山东省济南外国语2020届高三寒假综合测试三月份在线考试数学试题

山东省济南外国语2020届高三寒假综合测试三月份在线考试数学试题

济南外国语学校寒假综合测试三 高三数学试题（2020.3）‎ 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.设U＝R，A＝，B＝，则＝（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分别求出集合，，直接进行交集运算即可.‎ ‎【详解】‎ A＝，，‎ ‎.‎ 故选:D ‎【点睛】本题考查集合的交集，补集运算，属于基础题.‎ ‎2.是虚数单位，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】试题分析：由题意得，所以，故选C．‎ 考点：复数的运算及复数的模．‎ ‎3.函数在的图像大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的奇偶性和特殊值可判断.‎ ‎【详解】解：因为，所以为奇函数，关于原点对称，故排除，又因为，，，，故排除、,‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查函数图象的识别，根据函数的性质以及特殊值法灵活判断，属于基础题.‎ ‎4.若且，则（ ）‎ A. B. C. D. 或 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对进行分类讨论，然后结合对数函数的单调性即可判断．‎ ‎【详解】解：∵且，‎ 当时，有，‎ 当时，有，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用对数函数的单调性比较函数值大小，属于基础题．‎ ‎5.已知非零向量、满足，.设与的夹角为，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【详解】由题意知，，故选A．‎ ‎6.下列结论中正确的个数是（ ）．‎ ‎①在中，若，则是等腰三角形；‎ ‎②在中，若 ，则 ‎③两个向量，共线的充要条件是存在实数，使 ‎④等差数列的前项和公式是常数项为0的二次函数．‎ A. 0 B. ‎1 ‎C. 2 D. 3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个命题逐一检验其正确性:‎ ‎①：若，则或；‎ ‎②:转化为证明其逆否命题：在中，若，则，结合正弦函数单调性可证；‎ ‎③：若，不合命题的充要性，命题为假；‎ ‎④：常数列不合题意.‎ ‎【详解】对于①：若，则或，即或 即是等腰三角形或直角三角形，所以该命题不正确；‎ 对于②：证明其等价命题即其逆否命题：在中，若，则 当时，由正弦函数单调递增可得；‎ 当时，，‎ 所以原命题成立，所以该命题正确；‎ 对于③：若，满足向量，共线，但不存在实数，使，所以该命题不正确；‎ 对于④：常数列，通项公式，其前项和公式不是二次函数，所以该选项不正确，‎ 综上：只有一个正确.‎ 故选：B ‎【点睛】此题考查对命题真假性的判断，涉及解三角形，向量，数列相关知识，此类问题涉及面广，考查全面，对综合能力要求较高.‎ ‎7.将函数的图象沿轴向右平移个单位后，得到的函数图象关于轴对称，则的值可以是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先求平移后的解析式，再根据函数关于轴对称，当时，，求的值.‎ ‎【详解】函数的图象沿轴向右平移个单位后的解析式是，‎ 若函数图象关于轴对称，当时，‎ ‎，‎ 解得： ， ‎ 当时，.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题考查函数图象的变换，以及根据函数性质求参数的取值，意在考查基本知识，属于基础题型.‎ ‎8.已知三棱锥的四个顶点都在球的表面上，侧棱，，两两垂直，且，若以为球心且1为半径的球与三棱锥公共部分的体积为，球的体积为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知是半径为1的球的体积的，把三棱锥补成正方体，利用正方体与外接球的关系即可得到球的体积为.‎ ‎【详解】由题意易得：，‎ 将三棱锥补形为正方体可得其外接球即为三棱锥体的外接球，直径为：，‎ 从而，，‎ 所以，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】三棱锥三条侧棱两两垂直,且棱长分别为，则其外接球半径公式为: .‎ 二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，优题速享部分选对的得3分，有选错的得0分.‎ ‎9.下列结论正确的是（ ）‎ A. ， B. 若，则 C 若，则 D. 若，，，则 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对每个选项注意检验，要么证明其成立，要么举出反例判定其错误.‎ ‎【详解】当时，为负数，所以A不正确；‎ 若，则，考虑函数在R上单调递增，‎ 所以，即，所以B正确；‎ 若，则，，所以C不正确；‎ 若，，，根据基本不等式有 所以D正确.‎ 故选：BD ‎【点睛】此题考查命题真假性的判断，内容丰富，考查的知识面很广，解题中尤其注意必须对每个选项逐一检验，要么证明其成立，要么举出反例，方可确定选项.‎ ‎10.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图，已知椭圆，为顶点，为焦点，为椭圆上一点，满足下列条件能使椭圆为“黄金椭圆”的有（ ）‎ A. 等比数列 B. ‎ C. 轴，且 D. 四边形的内切圆过焦点 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的简单性质分别求出离心率，再利用黄金椭圆的定义求解．‎ ‎【详解】解：‎ ‎，‎ 对于：为等比数列 则 不满足条件，故错误；‎ 对于：‎ 即解得或（舍去）满足条件 故正确；‎ 对于： 轴，且 即解得 不满足题意，故错误；‎ 对于：四边形的内切圆过焦点 即四边形的内切圆的半径为，‎ 解得（舍去）或 故正确 故选：‎ ‎【点睛】本题考查椭圆的离心率的计算问题，属于中档题.‎ ‎11.设为函数的导函数，已知，，则下列结论不正确的是（ ）‎ A. 在单调递增 B. 在单调递减 C. 在上有极大值 D. 在上有极小值 ‎【答案】ABC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据条件，构造函数g（x）＝xf（x），利用导数研究函数的单调性和极值，即可得到结论．‎ ‎【详解】解：由x‎2f′（x）+xf（x）＝lnx得x＞0，‎ 则xf′（x）+f（x），‎ 即[xf（x）]′，‎ 设g（x）＝xf（x），‎ 即g′（x）0得x＞1，由g′（x）＜0得0＜x＜1，‎ 即在单调递增，在单调递减，‎ 即当x＝1时，函数g（x）＝xf（x）取得极小值g（1）＝f（1），‎ 故选：ABC．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的导数的应用，根据条件构造函数，利用函数的单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎12.（多选）高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过x的最大整数，则称为高斯函数，例如：，．已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）‎ A. 是偶函数 B. 是奇函数 C. 在上是增函数 D. 的值域是 ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 举反例说明A错，用奇函数的定义证明B正确，用复合函数的单调性说明C正确，求出函数的值域，根据高斯函数的定义证明D错误．‎ ‎【详解】根据题意知，．‎ ‎，，‎ ‎，，函数既不是奇函数也不是偶函数，A错误；‎ ‎，是奇函数，B正确；‎ 由复合函数的单调性知在上是增函数，C正确；‎ ‎，，，‎ ‎，D错误．‎ 故选BC．‎ ‎【点睛】本题考查函数的单调性与奇偶性，考查函数的值域，考查学生的创新意识．由于涉及到新定义函数，有一定的难度．‎ 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.的展开式中的系数为_________.‎ ‎【答案】160‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的展开式的通项公式可得的展开式中的系数.‎ ‎【详解】的展开式中的系数为 ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题.‎ ‎14.在三角形中，点是线段的中点，，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据可以判断出为直角三角形且为斜边且长度为，从而可求斜边上的中线的长.‎ ‎【详解】因为，故，‎ 化简得到，故为直角三角形且为斜边.‎ 又，故，因为为斜边上的中线，故.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】向量的数量积有两个应用：（1）计算长度或模长，通过用 ；（2）计算角，．特别地，两个非零向量垂直的等价条件是.‎ ‎15.对于等差数列和等比数列，我国古代很早就有研究成果，北宋大科学家沈括在《梦溪笔谈》中首创的“隙积术”，就是关于高阶等差级数求和的问题.现有一货物堆，从上向下查，第一层有2个货物，第二层比第一层多3个，第三层比第二层多4个，以此类推，记第层货物的个数为，则数列的通项公式_______，数列的前项和_______.‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得，，利用累加法可求数列的通项公式，求出数列的通项公式，利用裂项相消法求其前项和.‎ ‎【详解】解：由题意可知，，，，，累加可得，‎ ‎，‎ ‎.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查累加法求数列的通项公式，以及裂项相消法求和，属于中档题.‎ ‎16.函数，，，若存在实数，使得成立，则的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可得成立，可令，求得导数和单调性、极值和最小值，可令最小值小于0，即可得到所求范围．‎ ‎【详解】函数，，，‎ 若存在实数，使得成立，‎ 可得成立，‎ 可令，‎ ‎，‎ 由，时，，递增；‎ 时，，递减，‎ 可得处取得极小值，且为最小值，‎ 可得，解得，‎ 故a的范围是．‎ ‎【点睛】本题考查不等式成立问题解法，注意运用转化思想和构造函数法，考查导数的运用：判断单调性和求最值，考查运算能力，属于中档题．导数问题经常会遇见有解的问题：‎ ‎（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；‎ ‎（2）若 就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为 ，若恒成立；‎ 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17.在①面积，②这两个条件中任选一个，补充在下面问题中，求.‎ 如图，在平面四边形中，，，______，，求.‎ ‎【答案】见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 选择①：利用三角形面积公式和余弦定理可以求接求出的长；‎ 选择②：在，中，分别运用正弦定理，可以求接求出的长；‎ ‎【详解】解：选择①：‎ 所以；‎ 由余弦定理可得 所以 选择②‎ 设，则，，‎ 在中，即 所以 在中，，即 所以.‎ 所以，解得，‎ 又，所以，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查了正弦定理、余弦定理、三角形面积公式，考查了数学运算能力.‎ ‎18.“绿水青山就是金山银山”的生态文明发展理念已经深入人心,这将推动新能源汽车产业的迅速发展，下表是近几年我国某地区新能源乘用车的年销售量与年份的统计表：‎ 年份 ‎2014‎ ‎2015‎ ‎2016‎ ‎2017‎ ‎2018‎ 销量（万台）‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎13‎ ‎25‎ ‎24‎ 某机构调查了该地区30位购车车主的性别与购车种类情况，得到的部分数据如下表所示：‎ 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 ‎6‎ ‎24‎ 女性车主 ‎2‎ 总计 ‎30‎ ‎（1）求新能源乘用车的销量关于年份的线性相关系数，并判断与是否线性相关；‎ ‎（2）请将上述列联表补充完整，并判断是否有的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关；‎ 参考公式：，，其中.，若，则可判断与线性相关.‎ 附表：‎ ‎0．10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ ‎2706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1），与线性相关（2）填表见解析，有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出，，，，再代入相关系数公式计算可得；‎ ‎（2）依题意，完善表格计算出与参数数据比较可得.‎ ‎【详解】解：（1）依题意，‎ ‎，‎ 故 ‎，，‎ 则 故与线性相关.‎ ‎（2）依题意，完善表格如下：‎ 购置传统燃油车 购置新能源车 总计 男性车主 ‎18‎ ‎6‎ ‎24‎ 女性车主 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ 总计 ‎20‎ ‎10‎ ‎30‎ 故有90%的把握认为购车车主是否购置新能源乘用车与性别有关.‎ ‎【点睛】本题考查利用相关系数判断两个变量的相关程度，以及独立性检验，考查计算能力，属于基础题.‎ ‎19.如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，，，为的中点，为的中点，点在线段上，且．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）若平面底面ABCD，且，求平面与平面所成锐二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）（法一）如图，设中点为，连接，，，则有，利用线面平行的判定定理，证得平面，进而证得平面，从而证得平面平面，即可求得平面.‎ ‎（法二）连接、、，则有，证得 ‎，利用线面平行的判定定理，即可证得平面.‎ ‎（2）以为坐标原点建立空间直角坐标系，求得平面和平面的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求解．‎ ‎【详解】解：（1）证明：（法一）如图，设中点，连接，，，则有，‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ 又∵，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面，‎ 又∵，∴平面平面，∴平面.‎ ‎（法二）如图，设中点为，为线段上一点，且.‎ 连接、、，则有，‎ ‎∵，∴，∴，且，‎ 即为平行四边形，∴，‎ ‎∵平面，平面，∴平面.‎ ‎（2）∵平面底面，且，∴底面，‎ 如图，以为坐标原点建立空间直角坐标系，‎ 则，，，，‎ ‎∴，，‎ 设平面的一个法向量为，‎ 则，∴，‎ 取，可得，‎ 又易知平面的一个法向量，‎ 设平面与平面所成锐二面角为，则，‎ ‎∴平面与平面所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查了立体几何中的线面平行判定和平面与平面所成的角的求解问题，意在考查学生的空间想象能力和逻辑推理能力，解答本题关键在于能利用直线与直线、直线与平面、平面与平面关系的相互转化，通过严密推理．同时对于立体几何中角的计算问题，往往可以利用空间向量法，通过求解平面的法向量，利用向量的夹角公式求解.‎ ‎20.已知数列满足：，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求的前n项和．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题得，再利用项和公式求数列的通项公式；（2）由题得，再利用错位相减法求数列的前n项和．‎ ‎【详解】（1）令 当时，‎ 当时，‎ 当时，满足，‎ 所以的通项公式为．‎ ‎（2）由（1）得 ‎①．‎ ‎②‎ 由①减去②得 所以的前n项和．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用项和公式求数列的通项，考查错位相减法求和，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎21.已知椭圆的半焦距为，圆与椭圆有且仅有两个公共点，直线与椭圆只有一个公共点.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）已知动直线过椭圆的左焦点，且与椭圆分别交于两点，点的坐标为，证明：为定值.‎ ‎【答案】（1）（2）证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意，得，根据计算可得；‎ ‎（2）对直线的斜率存在与否分类讨论，当斜率不存在直接计算可得，当斜率存在设直线的方程为，联立直线与椭圆方程得到方程组，利用韦达定理计算可得.‎ ‎【详解】解：（1）依题意，得，‎ 则，‎ 故椭圆的标准方程为.‎ ‎（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为，代入，得.‎ 不妨设，，若，则，，‎ ‎.‎ ‎②当直线的斜率存在时，‎ 设直线的方程为，代入椭圆的方程，可得，‎ 设，则，，‎ 因为，，‎ 所以 综上所述，为定值.‎ ‎【点睛】本题考查直线与椭圆的综合应用，向量的数量积的坐标表示，属于中档题.‎ ‎22.已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处切线的方程；‎ ‎（2）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（3）若，证明对任意，恒成立.‎ ‎【答案】（1）；（2）在和内是增函数，在内是减函数；（3）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）当时，求得，进而得到，利用直线的点斜式方程，即可求解；‎ ‎（2）求得函数导数，三种情况分类讨论，即可求解．‎ ‎（3）把，转化为，令，利用导数求得函数的单调性与最值，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当时，则函数，‎ 则，则，‎ 曲线在点处切线的方程为，即.‎ ‎（2）由函数，则，‎ 令，，，又，‎ ‎①若，，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以在区间和内是增函数，在内是减函数.‎ ‎②若，，当变化时，，的变化情况如下表：‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ 极大值 极小值 所以在和内是增函数，在内是减函数.‎ ‎（3）因，所以在内是减函数， 因为 不妨设，则 .‎ 于是，等价于，‎ 即，‎ 令，‎ 因在内是减函数，‎ 故，从而在内是减函数，‎ ‎∴对任意，有，即，‎ ‎∴当时，对任意，恒成立.‎ ‎【点睛】本题主要考查导数在函数中的综合应用，以及不等式的证明，着重考查了转化与化归思想、分类讨论、及逻辑推理能力与计算能力，对于恒成立问题，通常要构造新函数，利用导数研究函数的单调性，求出最值，进而得出相应的含参不等式，从而求出参数的取值范围；也可分离变量，构造新函数，直接把问题转化为函数的最值问题．‎