2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年重庆市渝东六校高二下学期期中联考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据复数的运算的基本概念和性质，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知, ，故选B．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的基本性质，属于基础题．‎ ‎2．把直角坐标化为极坐标，则极坐标可以为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用直角坐标和极坐标互换公式，将直角坐标转化为极坐标．‎ ‎【详解】‎ 对于点，，且在第二象限，则， 则点的极坐标为；‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与直角坐标的互化，属于基础题．‎ ‎3．设有一个回归方程为，则变量x增加一个单位时（ ）‎ A．y平均增加3个单位 B．y平均减少4个单位 C．y平均增加4个单位 D．y平均减少3个单位 ‎【答案】B ‎【解析】根据所给的线性回归方程，写出自变量加以后的结果，把结果同原来的自变量为的结果相减，得到结论．‎ ‎【详解】‎ 因为回归方程为 ①， ‎ 所以变量增加一个单位时， ② ‎ ‎②-①得，即平均减小4个单位， 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线性回归方程的意义，本题解题的关键是在叙述时一定要加上平均两个字，这是容易出错的知识点．‎ ‎4．将极坐标化为直角坐标为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】利用可将极坐标化为直角坐标，即可得出结果．‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，， ∴直角坐标为． 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了极坐标化为直角坐标的方法，属于基础题．‎ ‎5．已知扇形的弧长为l，半径为r，类比三角形的面积公式，可推知扇形面积公式等于（ ）‎ A． B．‎ C． D．不可类比 ‎【答案】C ‎【解析】将扇形的弧类比为三角形的底边，高类比为扇形的半径，问题得解．‎ ‎【详解】‎ 将扇形的弧类比为三角形的底边，则高类比为扇形的半径r，所以S扇＝．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了类比推理知识，对比图形的特征即可解答，属于基础题．‎ ‎6．直线（t为参数）的斜率等于（ ）‎ A． B． C． D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】首先把直线的参数式转换为直角坐标的形式，进而求出直线的斜率．‎ ‎【详解】‎ 直线（t为参数）， 转换为直角坐标方程为：， 故直线的斜率为． 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了将参数方程化直角坐标方程的基本方法，以及直线的方程的应用，属于基础题．‎ ‎7．已知变量x与变量y的取值如下表所示，且，则由该数据算得的线性回归方程可能是（ ）‎ x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ y ‎2.5‎ m n ‎6.5‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由回归方程必过样本中心，且，以及正负相关性，代入选项即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 由回归方程必过样本中心，， ‎ 又，所以，由表格，可得为正相关，排除C，D；代入选项A，B，可知A满足． 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查回归直线方程的求法，回归直线方程的特征，属于基础题．‎ ‎8．复数为纯虚数是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由于复数为纯虚数，故且，然后再根据充分条件、必要条件的判断方法，即可得到结果．‎ ‎【详解】‎ 依题意， 复数为纯虚数，则且， ∴ “复数为纯虚数” 是“”的充分不必要条件， 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本概念，以及充分条件、必要条件的判断，是一道比较基础的题目．‎ ‎9．在极坐标系中，直线与直线l关于极轴所在的直线对称，则直线l的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用直角坐标与极坐标间的关系：，进行代换求出直角坐标方程，然后求出关于轴对称后的曲线方程，再将直角坐标方程化成极坐标方程．‎ ‎【详解】‎ 在极坐标系中，直线， 则其对应的直角坐标方程为：‎ 又与直线关于轴对称，根据对称性可得 ‎∴直线极坐标方程为；故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了简单曲线的极坐标方程，以及极坐标方程与直角方程的互化和对称变换，属于基础题．‎ ‎10．复数，则复数z的共轭复数在复平面内对应的点所在的象限为（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】利用复数代数形式的乘除运算化简，求得，进而求出复数，进而求出复数的坐标，即可得到答案．‎ ‎【详解】‎ 复数，所以复数z的共轭复数为，故复数在复平面内对应的点的坐标，在第四象限；故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，共轭复数以及复数的几何意义的应用，属于基础题．‎ ‎11．设直线（t为参数），曲线（为参数），直线l与曲线C的交于A，B两点，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用可把曲线（为参数）化为普通方程，将直线（t为参数）化为普通方程，然后再将直线的普通方程代入曲线的普通方程，化简，再根据弦长公式即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 曲线（为参数）化为普通方程：，将直线（t为参数）化为普通方程，联立方程组，可得，解方程可得或，设，所以；‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了参数方程化为普通方程、直线参数方程的应用以及直线与椭圆的位置关系，考查了推理能力与运算能力，属于中档题．‎ ‎12．在直角坐标系xOy中，曲线（t为参数，），其中，在以O为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线，，若与相交于点A，与相交于点B，则线段的最大值为（ ）‎ A． B．2 C．1 D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】首先将曲线（t为参数，），其中转化为极坐标方程为，其中，再通过联立与得，联立与得到，进而利用弦长公式和辅助角公式，结合三角函数的有界性即得结论．‎ ‎【详解】‎ 曲线的极坐标方程为，其中，‎ 因此得到的极坐标为，的极坐标为． 所以 ‎ ， 当时，取得最大值，最大值为．故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查极坐标与参数方程，考查运算求解能力，涉及辅助角公式，注意解题方法的积累，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．复数的虚部为________.‎ ‎【答案】-1‎ ‎【解析】根据复数的基本概念，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，复数的虚部为;故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查复数的基本概念，属于基础题.‎ ‎14．下图的程序计算，若开始输入的值为5，则最后输出的结果是________.‎ ‎【答案】120‎ ‎【解析】根据程序框图流程，即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎∴当时，，故输出的结果是．故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了程序图，属于基础题．‎ ‎15．在一次活动中，甲、乙、丙三名同学中的一人获得了礼物，甲说：“礼物在我这儿”，乙说：“礼物不在丙处”，丙说：“礼物不在我这儿”，如果三人中只有一人说的是假话请问________获得了礼物.（填“甲”或“乙”或“丙”）.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】根据题意，根据合情推理，即可求出结果．‎ ‎【详解】‎ 假设甲获得了礼物，则甲、乙、丙，都说了真话，与题设矛盾，故假设不成立；‎ 假设乙获得了礼物，则甲说了假话，丙说了真话，与题设相符，故假设成立； ‎ 假设丙获得了礼物，则甲、乙说了假话，与题设相符，故假设不成立；综上乙获得了礼物．‎ 故答案为：乙．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属于基础题．‎ ‎16．设为椭圆上一点，过点A作一条斜率为的直线l，又设d为原点到直线l的距离，分别为A点到椭圆两焦点的距离.则________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】通过椭圆方程可知两焦点，利用点斜式可知直线方程为，利用点到直线的距离公式可知，利用两点间距离公式计算可知，进而计算可得结论．‎ ‎【详解】‎ 将椭圆化成标准方程，可得椭圆的两焦点，‎ 由点斜式可知直线，化简可得，‎ 所以；‎ 又（）‎ 又，得 ，代入（），化简可得 所以 ‎ 所以；故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆锥曲线的关系，考查运算求解能力，属于中档题．‎ 三、解答题 ‎17．求证：.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】对和平方化简，即可比较出大小，证明结果.‎ ‎【详解】‎ 证明：因为，，‎ 又，所以，‎ 所以 ‎ 所以 ‎【点睛】‎ 本题主要考查了综合法证明，属于基础题.‎ ‎18．已知i为虚数单位，复数，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求实数a和m的值或取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2），.‎ ‎【解析】（1）将代入，再利用复数乘法即可求出结果；‎ ‎（2）先求出，再根据，化简，根据复数的性质即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为，所以 所以；‎ ‎（2）因为，所以 ‎ 又，所以，即 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复数的基本概念和运算法则，属于基础题.‎ ‎19．某中学为研究学生的身体素质与体育锻炼时间的关系，对该校300名高三学生平均每天体育锻炼时间进行调查，如表：（平均每天锻炼的时间单位：分钟）.‎ 平均每天锻炼的时间/分钟 总人数 ‎34‎ ‎51‎ ‎59‎ ‎66‎ ‎65‎ ‎25‎ 将学生日均体育锻炼时间在的学生评价为“锻炼达标”.‎ ‎（1）请根据上述表格中的统计数据填写下面的列联表；‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 女 ‎40‎ ‎160‎ 合计 ‎（2）通过计算判断，是否能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关？‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表 ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎【答案】（1）见解析 （2）能，计算见解析 ‎【解析】（1）根据题中所给的数据，即可列出列联表；‎ ‎（2）将（1）中列出列联表数据，代入公式计算得出，与临界值比较即可得出结论.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ 锻炼不达标 锻炼达标 合计 男 ‎90‎ ‎50‎ ‎140‎ 女 ‎120‎ ‎40‎ ‎160‎ 合计 ‎210‎ ‎90‎ ‎300‎ ‎（2），‎ 所以，能在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“锻炼达标”与性别有关.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查独立性检验的运用，属于基础题．‎ ‎20．某公司为了提高利润，从2014年至2018年每年对生产环节的改进进行投资，投资金额与年利润增长的数据如下表：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 投资金额x（万元）‎ ‎5‎ ‎5.5‎ ‎6‎ ‎6.5‎ ‎7‎ 年利润增长y（万元）‎ ‎7.5‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11.5‎ ‎（1）请用最小二乘法求出y关于x的回归直线方程；‎ ‎（2）如果2020年该公司计划对生产环节的改进的投资金额为8万元，估计该公司在该年的年利润增长为多少？‎ 参考公式：， 参考数据：，‎ ‎【答案】（1）.（2）13.2.‎ ‎【解析】（1）根据最小二乘法公式即可求出结果；‎ ‎（2）将代入（1）中的回归方程即可求出结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题意可知，，‎ 所以，‎ 所以，所以；‎ ‎（2）由（1）可知，令，所以该公司在2020年的年利润增长为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线性回归方程的求法以及应用，属于基础题 ‎21．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系.曲线的直角坐标方程为，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程 ‎（2）求曲线与交点的极坐标（）‎ ‎【答案】（1） （2），.‎ ‎【解析】（1）利用 对原方程进行化简，即可求出结果；‎ ‎（2）联立，‎ 的直角坐标方程解得交点的直角坐标，在将直角坐标化为极坐标即可.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）的极坐标方程为：.‎ ‎（2）的直角坐标方程为：.‎ 联立，的直角坐标方程解得交点的直角坐标为和，‎ 化为极坐标为，.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直角坐标和极坐标的转换，属于基础题.‎ ‎22．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.‎ ‎（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎（2）若l与C相交于AB两点，且，求m的值.‎ ‎【答案】（1）l的普通方程：，C的直角坐标方程：. （2）‎ ‎【解析】（1）消参数，可以得到直线的普通方程，利用公式可以将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程． ‎ ‎（2）将直线和曲线的方程联立，整理出关于的方程，再利用韦达定理和公式列出方程，进而求出结果．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）l的普通方程为：，曲线C的直角坐标方程为：.‎ ‎（2）把直线的参数方程（为参数）带入，‎ 整理得：‎ 由根与系数的关系知：，，‎ 所以，‎ 解得.‎ ‎【点睛】‎ 本题重点考查参数方程与普通方程的互相转化，属于中档题．‎