2018-2019学年安徽省示范高中高一下学期第三次联考数学试题（解析版）

2018-2019学年安徽省示范高中高一下学期第三次联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年安徽省示范高中高一下学期第三次联考数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】解方程得出集合A，利用交集的性质即可求出.‎ ‎【详解】‎ 解方程可得 ‎.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查解一元二次方程和交集的性质.‎ ‎2．若角是第四象限角，则是（ ）‎ A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角 ‎【答案】C ‎【解析】已知是第四象限的角，由是将的终边逆时针旋转，得到角终边所在的位置.‎ ‎【详解】‎ 角是第四象限角.‎ ‎，则 故是第三象限角.故选C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识点是象限角，熟练掌握象限角的定义是解题的关键.‎ ‎3．执行如图所示的程序框图，若输入的，则输出的（ ）‎ A．-1 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】D ‎【解析】当输入时，满足，同时也满足，代入即可得答案.‎ ‎【详解】‎ 当输入时，满足，则执行下一个判断语句 满足 执行程序 将代入可得，故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了算法和程序框图。正确掌握程序框图的含义是解决此类问题得关键.‎ ‎4．若，，则与的大小关系为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】作差后因式分解，即可判断大小.‎ ‎【详解】‎ 因为，，‎ 所以，即,选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查作差法比较大小，考查基本分析判断能力，属基础题.‎ ‎5．要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】由，根据函数的图像变换规律可得解.‎ ‎【详解】‎ 要得到函数的图象.只需将函数的图象向左平移个单位长度.故选B.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的图像平移，解决此类问题应注意对函数图像平移的影响.‎ ‎6．在中，角，，所对的边分别是，，.若，则的形状是（ ）‎ A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形 ‎【答案】D ‎【解析】先根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式以及二倍角公式化简得角的关系，最后根据角的关系确定三角形形状.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 所以，‎ 从而.‎ 因为，,‎ 所以或，即或，‎ 故是等腰三角形或直角三角形.选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、两角和正弦公式以及二倍角公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎7．设，满足约束条件，则的最小值为（ ）‎ A．-5 B．-1 C．5 D．11‎ ‎【答案】A ‎【解析】作可行域，结合目标函数所表示的直线确定最优解，解得结果.‎ ‎【详解】‎ 作出可行域，当直线经过点时，.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性规划求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎8．某程序框图如图所示，输入下列四个函数，则可以输出的函数是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得，该程序框图输出的函数为偶函数且与轴有交点，根据偶函数的性质和零点的性质既可得出答案.‎ ‎【详解】‎ 由程序框图可知，输出的应为偶函数，且与轴有交点.‎ 选项：为奇函数 选项：为偶函数，与x轴无交点 选项：是偶函数且与x轴有交点 选项： 是奇函数 故选 ‎【点睛】‎ 本题考查算法和程序框图。正确识别程序框图的功能是解题的关键.‎ ‎9．设函数，则以下结论正确的是（ ）‎ A．函数在上单调递增 B．函数在上单调递减 C．函数在上单调递减 D．函数在上单调递增 ‎【答案】D ‎【解析】求出的单调区间，再判断各选项x的取值范围是否在函数单调区间上.‎ ‎【详解】‎ 令，‎ 解得，，‎ 在区间上是增函数.‎ 故选D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了三角函数的图像和性质，熟练掌握正弦函数的单调性是解题的关键..‎ ‎10．等比数列的前项和为，若，，则（ ）‎ A．20 B．10 C．20或-10 D．-20或10‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据等比数列和项性质列式求解.‎ ‎【详解】‎ 因为等比数列的前项和为,所以成等比数列，‎ 因为,所以，解得或，‎ 因为，所以，则.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列和项性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎11．在中，，为边上的一点，且，若为的角平分线，则 的取值范围为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先根据正弦定理用角A,C表示，再根据三角形内角关系化基本三角函数形状，最后根据正弦函数性质得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，为的角平分线，所以，‎ 在中，，因为，所以，‎ 在中，，因为，所以，所以，‎ 则 ‎,‎ 因为，所以,‎ 所以，则 ，‎ 即的取值范围为.选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数正弦定理、辅助角公式以及正弦函数性质，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ 二、填空题 ‎12．在等差数列中，，，则公差______.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】根据等差数列公差性质列式得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等差数列公差，考查基本分析求解能力，属基础题.‎ ‎13．设函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据分段函数的表达式直接代入即可.‎ ‎【详解】‎ ‎，‎ ‎，‎ 则.故答案为.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数值的计算，利用分段函数的表达式直接代入即可.‎ ‎14．如图给出的是计算的值的一个程序框图，则判断内的整数______.‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】由已知中该程序的功能是计算的值，最后一次循环的终值是，即小于满足循环，由循环变量的初值是 ，步长为2，由此可得出a的值.‎ ‎【详解】‎ ‎，，；，，；，，；…依次类推，，，；，，，则判断框内应填入的条件是.故答案为6.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查算法和程序框图。正确掌握程序框图的含义和识别程序框图的功能是解题的关键.‎ ‎15．如图，为测量某山峰的高度（即的长），选择与在同一水平面上的，为观测点.在处测得山顶的仰角为，在处测得山顶的仰角为.若米，，则山峰的高为______米.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设出OP，分别在直角三角形AOP和直角三角形BDP中，求得OA，OB，进而在△AOB中，由余弦定理求得山峰的高度．‎ ‎【详解】‎ 设OP＝h，在等腰直角△AOP中，得OA＝OP=．‎ 在直角△BOP中，得OP＝OBtan60°得OB＝h 在△AOB中，由余弦定理得 ‎，‎ 得h＝（米）．则山峰的高为m．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了解三角形的实际应用．考查了学生运用数学知识解决实际问题的能力．‎ 三、解答题 ‎16．在锐角中，角，，所对的边分别为，，，且.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若的面积为8，，求的值.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）利用正弦定理，将csinA＝acosC转化为，可得，从而可得角C的大小；(2)利用面积公式直接求解b即可 ‎【详解】‎ ‎（1）由正弦定理得，‎ 因为所以sinA＞0，从而，即，又，所以；‎ ‎(2)由 得b=8‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数中的恒等变换应用，考查正弦定理的应用，面积公式的应用，考查化归思想属于中档题．‎ ‎17．设数列的前项和为，且.‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）若，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据和项与通项关系求解即可，（2）先化简，再根据裂项相消法求和.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以，‎ 所以，即.‎ 因为，所以，所以.‎ 则数列是以首项为3，公比为3的等比数列，故.‎ ‎（2）因为，‎ 所以 ‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由和项求通项以及裂项相消法求和，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎18．某市准备建一个如图所示的综合性休闲广场.已知矩形广场的总面积为2000平方米，其中阴影部分为通道，通道的宽为1米，中间的两个小矩形完全相同.‎ ‎（1）用矩形的宽（米）表示中间的三个矩形的总面积（平方米）的函数关系式，并给出定义域；‎ ‎（2）当矩形的宽为何值时，取得最大值，并求出最大值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）时，取得最大值1805平方米.‎ ‎【解析】（1）根据条件表示各个矩形长与宽，再根据面积公式得结果，最后根据实际意义求定义域，（2）根据基本不等式求最值.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为矩形广场的总面积为2000平方米，所以，即.‎ 因为，所以，‎ 则 .‎ ‎（2），‎ 当且仅当，即时，等号成立，此时，取得最大值1805平方米.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式与基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎19．在中，角,,所对的边分别是，，，已知 .‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，，为垂足，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，‎ 所以 ‎ 因为，所以,即.‎ 因为，所以，所以.‎ 则.‎ ‎（2）因为，所以,.‎ 在中，由余弦定理可得 ，即.‎ 由，得.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题.‎ ‎20．已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式 的解集；‎ ‎（2）当时，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）解一元二次不等式即得结果，（2）先变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题，再根据基本不等式求对应函数最值，即得结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以.‎ 所以，即，‎ 解得或.‎ 故不等式的解集为.‎ ‎（2）当时，不等式恒成立等价于在上恒成立.‎ 因为，所以，‎ 则.‎ 当且仅当，即时，等号成立.‎ 故的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式恒成立问题以及基本不等式求最值，考查综合分析求解能力，属中档题.‎ ‎21．已知等差数列的前项和为，，，数列满足，‎ ‎，且的前项和为.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）求数列的通项公式及其前项和；‎ ‎（3）记集合，若的子集个数为32，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1），（2）（3）‎ ‎【解析】（1）根据条件列关于首项与公差的方程组，再代入等差数列前n项和公式即可，（2）根据叠乘法可得，再根据错位相减法求和，（3）先确定中的元素个数，再化简不等式并分离变量，转化研究对应数列单调性，根据单调性确定结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设数列的公差为，则，解得 ，所以.‎ ‎（2）由题意得，‎ 当时， ，‎ 又也满足上式，故，‎ 故 ①‎ ‎ ②‎ ‎① ②，得 ‎ 故.‎ ‎（3）由题意得，由（1）（2）知：，‎ 令 .‎ 则，，，，，，‎ 因为.‎ 所以当时，，.‎ 因为集合的子集个数为32，所以中的元素个数为5，‎ 所以的解的个数为5，‎ 因为，‎ 故.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查叠乘法求通项公式、错位相减法求和以及数列单调性，考查综合分析求解能力，属中档题.‎