专题07 三角变换及解三角形-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题07 三角变换及解三角形-2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点

专题07 三角变换及解三角形 ‎2017年高考数学（理）备考学易黄金易错点 ‎1．若tanα＝，则cos2α＋2sin2α等于(　　)‎ A.B.C．1D. 答案　A 解析　tanα＝，则cos2α＋2sin2α＝ ‎＝＝.‎ ‎2．在△ABC中，若AB＝，BC＝3，∠C＝120°，则AC等于(　　)‎ A．1B．2C．3D．4‎ 答案　A ‎3．方程3sinx＝1＋cos2x在区间0,2π]上的解为__________．‎ 答案　， 解析　3sinx＝2－2sin2x，即2sin2x＋3sinx－2＝0，‎ ‎∴(2sinx－1)(sinx＋2)＝0，∴sinx＝，∴x＝，.‎ ‎4．在锐角三角形ABC中，若sinA＝2sinBsinC，则tanAtanBtanC的最小值是________．‎ 答案　8‎ 解析　在△ABC中，A＋B＋C＝π，‎ sinA＝sinπ－(B＋C)]＝sin(B＋C)，‎ 由已知，sinA＝2sinBsinC，‎ ‎∴sin(B＋C)＝2sinBsinC.‎ ‎∴sinBcosC＋cosBsinC＝2sinBsinC，‎ A，B，C全为锐角，两边同时除以cosBcosC得：‎ tanB＋tanC＝2tanBtanC.‎ 又tanA＝－tan(B＋C)＝－＝.‎ ‎∴tanA(tanBtanC－1)＝tanB＋tanC.‎ 则tanAtanBtanC－tanA＝tanB＋tanC，‎ ‎∴tanAtanBtanC＝tanA＋tanB＋tanC＝tanA＋‎ ‎2tanBtanC≥2，‎ ‎∴≥2，‎ ‎∴tanAtanBtanC≥8.‎ ‎5．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知cosA＝，sinB＝cosC，并且a＝，则△ABC的面积为________．‎ 答案　 解析　先把条件中角B的函数转化为角A与C的函数，求出sinC，然后用正弦定理求c，再利用S＝acsinB求面积．‎ 因为00，‎ ‎∴＝≤＝(当且仅当tanα＝2时等号成立)，故的最大值为.‎ ‎7．如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D在西偏北30°的方向上，行驶600m后到达B处，测得此山顶在西偏北75°的方向上，仰角为30°，则此山的高度CD＝________m.‎ 答案　100 ‎8．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(a＋b)(sinA－sinB)＝ (c－b)·sinC，则△ABC面积的最大值为________．‎ 答案　 解析　∵＝＝，a＝2，‎ 又(a＋b)(sinA－sinB)＝(c－b)·sinC，‎ 可化为(a＋b)(a－b)＝(c－b)·c，‎ ‎∴a2－b2＝c2－bc，∴b2＋c2－a2＝bc.‎ ‎∴＝＝＝cosA，∴A＝60°.‎ ‎∵△ABC中，4＝a2＝b2＋c2－2bc·cos60°‎ ‎＝b2＋c2－bc≥2bc－bc＝bc(“＝”当且仅当b＝c时取得)，‎ ‎∴S△ABC＝·bc·sinA≤×4×＝.‎ ‎9．已知函数f(x)＝sinωx·cosωx－cos2ωx(ω>0)的最小正周期为.‎ ‎(1)求ω的值；‎ ‎(2)在△ABC中，sinB，sinA，sinC成等比数列，求此时f(A)的值域．‎ ‎ ‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝sin(3x－)－，‎ 易得f(A)＝sin(3A－)－.‎ 因为sinB，sinA，sinC成等比数列，‎ 所以sin2A＝sinBsinC，‎ 所以a2＝bc，‎ 所以cosA＝＝≥ ‎＝(当且仅当b＝c时取等号)，‎ 因为00，∴cosA＝.‎ 又∵0°

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