‎（Ⅱ）显然不满足题设条件．可设的方程为，设，．‎ 联立 ‎∴，．．．．．．6分 由 ‎，，得．①．．．．．．7分 又为锐角，‎ ‎∴．．．．．．8分 又 ‎∴‎ ‎∴．②．．．．．．10分 综①②可知，∴的取值范围是．．．．．．．12分 ‎21.【解答】（本题满分为12分）‎ ‎（1）的定义域为（1分）‎ ‎，（2分）‎ 当时，；时，，‎ 函数在上单调递减；在上单调递增． （4分）‎ ‎（2）当时，，‎ 由题意，在，上恒成立 ‎①若，当时，显然有恒成立；不符题意．‎ ‎②若，记，则．（7分）‎ 显然在，单调递增，‎ 当时，当（3）时，（1）（4）‎ ‎，时，（1）（8分）‎ 当（6），（1）（7）0，‎ ‎（8）‎ 存在，使．（9分）‎ 当时，，，时，，‎ 在上单调递减；在，上单调递增 （10分）‎ 当时，（1），不全题意（11分）‎ 综上所述，所求的取值范围是 ‎22. [参数方程]（本题满分为10分）‎ 解：（Ⅰ）因为，，，‎ 的极坐标方程为，…2分 的普通方程为，即，对应极坐标方程为.…4分 ‎（Ⅱ）曲线的极坐标方程为（，）‎ 设，，则，，…5分 所以 ‎，…8分 又，，‎ 所以当，即时，取得最大值.…10分 ‎23.[不等式选讲] （本题满分为10分）‎ 解：（Ⅰ）由函数的图象关于直线对称，则恒成立，‎ 令得（4），即，‎ 等价于，或，或；‎ 解得，‎ 此时，‎ 满足，即；…5分 ‎（Ⅱ）不等式的解集非空，等价于存在使得成立，‎ 即，设，‎ 由（Ⅰ）知，，…7分 当时，，其开口向下，对称轴方程为，‎ ‎；…10分