2018届二轮复习平面向量的概念及坐标运算课件（全国通用）

2018届二轮复习平面向量的概念及坐标运算课件（全国通用）

第一节　平面向量的概念及坐标运算 考点梳理 考纲速览 命题解密 热点预测 1. 平面向量的概念 . 2. 平面向量的线性运算 . 3. 平面向量基本定理 . 4. 向量的坐标运算 . 1. 平面向量的实际背景及基本概念 (1) 了解向量的实际背景 . (2) 理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义 . (3) 理解向量的几何表示 . 2. 向量的线性运算 (1) 掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义 . (2) 掌握向量数乘的运算及其几何意义，理解两个向量共线的含义 . (3) 了解向量线性运算的性质及其几何意义 . 3. 平面向量的基本定理及坐标表示 (1) 了解平面向量的基本定理及其意义 . (2) 掌握平面向量的正交分解及其坐标表示 . (3) 会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算 . (4) 理解用坐标表示的平面向量共线的条件 . 　　向量的线性运算是高考的重要考点，主要考查向量的线性运算、对向量有关概念的理解及共线向量等 . 其中，共线向量的充要条件是高考的重点内容，常结合向量的线性运算以及几何意义、平面向量的基本定理等知识考查运算能力和转化能力，考查形式主要有以下三点： (1) 以平面向量的基本定理为基石，利用一组基底表示相关的向量； (2) 通过坐标运算证明两个向量平行、垂直等位置关系； (3) 作为工具常常出现在解析几何、三角函数等问题中 . 　　高考对本部分的考查仍将以线性运算、向量的加减法、平面向量基本定理为主，向量作为工具与其他知识交汇命题的趋势将会增加，备考时应予以关注 . 知识点一 向量的概念及线性运算 1. 向量的有关概念 (1) 向量：既有 _____ 又有 _____ 的量 . 向量的大小叫做向量的 _____ ( 或模 ). (2) 零向量：长度为 0 的向量，其方向是 _____ 的 . (3) 单位向量：长度等于 ____________ 的向量 . (4) 平行向量：方向 ___________ 的非零向量 . (5) 相等向量：长度 _____ 且方向 _____ 的向量 . (6) 相反向量：长度 _____ 且方向 _____ 的向量 . 大小 方向 任意 长度 1 个单位长度 相同或相反 相等 相同 相反 相等 2. 向量的加法与减法 (1) 加法 ① 法则：服从三角形法则和平行四边形法则 . ② 性质： a ＋ b ＝ _____ ( 交换律 ) ； ( a ＋ b ) ＋ c ＝ a ＋ ( b ＋ c )( 结合律 ) ； a ＋ 0 ＝ 0 ＋ a ＝ a . (2) 减法：减法与加法互为逆运算，服从三角形法则 . b ＋ a 3. 实数与向量的积 (1)| λa | ＝ | λ || a |. (2) 当 _____ 时， λ a 与 a 的方向相同；当 _____ 时， λ a 与 a 和方向相反；当 λ ＝ 0 时， λ a ＝ 0. (3) 运算律：设 λ ， μ ∈ R ，则： ① λ ( μa ) ＝ _____ ； ② ( λ ＋ μ ) a ＝ _______ ； ③ λ ( a ＋ b ) ＝ _______ . 4. 两个向量共线定理 向量 b 与非零向量 a 共线的充要条件是有且只有一个实数 λ ，使得 ______ . λ ＞ 0 λ ＜ 0 ( λμ ) a λa ＋ μa λa ＋ λb b ＝ λa 知识点二 平面向量基本定理及坐标表示 1. 平面向量基本定理 定理：如果 e 1 、 e 2 是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任意向量 a ，有且只有一对实数 λ 1 ， λ 2 ，使 a ＝ _________ . 其中 ___________________ 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底，记为 { e 1 ， e 2 }. λ 1 e 1 ＋ λ 2 e 2 不共线的向量 e 1 、 e 2 2. 平面向量的坐标表示 (1) 在平面直角坐标系中，分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 i ， j 作为基底，对于平面内的一个向量 a ，存在唯一的有序数对 ( x ， y ) ，使 a ＝ xi ＋ yj ，把有序数对 ______ 叫做向量 a 的坐标，记作 a ＝ ______ ，其中 x 叫做 a 在 x 轴上的坐标， y 叫做 a 在 y 轴上的坐标，显然 0 ＝ (0 ， 0) ， i ＝ (1 ， 0) ， j ＝ (0 ， 1). ( x ， y ) ( x ， y ) 3. 平面向量的坐标运算 (1) 加法、减法、数乘运算 (2) 向量坐标的求法 已知 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ，则＝ ______________ ，即一个向量的坐标等于 _________________________ . (3) 平面向量共线的坐标表示 设 a ＝ ( x 1 ， y 1 ) ， b ＝ ( x 2 ， y 2 ) ， 其中 b ≠ 0 ，则 a 与 b 共线 ⇔ a ＝ λb ⇔ ____________ . 向量 a b a ＋ b a － b λa 坐标 ( x 1 ， y 1 ) ( x 2 ， y 2 ) ( x 1 ＋ x 2 ， y 1 ＋ y 2 ) ( x 1 － x 2 ， y 1 － y 2 ) ( λx 1 ， λ y 1 ) ( x 2 － x 1 ， y 2 － y 1 ) 终点的坐标减去起点的坐标 x 1 y 2 － x 2 y 1 ＝ 0 【 名师助学 】 方法 1 平面向量的线性运算 向量的线性运算的解题策略 (1) 进行向量运算时，要尽可能转化到平行四边形或三角形中，选用从同一顶点出发的基本向量或首尾相接的向量，运用向量加、减法运算及数乘运算来求解 . (2) 除了充分利用相等向量、相反向量和线段的比例关系外，有时还需要利用三角形中位线、相似三角形对应边成比例等平面几何的性质，把未知向量转化为与已知向量有直接关系的向量来求解 . [ 解题指导 ] [ 点评 ] 　 向量共线的充要条件中要注意当两向量共线时 ， 通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量 ， 要注意待定系数法和方程思想的运用 . 方法 2 平面向量基本定理的应用 用平面向量基本定理解决问题的一般思路 先选择一组基底，并运用平面向量基本定理将条件和结论表示成基底的线性组合，再进行向量的运算 . 在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便，要注意：零向量和共线向量不能作基底，基向量通常选取确定整个几何图形的从同一始点出发的两边所对应的向量 . 另外，要熟练运用线段中点的向量表达式 . [ 点评 ] 平面向量基本定理反映了利用已知向量表示未知向量 ， 实质就是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加减运算或进行数乘运算 . 方法 3 忽视零向量的性质致误 零向量的方向不确定，所以在处理平行问题时，一般规定零向量与任何一个向量平行 . 在讨论两个向量共线时，考生容易忽视零向量 . 答案　 ①②③④⑤⑥ [ 点评 ] 　数 0 与零向量的区别： 0 的模是 0 ， 方向任意 ， 并不是没有方向； 0 与任意非零向量平行； λ 0 ＝ 0 ， 而不是等于 0 ； 0 与任意向量的数量积等于 0 ， 即 0· a ＝ 0.