2021版高考数学一轮复习核心素养测评四十一等差与等比数列的综合问题理北师大版
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核心素养测评四十一 等差与等比数列的综合问题
(30 分钟 60 分)
一、选择题(每小题 5 分,共 20 分)
1.已知 1,a1,a2,9 四个实数成等差数列,1,b1,b2,b3,9 五个数成等比数列,则 b2(a2-a1)= ( )
A.8 B.-8 C.±8 D.
【解析】选 A.由 1,a1,a2,9 成等差数列,得公差 d=a2-a1= = ,由 1,b1,b2,b3,9 成等比数列,得
=1×9,所以 b2=±3,当 b2=-3 时,1,b1,-3 成等比数列,此时 =1×(-3)无解,所以 b2=3,所以 b2(a2-a1)=3×
=8.
2.等差数列{an},等比数列{bn},满足 a1=b1=1,a5=b3,则 a9 能取到的最小整数是
( )
A.-1 B.0 C.2 D.3
【解析】选 B.等差数列{an}的公差设为 d,等比数列{bn}的公比设为 q,q≠0,
由 a1=b1=1,a5=b3,可得 1+4d=q2,
则 a9=1+8d=1+2(q2-1)=2q2-1>-1,
可得 a9 能取到的最小整数是 0.
3.已知在等差数列{an}中,a1>0,d>0,前 n 项和为 Sn,等比数列{bn}满足 b1=a1,b4=a4,前 n 项和为 Tn,则
( )
A.S4>T4 B.S4
1,数列{bn}单调递增,
又 S4-T4=a2+a3-(b2+b3)=a1+a4-a1q- =a1(1-q)+a4 = (a4-a1q)= (b4-b2)>0,所以
S4>T4.
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【一题多解】选 A.不妨取 an=7n-4,则等比数列{bn}的公比 q= =2,所以 S4=54,T4= =45,
显然 S4>T4.
4.已知 a,b,c 成等比数列,a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,则 + 等于 ( )
A.4 B.3 C.2 D.1
【解析】选 C.由题意得 b2=ac,
2m=a+b,2n=b+c,
则 + = =
= =2.
【一题多解】解答本题,还有以下解法:
特殊值法:选 C.因为 a,b,c 成等比数列,
所以令 a=2,b=4,c=8,
又 a,m,b 和 b,n,c 分别成两个等差数列,
则 m= =3,n= =6,
因此 + = + =2.
二、填空题(每小题 5 分,共 20 分)
5.Sn 为等比数列{an}的前 n 项和.若 a1=1,且 3S1 ,2S2,S3 成等差数列,则 an=________________.
【解析】由 3S1,2S2,S3 成等差数列,得 4S2=3S1+S3,即 3S2-3S1=S3-S2,则 3a2=a3,得公比 q=3,所以
an=a1qn-1=3n-1.
答案:3n-1
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6.已知等差数列{an}的公差和首项都不等于 0,且 a2,a4,a8 成等比数列,则
=________________.
【解析】设公差为 d,因为在等差数列{an}中,a2, a4,a8 成等比数列,所以 =a2a8,所以
(a1+3d)2=(a1+d)(a1+7d),所以 d2=a1d,因为 d≠0,所以 d=a1,
所以 = =3.
答案:3
7.已知等差数列{an}满足 a3=7,a5+a7=26.若 bn= (n∈N*),则数列{bn}的最大项为____________,
最小项为________________.
【解析】因为 a5+a7=26,所以 a6 =13,因为 a3=7,所以 3d=6,d=2,所以 an=a3+ d=7+2
=2n+1,所以 bn= = =1+ ,又因为当 n=1,2,3 时,数列{bn}递减且 <0,
当 n≥4 时,数列{bn}递减且 >0,所以数列{bn}的最大项为 b4=8,最小项为 b3=-6.
答案:8 -6
8.已知等差数列 的公差 d≠0,且 a1,a3,a13 成等比数列,若 a1=1,Sn 为数列 的前 n 项和,则
的最小值为________________.
【解析】依题意:因为 a1,a3,a13 成等比数列,a1=1,
所以 =a1a13,所以(1+2d)2=1+12d,d≠0,
解得 d=2.可得 an=2n-1,Sn=n2,
则 = = =n+2+ -4≥4,
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当且仅当 n=2 时,等号成立.
答案:4
三、解答题(每小题 10 分,共 20 分)
9.(2019·全国卷Ⅱ)已知数列{an}和{bn}满足 a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
(1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
(2)求{an}和{bn}的通项公式.
【解析】(1)由题设得 4(an+1+bn+1)=2(an+bn),
即 an+1+bn+1= (an+bn).
又因为 a1+b1=1,所以 是首项为 1,公比为 的等比数列.
由题设得 4(an+1-bn+1)=4(an-bn)+8,
即 an+1-bn+1=an-bn+2.
又因为 a1-b1=1,所以 是首项为 1,公差为 2 的等差数列.
(2)由(1)知,an+bn= ,an-bn=2n-1.
所以 an= [(an+bn)+(an-bn)]= +n- ,
bn= [(an+bn)-(an-bn)]= -n+ .
10.已知等差数列{an}前三项的和为-3,前三项的积为 8.
(1)求数列{an}的通项公式.
(2)若 a2,a3,a1 成等比数列,求数列{|an|}的前 n 项和 Sn.
【解析】(1)设等差数列{an}的公差为 d,
则 a2=a1+d,a3=a1+2d.
由题意得
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解得 或
所以由等差数列通项公式可得 an=2-3(n-1)
=-3n+5 或 an=-4+3(n-1)=3n-7.
故 an=-3n+5 或 an=3n-7.
(2)当 an=-3n+5 时,a2,a3,a1 分别为-1,-4,2,不成等比数列;
当 an=3n-7 时,a2,a3,a1 分别为-1,2,-4,成等比数列,满足条件.
故|an|=|3n-7|=
记数列{|an|}的前 n 项和为 Sn.
当 n=1 时,S1=|a1|=4;
当 n=2 时,S2=|a1|+|a2|=5;
当 n≥3 时,Sn=S2+|a3|+|a4|+…+|an|
=5+(3×3-7)+(3×4-7)+…+(3n-7)
=5+ = n2- n+10.
当 n=2 时,满足此式,当 n=1 时,不满足此式.
综上,Sn=
