河北省承德第一中学2020届高三9月月考数学（文）试题

河北省承德第一中学2020届高三9月月考数学（文）试题

高三文数第一次月考 一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）‎ ‎1.已知集合 A. {l} B. {l，2} C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求集合B，再求两个集合的交集.‎ ‎【详解】因为，所以，因为，所以,所以,故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合的交集运算，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎2.设复数(是虚数单位)，则的虚部为( )‎ A. B. C. D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的除法运算法则：分子、分母同乘以分母的共轭复数，化简复数，然后利用复数虚部的定义可得结果.‎ ‎【详解】因为复数，‎ 所以的虚部为，故选C.‎ ‎【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分.‎ ‎3.下图是国家统计局今年4月11日发布的2018年3月到2019年3月全国居民消费价格的涨跌幅情况折线图．(注：2019年2月与2018年2月相比较称同比，2019年2月与2019年1月相比较称环比)，根据该折线图，下列结论错误的是 A. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格同比均上涨 B. 2018年3月至2019年3月全国居民消费价格环比有涨有跌 C. 2019年3月全国居民消费价格同比涨幅最大 D. 2019年3月全国居民消费价格环比变化最快 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据折线图提供的信息逐个选项验证可得.‎ ‎【详解】对于选项A，从图可以看出同比涨跌幅均为正数，故A正确；‎ 对于选项B，从图可以看出环比涨跌幅有正数有负数，故B正确；‎ 对于选项C，从图可以看出同比涨幅最大的是2018年9月份和2018年10月份，故C错误；‎ 对于选项D，从图可以看出2019年3月全国居民消费价格环比变化最快，故D正确.‎ ‎【点睛】本题主要考查统计图表的识别，根据折线图研究统计结论，侧重考查数据分析的核心素养.‎ ‎4.在长方体中，，，点为的中点，则异面直线与所成角的正切值为 ( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，求出与的坐标，利用空间向量夹角余弦公式求出夹角余弦，再利用同角三角函数的关系可求所成角的正切值.‎ ‎【详解】‎ 以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，‎ 则，‎ ‎,‎ 设异面直线与所成角为，‎ 则，‎ ‎，‎ ‎，‎ 异面直线与所成角正切值，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查异面直线所成的角，属于基础题.求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎5.已知数列满足，等比数列满足，则的前6项和为 A. B. C. 63 D. 126‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由已知求得，可得等比数列的首项为2 ，公比为2，再利用等比数列的前和公式求解即可.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，则，‎ ‎，‎ 等比数列的首项为2，公比为2，‎ 则的前6项和，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查递推公式的应用以及等比数列的前和公式，意在考查对基础知识的掌握与应用，属于基础题.‎ ‎6.执行如图所示的程序框图，输出的结果为 A. 3，5 B. 8，13‎ C. 12，17 D. 21，34‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 结合框图循环条件，逐步运算可得结果.‎ ‎【详解】第一次运算：；第二次运算：；第三次运算：；此时结束循环，输出结果，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查程序框图的识别，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7.过双曲线的右焦点与垂直的直线与双曲线交于两点，若(为坐标原点)为等腰直角三角形，则该双曲线的离心率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由为等腰直角三角形，可得，即，化为，进而可得结果.‎ ‎【详解】过双曲线的右焦点作垂直于轴的直线，‎ 交双曲线于两点，‎ ‎ 由可得，‎ 所以，‎ 又因为为等腰直角三角形，‎ 所以，可得， ‎ 即，可得，‎ 解得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的性质及离心率，属于中档题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解．‎ ‎8.下图为中国古代刘徽的《九章算术注》中研究“勾股容方”问题的图形，图中△ABC为直角三角形，四边形DEFC为它的内接正方形，已知BC=2，AC=4，在△ABC内任取一点，则此点取自正方形DEFC内的概率为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出正方形DEFC的面积，再根据几何概型概率求结果.‎ ‎【详解】设正方形DEFC的边长为，则，因此所求概率为，选B.‎ ‎【点睛】当试验的结果构成的区域为长度、面积、体积等时，应考虑使用几何概型求解．‎ ‎9.将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，则函数的一个单调减区间为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据平移变换求出，然后再根据正弦函数的单调区间.‎ ‎【详解】把的图象向右平移个单位长度后得到，所以，所以.‎ 令，解得，令可得一个减区间为，故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查三角函数的单调区间求解，平移图象时，注意x的系数对解析式的影响.‎ ‎10.已知定义在上的函数满足为偶函数，若在内单调递减，则下面结论正确的是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据以及为偶函数即可得出，并且可得出,根据在内单调递减即可得结果.‎ ‎【详解】，‎ 的周期为6，‎ 又为偶函数，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎,‎ ‎，‎ 又在内单调递减，‎ ‎， ，故选A.‎ ‎【点睛】在比较，，，的大小时，首先应该根据函数 的奇偶性与周期性将，，，通过等值变形将自变量置于同一个单调区间，然后根据单调性比较大小．‎ ‎11.如图，网格纸上的小正方形的边长为1，粗线条画出的图形为某几何体的三视图，则该几何体的外接球表面积为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据三视图还原出几何体，结合几何体的特征求出其外接球的表面积.‎ ‎【详解】根据三视图还原成几何体如图，‎ 它是从一个四棱锥截下的部分,四棱锥如图，‎ 四棱锥又可以看作是从边长为3的正方体中截取出来的，所以三棱锥的外接球就是截取它的正方体的外接球，正方体的对角线的长就是外接球的直径，所以其外接球半径为,故外接球的表面积为,故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查三视图的识别，利用三视图还原几何体时，要注意数据的对号入座.侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎12.已知数列：，按照从小到大的顺序排列在一起，构成一个新的数列：首次出现时为数列的 A. 第44项 B. 第76项 C. 第128项 D. 第144项 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 从分子分母的特点入手，找到出现前的所有项，然后确定的项数.‎ ‎【详解】观察分子分母的和出现的规律：，‎ 把数列重新分组：，‎ 可看出第一次出现在第16组，因为，所以前15组一共有120项；‎ 第16组的项为，所以是这一组中的第8项，故第一次出现在数列的第128项，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的通项公式，结合数列的特征来确定，侧重考查数学建模的核心素养.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）‎ ‎13.曲线在点处的切线的方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎ ‎ ‎14.若满足约束条件则的最小值为 ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出可行域，平移目标式，确定最值点，求出最值.‎ ‎【详解】作出可行域如图，‎ 平移直线可得目标函数在点A处取到最小值，联立可得,代入可得的最小值.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划，利用线性规划知识求解线性目标函数的最值问题，侧重考查直观想象的核心素养.‎ ‎15.已知直线与抛物线相交于两点，为坐标原点，则三角形的面积为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 直线方程代入抛物线方程，利用韦达定理以及弦长公式求得 的值，利用点到直线的距离公式求得到直线的距离,根据三角形的面积公式即可得结果.‎ ‎【详解】设,‎ 由，整理得 ,‎ 由韦达定理可知，‎ ‎ ,‎ 点到直线的距离，‎ 则的面积，‎ 故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系,考查韦达定理，点到直线的距离公式及三角形的面积公式，考查计算能力，属于中档题. .求曲线的弦长的方法：（1）利用弦长公式；（2）利用；（3）如果交点坐标可以求出，利用两点间距离公式求解即可.‎ ‎16.在中，点是的三等分点，，过点的直线分别交或其延长线于不同的两点，且，若的最小值为，则正数的值为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用平面向量的线性运算法则求得，可得，则，展开后利用基本不等式可得的最小值为 ‎，结合的最小值为列方程求解即可.‎ ‎【详解】‎ 因为点是的三等分点，‎ 则，‎ 又由点三点共线，则，‎ ‎，‎ 当且仅当时，等号成立， ‎ 即的最小值为 ,则有,‎ 解可得或(舍），故，故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查平面向量的运算法则，以及利用基本不等式求最值，属于难题.利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数是否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ 三、解答题（本大题共7小题，共70.0分）‎ ‎17.在中，角对边分别是且.‎ ‎(1)求角的值：‎ ‎(2)若，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由，利用正弦定理边化正弦，化简可求得，从而可得结果；（2）由余弦定理可得，求出，再利用三角形面积公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）因为，‎ 所以,‎ 所以，即， ‎ 因为，所以； ‎ ‎（2）因为，所以，‎ 所以，因为，所以， ‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题主要考查正弦定理、余弦定理及三角形面积公式的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.‎ ‎18.如图，在四棱锥的底面为矩形，点在底面的射影落在上．‎ ‎(1)求证：平面平面；‎ ‎(2)若分别是的中点，且,求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由线面垂直的性质可得，由矩形的性质可得，从而得平面，进而可得结果；（2）先证明到平面的距离等于点到平面距离的一半， 连接，由，利用棱锥的体积公式可得结果.‎ ‎【详解】（1）依题意，平面， ‎ 又平面,所以. ‎ 又,,所以平面. ‎ 又平面,所以平面平面. ‎ ‎（2）因为平面，是的中点，所以是等腰三角形，‎ 又,，所以. ‎ 因为是中点，‎ 所以到平面的距离等于点到平面距离的一半， ‎ 连接，所以 ‎【点睛】本题主要考查线面垂直的判定定理、面面垂直的判定定理以及棱锥的体积公式，属于中档题.‎ 解答空间几何体中垂直关系时，一般要根据已知条件把空间中的线线、线面、面面之间垂直关系进行转化，转化时要正确运用有关的定理，找出足够的条件进行推理；证明直线和平面垂直的常用方法有：（1）利用判定定理；（2）利用判定定理的推论；（3）利用面面平行的性质；（4）利用面面垂直的性质，当两个平面垂直时，在一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面.‎ ‎19.随着教育信息化2.0时代的到来，依托网络进行线上培训越来越便捷，逐步成为实现全民终身学习的重要支撑．最近某高校继续教育学院采用线上和线下相结合的方式开展了一次300名学员参加的“国学经典诵读”专题培训．为了解参训学员对于线上培训、线下培训的满意程度，学院随机选取了50名学员，将他们分成两组，每组25人，分别对线上、线下两种培训进行满意度测评，根据学员的评分(满分100分)绘制了如下茎叶图：‎ ‎(1)根据茎叶图判断学员对于线上、线下哪种培训的满意度更高?并说明理由；‎ ‎(2)求50名学员满意度评分的中位数，并将评分不超过、超过分别视为“基本满意”、“非常满意”两个等级．‎ ‎(i)利用样本估计总体的思想，估算本次培训共有多少学员对线上培训非常满意?‎ ‎(ii)根据茎叶图填写下面的列联表：‎ 并根据列联表判断能否有99.5％的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异?‎ 附：‎ ‎【答案】（1）对线下培训满意度更高（2）（i）人（ii）有把握 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由茎叶图，根据中位数、平均数的实际意义，以及数据集中与分散程度可判断哪种培训的满意度更高；（2）（i）直接利用中位数的定义可得中位数 的值，统计对线上培训非常满意的频数可得非常满意的频率，进而可得结果；（ii）根据茎叶图可填写列联表，利用公式求得 ，与邻界值比较，即可得到结论.‎ ‎【详解】（1）对线下培训满意度更高．理由如下：‎ ‎（i）由茎叶图可知：在线上培训中，有的学员满意度评分至多分，在线下培训中，有的学员评分至少分．因此学员对线下培训满意度更高．‎ ‎（ii）由茎叶图可知：线上培训满意度评分的中位数为分，线下评分的中位数为分．因此学员对线下培训满意度更高．‎ ‎（iii）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分平均分高于分；线下培训的平均分低于分，因此学员对线下培训满意度更高．‎ ‎（iv）由茎叶图可知：线上培训的满意度评分在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布；线下培训的评分分布在茎上的最多，关于茎大致呈对称分布，又两种培训方式打分的分布区间相同，故可以认为线下培训评分比线上培训打分更高，因此线下培训的满意度更高.‎ 以上给出了4种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分．‎ ‎（2）由茎叶图知． ‎ ‎（i）参加线上培训满意度调查的名学员中共有名对线上培训非常满意，频率为，‎ 又本次培训共名学员，所以对线上培训满意的学员约为人.‎ ‎（ii）列联表如下：‎ 基本满意 非常满意 线上培训 线下培训 于是， ‎ 因为，所以有的把握认为学员对两种培训方式的满意度有差异．‎ ‎【点睛】本题主要考查茎叶图以及独立性检验的应用，属于中档题.‎ 独立性检验的一般步骤：（1）根据样本数据制成列联表；（2）根据公式计算的值；(3) 查表比较与临界值的大小关系，作统计判断.（注意：在实际问题中，独立性检验的结论也仅仅是一种数学关系，得到的结论也可能犯错误.）‎ ‎20.已知椭圆的离心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3．‎ ‎(1)求椭圆方程；‎ ‎(2)若过椭圆的右焦点作倾斜角不为零的直线与椭圆交于两点，设线段的垂直平分线在轴上的截距为，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据心率为，椭圆上的点到右焦点的距离的最大值为3，结合性质 ，列出关于 、 、的方程组，求出 、即可得结果；（2）设出直线方程，与椭圆方程联立，根据韦达定理求出中点坐标，可得中垂线方程，令，得，分类讨论，利用基本不等式可得结果.‎ ‎【详解】（1）由题意可得：,解得，所以. ‎ 所以椭圆的方程为. ‎ ‎（2）当斜率存在时，设直线的方程为，‎ 设，,则中点，‎ 由消去得，‎ 则， ‎ 所以， ‎ 因为的中垂线的方程为，‎ 令，得， ‎ 当时，，则； ‎ 当时，，则， ‎ 当斜率不存在时，显然， ‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎【点睛】求椭圆标准方程的方法一般为待定系数法,根据条件确定关于的方程组，解出，从而写出椭圆的标准方程．解决直线与椭圆的位置关系的相关问题，其常规思路是先把直线方程与椭圆方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若，，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）在单调递增，在 ‎，单调递减. （2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出，在定义域内，分别令求得的范围，可得函数增区间，求得的范围，可得函数的减区间；（2）先判断当时不合题意，当时，由（1）可知，在单调递减，对，，从而可得结论.‎ ‎【详解】（1）， ‎ 令，得到，. ‎ 令，得，所以在单调递增， ‎ 令，得或，所以在，单调递减. ‎ ‎（2）由（1）知，， ‎ 当时，，因为，且，‎ 由（1）可知，在单调递增，此时若，，‎ 与时，矛盾. ‎ 当时，，，‎ 由（1）可知，在单调递减，因此对，，此时结论成立. ‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性以及不等式恒成立问题，属于难题．不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数恒成立(即可)或恒成立（即可）；② 数形结合( 图象在 上方即可)；③ 讨论最值或恒成立；④ 讨论参数，排除不合题意的参数范围，筛选出符合题意的参数范围.‎ ‎22.[选修4—4：坐标系与参数方程]:在直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数，），以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，已知直线与曲线C交于不同的两点A，B．‎ ‎(1)求直线的普通方程和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)设P(1，2)，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）直线的普通方程为. 曲线的直角坐标方程为（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)消去参数可得直线的普通方程，利用可以化成直角坐标方程；‎ ‎(2)联立直线和曲线方程，结合参数的几何意义可求..‎ ‎【详解】解：（1）因为，所以，两式相减可得 直线的普通方程为. ‎ 因为，，，‎ 所以曲线的直角坐标方程. ‎ ‎（2）将直线的参数方程代入曲线的直角坐标方程， ‎ 整理得关于的方程： . ‎ 因为直线与曲线有两个不同的交点，所以上述方程有两个不同的解，设为，‎ 则 ，. ‎ 并且，‎ 注意到 ，解得. ‎ 因为直线的参数方程为标准形式，所以根据参数的几何意义，‎ 有 ‎，‎ 因为，所以，.‎ 因此的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查参数方程与普通方程的转化及极坐标方程与直角坐标方程的转化，利用参数的几何意义求解范围等，侧重考查了数学建模和数学运算的核心素养.‎ ‎23.[选修4—5：不等式选讲]:已知函数．‎ ‎(1)当m=2时，求不等式的解集；‎ ‎(2)若的解集包含区间，求m的取值范围。‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)把m=2代入，利用零点分段讨论法去掉绝对值，然后求出解集；‎ ‎(2) 的解集包含区间转化为恒成立问题，求出最值可得m的取值范围.‎ ‎【详解】解：（1）当时，只需解不等式.‎ ‎ 当时，不等式化为，解得；‎ ‎ 当时，不等式化为，解得；‎ ‎ 当时，不等式等价于，解得 综上，不等式的解集为. ‎ ‎（2）因为的解集包含区间，‎ ‎ 所以当时，成立，也就是 ‎，即成立. ‎ 解上述不等式得 ，即. ‎ ‎ 由已知条件，‎ 所以， ‎ 解得. ‎ ‎ 所以的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查含有绝对值不等式的解法，通常是利用零点分段讨论法求解，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎ ‎ ‎ ‎