云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

云南省玉溪一中2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题

玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期末考 数学学科试卷（理科） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A＝，则下列关系错误的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎2.下列命题中，真命题是(　　)‎ A．x0∈R， B． x∈R，2x>x2 ‎ C．a+b=0的充要条件是 D．a>1，b>1是的充分条件 ‎3.若函数在x＝a处取最小值，则a＝(　　)‎ A． B． C． 3 D． 4‎ ‎4.设函数y＝x3与y＝的图象交于点(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A． (0，1) B． (1，2) C． (2，3) D． (3，4)‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎6.如果直线与直线互相垂直，那么的值等于(　　) ‎ ‎ A． B． C．3 D．‎ ‎7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入的值分别为8，2，0.5，（运算结果精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎8.已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：‎ ‎①∥ ②⊥∥ ③∥ ⊥ ④⊥∥ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ②④‎ ‎9．已知函数，若在区间[4，4]上任取一个实数x0，则使成立的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 1‎ ‎10．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ 11. 已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　) ‎ A． (1，2]　 B． (1，2) C． [2，＋∞) D． (2，＋∞)‎ ‎12．已知P为曲线上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为(　　)‎ A．5 B．‎7 C．13 D．15‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．设，为单位向量， 且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为________．‎ ‎14．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x. 这可以通过方程确定x＝2，则 .‎ ‎15．如果直线l：x＋yb＝0与曲线C：有公共点，那么b的取值范围是________．‎ ‎16．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：‎ ‎①f (x＋π)＝f (x)； ②f (x)＝f (x)； ③f (0)＝1；‎ ‎④； ⑤.‎ 当f (x)＝tanx时，正确结论的序号为________．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)在数列中，，.‎ ‎(1)设. 证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎ 18．(本小题满分12分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点，‎ 使得平面？不需说明理由．‎ ‎ ‎ ‎19．（本小题满分12分）某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.‎ 分数段 ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ x : y ‎1 : 1‎ ‎2 : 1‎ ‎3 : 4‎ ‎4 : 5‎ 20． ‎（本小题满分12分）定义在D上的函数，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有≥M成立，则称是D上的有下界函数，其中M称为函数的一个下界．已知函数．‎ ‎（1）若函数为偶函数，求a的值；‎ ‎（2）求函数在上所有下界构成的集合．‎ ‎ ‎ ‎21．（本小题满分12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线l过点(1，2)，且与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)求证：点M在定直线上，并求出直线的方程；‎ ‎(3)求抛物线上的点到(2)中的定直线的最小距离．‎ ‎ ‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ 玉溪一中2018-2019学年上学期高二年级期末考 数学学科试卷（理科） ‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.若集合A＝，则下列关系错误的是(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】A、B、C显然正确，与集合的关系不能是，故选D.‎ ‎2.下列命题中，真命题是(　　)‎ A．x0∈R， B． x∈R，2x>x2 ‎ C．a+b=0的充要条件是 D．a>1，b>1是的充分条件 ‎【答案】D ‎【解析】由于x∈R，>0恒成立，所以x0∈R，不正确；‎ 当x=2时，2x=x2，所以x∈R，2x>x2不正确；‎ a+b=0中b可取0，而中b不能取0，因此，两者不等价；‎ a>1，b>1⇒ab>1，反之不能成立，所以a>1，b>1是ab>1的充分条件.故选D.‎ ‎3.若函数在x＝a处取最小值，则a＝(　　)‎ A． B． C． 3 D． 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】，　‎ 当且仅当，即时取等号．故选 C ‎4.设函数y＝x3与y＝的图象的交点坐标为(x0，y0)，则x0所在的区间是(　　) A． (0，1) B． (1，2) C． (2，3) D． (3，4)‎ ‎【答案】B ‎【解析】设，‎ ‎，故选B.‎ ‎5.某几何体的三视图如图所示(单位：)，则该几何体的体积等于( )‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图可知此组合体由是一个三棱柱和一个半圆柱组成，该几何体的体积，故选D.‎ ‎6.如果直线与直线互相垂直，那么的值等于(　　) A． B． C．3 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵直线与直线垂直，‎ ‎∴斜率之积等于－1，∴，a＝，故选A.‎ ‎7.美索不达米亚平原是人类文明的发祥地之一。美索不达米亚人善于计算，他们创造了优良的计数系统，其中开平方算法是最具有代表性的。程序框图如图所示，若输入的值分别为8，2，0.5，（运算结果精确到小数点后两位），则输出结果为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】当时，，，，故选C.‎ ‎8.已知直线⊥平面，直线平面，给出下列命题：‎ ‎①∥ ②⊥∥ ③∥ ⊥ ④⊥∥ 其中正确命题的序号是（ ）‎ A．①③ B. ②③④ C. ①②③ D. ②④‎ ‎【答案】A ‎【解析】 ②若，则与不一定平行；④若，则与不一定平行，故选A.‎ ‎9．已知函数，若在区间[4，4]上任取一个实数x0，则使成立的概率为(　　)‎ A． B． C． D． 1‎ ‎【答案】B ‎【解析】已知区间[4，4]长度为8，满足，，解得1≤x0≤3，对应区间长度为4，‎ 由几何概型公式可得，使成立的概率是.故选B.‎ ‎10．在△ABC中，若a＝b，A＝2B，则cosB等于(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】　由正弦定理，得，∴a＝b可化为.‎ 又A=2B，∴，∴cosB＝. 故选B.‎ 11. 已知双曲线(a>0，b>0)的右焦点为F，若过点F且倾斜角为60°的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是(　　) A． (1，2]　 B． (1，2) C． [2，＋∞) D． (2，＋∞)‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据双曲线的性质，过右焦点F 且倾斜角为60°的直线与双曲线只有一个交点，说明其渐近线的斜率的绝对值大于或等于tan 60°＝，即，则，故有e2≥4，e≥2.故选C.‎ ‎12．已知P为曲线上的一点，M，N分别为圆(x＋3)2＋y2＝1和圆(x3)2＋y2＝4上的点，则|PM |＋|PN |的最小值为(　　)‎ A．5 B．‎7 C．13 D．15‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意知椭圆的两个焦点F1，F2分别是两圆的圆心，且|PF1|＋|PF2|＝10，从而|PM |＋|PN |的最小值为|PF1|＋|PF2|12＝7. 故选B.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题:本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在题中的横线上.‎ ‎13．设，为单位向量， 且，的夹角为，若，，则向量在方向上的投影为________．‎ ‎【答案】　‎ ‎【解析】由于，，‎ 所以，，‎ 所以向量在方向上的投影为.‎ ‎14．我国古代数学名著《九章算术》中割圆术有：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣．”其体现的是一种无限与有限的转化过程，比如在错误!未找到引用源。中“”即代表无限次重复，但原式却是个定值x. 这可以通过方程确定x＝2，则 .‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意，可令，即，即x2x1＝0，‎ 解得，故.‎ ‎15．如果直线l：x＋yb＝0与曲线C：有公共点，那么b的取值范围是________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】曲线C：表示以原点为圆心，以1为半径的单位圆的上半部分(包括(±1，0))，如图，当l与l1重合时，b＝1，当l与l2重合时，b＝，∴当直线l与曲线C有公共点时，.‎ ‎16．已知函数f(x)，任意x1，x2∈(x1≠x2)，给出下列结论：‎ ‎①f (x＋π)＝f (x)； ②f (x)＝f (x)； ③f (0)＝1；‎ ‎④； ⑤.‎ 当f (x)＝tanx时，正确结论的序号为________．‎ ‎【答案】①④‎ ‎【解析】由于f (x)＝tanx的周期为π，故①正确；函数f (x)＝tanx为奇函数，故②不正确；f (0)＝tan0＝0，故③不正确；④表明函数为增函数，而f (x)＝tanx为区间上的增函数，故④正确；⑤由函数f (x)＝tanx的图象可知，函数在区间上有，在区间上有，故⑤不正确．‎ 三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17．(本小题满分12分)在数列中，，.‎ ‎(1)设. 证明：数列是等差数列；‎ ‎(2)求数列的前n项和.‎ ‎【解析】(1)证明　由已知，得 …… 3分 即.∴，又b1＝a1＝1.‎ 所以是首项为1，公差为1的等差数列． …… 6分 ‎(2)由(1)知，，.∴ …… 7分 ‎∴ ‎ 两边乘以2得：‎ 两式相减得： …… 9分 ‎＝2n1n·2n＝ ‎ ‎∴. …… 12分 ‎18．(本小题满分12分）如图，梯形所在的平面与等腰梯形所在的平面互相垂直，，．，．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值；‎ ‎（3）线段上是否存在点，‎ 使得平面？不需说明理由．‎ ‎【解析】18. 解：（1）因为 ，且，所以 四边形为平行四边形，所以 ． …… 2分 因为，…… 3分 所以 平面．…… 4分 ‎（2）在平面ABEF内，过A作，因为平面平面，‎ ‎，，所以，‎ 所以如图建立空间直角坐标系． ……………… 5分 由题意得，，，，，．‎ 所以 ，．‎ 设平面的法向量为， 则 即 ‎ 令，则，，所以 ． ……………… 7分 平面的一个法向量为 ， ……………… 8分 则 ．所以 二面角的余弦值． …11分 ‎（3）线段上不存在点，使得平面，理由如下： ………12分 解法一：设平面的法向量为， ‎ 则 即 ‎ 令，则，，所以 ． 因为 ，‎ 所以 平面与平面不可能垂直，‎ 从而线段上不存在点，使得平面． ‎ 解法二：线段上不存在点，使得平面，理由如下：………12分 假设线段上存在点，使得平面，设 ，其中．‎ 设 ，则有，‎ 所以 ，，，从而 ，‎ 所以 ． ‎ 因为 平面，所以 ．所以有 ，‎ 因为上述方程组无解，所以假设不成立．‎ 所以线段上不存在点，使得平面． ‎ ‎19．（本小题满分12分）某班100名学生期中考试语文成绩的频率分布直方图如图所示，其中成绩分组区间是[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)，[90，100]．‎ ‎(1)求图中a的值；‎ ‎(2)根据频率分布直方图，估计这100名学生语文成绩的平均分；‎ ‎(3)若这100名学生语文成绩某些分数段的人数(x)与数学成绩相应分数段的人数(y)之比如下表所示，求数学成绩在[50，90)之外的人数.‎ 分数段 ‎[50，60)‎ ‎[60，70)‎ ‎[70，80)‎ ‎[80，90)‎ x : y ‎1 : 1‎ ‎2 : 1‎ ‎3 : 4‎ ‎4 : 5‎ ‎【答案】(1)由频率分布直方图知(‎2a＋0.02＋0.03＋0.04)×10＝1，‎ 解得a＝0.005 .………2分 (2) 由频率分布直方图知这100名学生语文成绩的平均分为 ‎55×0.005×10＋65×0.04×10＋75×0.03×10＋85×0.02×10＋95×0.005×10‎ ‎＝73 ..………7分 ‎(3)由频率分布直方图知语文成绩在[50，60)，[60，70)，[70，80)，[80，90)各分数段的人数依次为0.005×10×100＝5；0.04×10×100＝40；0.03×10×100＝30；‎ ‎0.02×10×100＝20.‎ 由题中给出的比例关系知数学成绩在上述各分数段的人数依次为5；40×＝20；30×＝40；20×＝25.‎ 故数学成绩在[50，90)之外的人数为100－(5＋20＋40＋25）＝10...………12分 20． ‎（本小题满分12分）定义在D上的函数，如果满足：对任意x∈D，存在常数M，都有≥M成立，则称是D上的有下界函数，其中M称为函数的一个下界．已知函数．‎ ‎（1）若函数为偶函数，求a的值；‎ ‎（2）求函数在上所有下界构成的集合．‎ ‎【答案】解：（1）函数是R上的偶函数，‎ ‎，即在R恒成立，‎ ‎，解得a =1（a＞0），...………5分 ‎（2）在上任取x1，x2，且x1＜x2，则 y = ex是增函数，，，‎ ‎，，‎ 又，‎ ‎∴函数在上是增函数，...………10分 ‎∴...………12分 ‎∴函数在上所有下界构成的集合是（﹣∞，2]．‎ ‎21．（本小题满分12分）已知抛物线的对称轴为坐标轴，顶点是坐标原点，准线方程为，直线l过点(1，2)，且与抛物线交于A，B两点，过A，B两点分别作抛物线的切线，设其交点为M.‎ ‎(1)求抛物线的方程；‎ ‎(2)求证：点M在定直线上，并求出直线的方程；‎ ‎(3)求抛物线上的点到(2)中的定直线的最小距离．‎ ‎【答案】(1)由题意可设抛物线的方程为x2＝2py(p>0)，准线方程为，‎ 则p＝2，故抛物线的方程为x2＝4y. ...………3分 ‎(2)证明：设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(x0，y0)．‎ 过点A的切线方程为x1x＝2y＋2y1，过点B的切线方程为x2x＝2y＋2y2.‎ 两切线都过点M，所以有故过点M的直线为x0x＝2y0＋2y.‎ 又因为直线l过点(1，2)，所以有x0＝2y0＋4.‎ 所以点M在定直线x＝2y＋4上． ...………7分 ‎(3)解：只需要将定直线x＝2y＋4平移与抛物线相切，求出切点坐标．‎ 由x2＝4y，得y＝x2.由y′＝x＝，‎ 可得x＝1，代入x2＝4y，得y＝，切点为1，.所以所求距离 ‎. ...………12分 ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分10分）‎ 在直角坐标系xOy中，曲线C1的参数方程为(α为参数)，以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为.‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标系方程；‎ ‎(2)设点P在C1上，点Q在C2上，求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标．‎ ‎【答案】(1)C1的普通方程为.‎ C2的直角坐标方程为x＋y4＝0....………4分 ‎(2)由题意，可设点P的直角坐标为．‎ 因为C2是直线，所以|PQ|的最小值即为P到C2距离d(α)的最小值，‎ 当且仅当α＝2kπ(k∈Z)时，d(α)取得最小值，最小值为，此时P的直角坐标为....………10分