2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期第二次（12月）月考数学（理）试题 解析版

2018-2019学年内蒙古杭锦后旗奋斗中学高二上学期第二次（12月）月考数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 内蒙古杭锦后旗奋斗中学2018-2019学年高二上学期第二次（12月）月考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．点P的直角坐标为，则点P的极坐标可以为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由直角坐标与极坐标互化公式即可求得对应点的极坐标.‎ ‎【详解】‎ ‎， ‎ 则点P的极坐标 故选C ‎【点睛】‎ 本题考查将直角坐标化为极坐标，属于基础题，解题中需要根据直角坐标化为极坐标的公式 准确代入求解.‎ ‎2．曲线的极坐标方程 化为直角坐标为    ‎ A． B． ‎ C．   D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 此题考查极坐标方程的知识 答案 B 点评：通过极坐标的公式就可以直接转化 ‎3．已知曲线的参数方程为（为参数），则该曲线离心率为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：先把曲线C化成普通方程，再求曲线的离心率.‎ 详解：由题得曲线C的普通方程为，‎ 所以曲线C是椭圆，a=4,.‎ 所以椭圆的离心率为.‎ 故选A.‎ 点睛：本题主要考查参数方程与普通方程的互化和椭圆的离心率的计算，属于基础题.‎ ‎4．抛物线 上的点到焦点的距离为，则的值为（ ）‎ A． 或 B． C． D． 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ 抛物线的准线方程为，由抛物线的定义有（负值舍去） ，此时，将点代入抛物线方程中，求出，选D.‎ ‎5．已知双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ）‎ ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】C；‎ ‎【解析】，故，即，故渐近线方程为 ‎.‎ ‎【学科网考点定位】本题考查双曲线的基本性质，考查学生的化归与转化能力.‎ ‎6．在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为为参数），则曲线C（ ）‎ A． 关于轴对称 B． 关于轴对称 C． 关于原点对称 D． 关于直线对称 ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得，曲线的参数方程可化为，化为普通方程为，表示以为圆心，以为半径的圆，故选A．‎ 考点：参数方程与普通方程的互化．‎ ‎7．若程序框图如图所示，则该程序运行后输出k的值是（　）‎ A． 5 B． 6 C． 7 D． 8‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 试题分析：当输入的值为时，第一次循环，；第二次循环，；第三次循环，；第四次循环，；第五次循环，；退出循环输出结果为，故选A.‎ 考点：1、程序框图；2、条件结果及循环结构.‎ ‎8．“直线y＝x＋b与圆x2＋y2＝1相交”是“0＜b＜1”的（   ）‎ A． 充分不必要条件 B． 必要不充分条件  C． 充要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 当时，直线与圆都相交，因此题中应选必要不充分条件．‎ ‎9．直线 的位置关系是( )‎ A． 平行 B． 垂直 C． 相交不垂直 D． 与有关，不确定 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 极坐标方程 即： ,‎ 整理可得： ，‎ 据此可得直线 的位置关系是垂直 .‎ 本题选择B选项.‎ ‎10．已知两点A（﹣1，0），B（0，1），点P是椭圆 上任意一点，则点P到直线AB的距离最大值为（   ）‎ A． B． C． 6 D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意得直线AB的方程为，点到直线的距离最大值即为图中过点P且与直线AB平行的切线与直线AB之间的距离。‎ 设过点P的切线方程为消去y整理得，‎ 由，解得。‎ 结合图形可得过点P的切线方程为，‎ 因此点到直线的距离最大值为。选A。‎ 点睛：本题的解法体现了数形结合的应用，为了求椭圆上的点到直线距离的最大值，将其转化成椭圆的切线问题，由判别式求得参数m的值，再根据两条平行线间的距离公式求解即可。当然本题也可以求椭圆上的点到直线的距离最小值。‎ ‎11．在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别为棱AA1、BB1的中点，G为棱A1B1上的一点，且A1G=λ（0≤λ≤1），则点G到平面D1EF的距离为（   ） ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 考点：空间点、线、面的位置．‎ 分析：因为A1B1∥EF，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，由三角形面积可得所求距离．‎ 解答：解：因为A1B1∥EF，G在A1B1上，所以G到平面D1EF的距离即是A1到面D1EF的距离，‎ 即是A1到D1E的距离，D1E=，由三角形面积可得所求距离为，‎ 故选D 点评：本题主要考查空间线线关系、线面关系，点到面的距离等有关知识，特别是空间关系的转化能力．‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别是， 正三角形的一边 与双曲线左支交于点B，且， 则双曲线C的离心率的值是（   ）‎ A． ‎ B． ‎ C． ‎ D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由三角形为正三角形可得 的坐标，过点B作x轴的垂线，由三角形相似可得点B的坐标，代入双曲线方程化解求离心率的值.‎ ‎【详解】‎ 过点B作x轴垂线，垂足是C，如图所示： ， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 点B的坐标 ‎ 点B在双曲线上 则 ‎ 化解得 ‎ 解得 ‎ 故选B ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线离心率的求解，属于中档题，解题的关键是利用题目中的几何关系得到关于a、b、c的齐次式，再将b消去后通过化解得到关于e的方程.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．若命题：是真命题，则实数的取值范围是______．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：命题：“对，”是真命题.当时，则有；当时，则有且，解得.综上所示，实数的取值范围是.‎ 考点：1.全称命题；2.不等式恒成立 ‎14．如图所示，在棱长为2的正方体 中，E,F 分别是，的中点，那么异面直线 和 所成角的余弦值等于________．‎ ‎【答案】.‎ ‎【解析】‎ 以AD,DC,DD1建立空间直角坐标系，则： 得直线和所成角的余弦值等于 ‎15．阅读程序框图，如果输出的函数值在区间内，则输入的实数x的取值范围是_______．‎ ‎【答案】．[-2,-1]‎ ‎【解析】‎ 解：‎ 解：分析程序中各变量、各语句的作用再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是计算分段函数f（x）=的函数值．又∵输出的函数值在区间[1/4，1/2]内，‎ ‎∴x∈[-2，-1]‎ ‎16．已知椭圆 的离心率e= ，A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点，直线PA,PB的倾斜角分别为，则 =________.‎ ‎【答案】7‎ ‎【解析】‎ 试题分析：因为A,B是椭圆的左右顶点，P为椭圆上不同于AB的动点， ，，‎ 考点：本题考查椭圆的另外一个定义 点评：椭圆的定义不只是书上给的第一定义，还有其他的定义，本题中椭圆上的点与两顶点连线的斜率乘积为定值，这也是定义，将三角公式展开分子分母同除以，得到斜率乘积 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）的焦点为F并且经过点A（1，﹣2）．‎ ‎（1）求抛物线C的方程；‎ ‎（2）过F作倾斜角为45°的直线l，交抛物线C于M，N两点，O为坐标原点，求△OMN的面积。‎ ‎【答案】（1）y2=4x（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）把点A（1，-2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），解得p即可得出；（2）F（1，0）．设M，N．直线l的方程为：y=x-1．与抛物线方程联立可得根与系数的关系，利用弦长公式可得．利用点到直线的距离公式可得：原点O到直线MN的距离d．利用△OMN的面积即可得出 试题解析：（1）把点A（1，﹣2）代入抛物线C：y2=2px（p＞0），可得（﹣2）2=2p×1，解得p=2．‎ ‎∴抛物线C的方程为：y2=4x．‎ ‎（2）F（1，0）．设M（x1，y1），N（x2，y2）．‎ 直线l的方程为：y=x﹣1．联立，化为x2﹣6x+1=0，∴x1+x2=6，x1x2=1．‎ ‎∴|MN|===8．原点O到直线MN的距离d=．∴△OMN的面积S===．‎ 考点：抛物线的简单性质 ‎18．设命题实数满足，其中，命题实数满足．‎ ‎（1）若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若是的充分不必要条件，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：（1）当时，． ． 据此可得的取值范围是． ‎ ‎（2）由题意可知q是p的充分不必要条件， 其中，, 且，故．‎ 详解：（1）当时，由，得． ‎ 由，得，所以． ‎ 由p∧q为真，即p，q均为真命题，‎ 因此的取值范围是． ‎ ‎（2）若￢p是￢q的充分不必要条件，可得q是p的充分不必要条件， ‎ ‎ 由题意可得，, ‎ ‎ 所以，因此且，解得．‎ 点睛：本题主要考查命题的相关结论，集合之间的关系等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．以为极点，轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立极坐标系．‎ ‎（Ⅰ）写出的极坐标方程；‎ ‎（Ⅱ）设曲线经伸缩变换后得到曲线，射线（）分别与和交于,两点，求．‎ ‎【答案】（I）；（II）．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（I）先将曲线的方程化为普通方程，在利用直角坐标与极坐标的互化，化为极坐标方程；（II）根据，代入的方程，得出的方程为 ‎，即可求解，进而求解．‎ 试题解析：（Ⅰ）将消去参数，化为普通方程为，‎ 即，‎ 将代入，得，‎ 所以的极坐标方程为．‎ ‎（Ⅱ）将代入得，所以的方程为．‎ 的极坐标方程为，所以．‎ 又，所以．‎ 考点：极坐标方程和参数方程、伸缩变换等．‎ ‎20．如图,棱锥的地面是矩形, 平面,,.‎ ‎（1）求证: 平面;‎ ‎（2）求二面角的大小;‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）利用空间向量证明线面垂直，即证平面的一个法向量为 ，先根据条件建立恰当直角坐标系，设立各点坐标，利用向量数量积证明为平面的一个法向量，最后根据线面垂直判定定理得结论（2）利用空间向量求二面角，先利用解方程组的方法求出平面法向量，利用向量数量积求出两法向量夹角，最后根据二面角与法向量夹角关系确定二面角大小 试题解析:证：（1）建立如图所示的直角坐标系，‎ 则A（0，0，0）、D（0，2，0）、P（0，0，2）.‎ 在Rt△BAD中，AD=2，BD=，‎ ‎∴AB=2.∴B（2，0，0）、C（2，2，0），‎ ‎∴‎ ‎∵，即BD⊥AP，BD⊥AC，又AP∩AC=A，∴BD⊥平面PAC.‎ ‎（2）由（1）得.‎ 设平面PCD的法向量为，则，‎ 即，∴故平面PCD的法向量可取为 ‎∵PA⊥平面ABCD，∴为平面ABCD的法向量. ‎ 设二面角P—CD—B的大小为q，依题意可得.‎ ‎21．在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）．在以坐标原点为极点， 轴的非负半轴为极轴的极坐标系中，曲线.‎ ‎（1）写出曲线，的普通方程；‎ ‎（2）过曲线的右焦点作倾斜角为的直线，该直线与曲线相交于不同的两点，求的取值范围 ‎【答案】（1），（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）先根据消参数得的普通方程，由，，，将极坐标方程化为的普通方程（2）先写出直线的参数方程，再代入曲线直角坐标方程，根据直线参数几何意义得，结合韦达定理代入化简得.最后根据倾斜角范围，确定的取值范围．‎ 试题解析：解：（1）由于曲线的参数方程为（为参数），‎ 则曲线的普通方程为：， ‎ ‎∵，，，‎ 曲线，可化为：，‎ 即曲线的普通方程为：； ‎ ‎（2）因为曲线的右焦点的坐标为，‎ 所以直线的参数方程为：（为参数）. ‎ 将直线的参数方程代入，‎ 得， ‎ 则.‎ 直线与曲线相交于不同的两点，‎ ‎，‎ ‎， ‎ ‎，‎ 因此，的取值范围为.‎ ‎22．已知椭圆C：，圆Q（x﹣2）2+（y﹣）2=2的圆心Q在椭圆C上，点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为 ．‎ ‎ ‎ ‎（1）求椭圆C的方程； ‎ ‎（2）过点P作互相垂直的两条直线l1 .l2 ， 且l1交椭圆C于A，B两点，直线l2交圆Q于C，D两点，且M为CD的中点，求△MAB的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) 点P（0，）到椭圆C的右焦点的距离为可得c的值，圆心在椭圆上可得a、b的方程， 再由 即可解得a、b的值；‎ ‎（2）讨论两直线的斜率不存在时,求得三角形MAB的面积为4;设直线 ,代入圆Q的方程,运用韦达定理和中点坐标公式可得M的坐标,求得MP的长,再由直线AB的方程为 ,代入椭圆方程,运用韦达定理和弦长公式,由三角形的面积公式,化简整理,由换元法,结合函数的单调性,可得面积的范围.‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为椭圆的右焦点，，所以，‎ 因为在椭圆上，所以，‎ 由 所以椭圆的方程为 ‎ ‎(2)由题意可得的斜率不为零，‎ 当垂直于轴时， 的面积为， ‎ ‎ 当不垂直于轴时，设直线的方程为，则直线的方程为 ‎，设，联立消去得，‎ ‎，所以， ‎ 则， ‎ 又圆心到直线的距离，得 又，，所以点到直线的距离等于点到的距离，设为，即， ‎ 所以的面积 ‎【点睛】‎ 本题考查了椭圆方程的求解、圆锥曲线弦长公式、直线与椭圆位置关系；解题中应用了分类讨论思想，属于高档题；在圆锥曲线中研究范围，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值.在利用代数法解决最值与范围问题时，常从以下方面考虑：①利用判别式来构造不等关系，从而确定参数的取值范围；②利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的关键是两个参数之间建立等量关系；③利用隐含或已知的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围；④利用基本不等式求出参数的取值范围；⑤利用函数的值域的求法，确定参数的取值范围.‎