四川省南充市阆中市阆中中学2020届高三上学期10月月考数学试题

四川省南充市阆中市阆中中学2020届高三上学期10月月考数学试题

阆中中学2020届高三（高2017级）10月月考 数学（理科）试题 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合A，B根据补集和交集的定义即可求出．‎ ‎【详解】集合A＝{y|y＝2x﹣1}＝（﹣1，+∞），B＝{x|x≥1}＝[1，+∞），‎ 则∁RB＝（﹣∞，1）‎ 则A∩（∁RB）＝（﹣1，1），‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的交、并、补集的混合运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．‎ ‎2.已知角的终边过点，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 由点的坐标有：，‎ 结合三角函数的定义可知：，‎ 则：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3.函数的定义域为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 函数有意义，则：，‎ 求解三角不等式可得函数的定义域为：.‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ ‎4.已知函数的图象如图所示，其中是函数的导函数，则函数的大致图象可以是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 分析：讨论x＜﹣1，﹣1＜x＜0，0＜x＜1，x＞1时，f′（x）＜0，的正负，从而得函数的单调性，即可得解．‎ 详解：由函数的图象得到：‎ 当x＜﹣1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数；‎ 当﹣1＜x＜0时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；‎ 当0＜x＜1时，f′（x）＞0，f（x）是增函数；‎ 当x＞1时，f′（x）＜0，f（x）是减函数．‎ 由此得到函数y=f（x）的大致图象可以是A．‎ 故选：A．‎ 点睛：本题利用导函数的图象还原函数的图象，即根据导数的正负判断函数的单调性，属于基础题．‎ ‎5.为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）．‎ A. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度，再向下平移个单位长度 D. 向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将函数用降幂公式和二倍角公式化简，再根据平移法则求解即可 ‎【详解】函数可化简为，即，可由函数的图象向右平移个单位长度，再向上平移个单位长度得到 故选D．‎ ‎【点睛】本题考查复合三角函数的化简，复合三角函数的平移法则，其中用到降幂公式，二倍角的正弦公式，平时训练当中应熟记基本的降幂公式和二倍角公式，以便争分夺秒，决胜考场 ‎6.已知，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可先初步判断和的取值范围，再由不等关系来确定的增减性即可 ‎【详解】由指数函数是减函数知，；‎ 由指数函数是增函数知， ，‎ 设幂函数为，由知， 幂函数在第一象限应为减函数，故 故选B．‎ ‎【点睛】本题考查指数型不等式的解法与幂函数增减性的判断，处理此类题型，应从范围的角度去分析，确定底数取值区间，再根据幂函数的性质去求解 ‎7.已知将函数的图象向右平移个单位长度得到函数的图象，若和的图象都关于对称，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换即可得的图象，利用函数的对称性求解即可 ‎【详解】由题 ‎ 又和的图象都关于对称，则 ，得 ，即，又，故， ，则 故选：A 点睛】本题考查，函数y＝Asin（ωx+φ）的图象变换确定其解析式，考查三角函数的性质，考查学生分析问题解决问题的能力，属于中档题．‎ ‎8.若关于的方程有解，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可将看成的平方，等式两边同时除以，可得均值不等式的基本形式，再根据不等式的最值求解即可 ‎【详解】由，得（当且仅当时等号成立），解得 故选D ‎【点睛】本题考查指数函数的值域代换问题，方程有解问题，基本不等式最值求解，同时考查了方程与不等式的转化思想 ‎9.当时，函数的最小值为（ ）‎ A. B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎，，当且仅当时取等号，函数的最小值为4，选C.‎ ‎10.已知函数，若，则实数的取值范围是 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先研究函数奇偶性与单调性，再根据奇偶性与单调性化简不等式，解得实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为 ,‎ 所以为奇函数，且在R上单调递减，‎ 因为，所以，选D.‎ ‎【点睛】解函数不等式：首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式(组)，此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内.‎ ‎11.已知函数 (为自然对数的底数)，若在上恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析：不等式在上恒成立等价于在上恒成立，可利用导数求在上的函数的最小值.‎ 详解：因为在上恒成立，故在上不等式总成立，‎ 令，则.‎ 当时，，故在上为减函数；‎ 当时，，故在上为增函数；‎ 所以，故，故选D.‎ 点睛：含参数的不等式的恒成立问题，优先考虑参变分离的方法，注意利用导数来求新函数的最值.‎ ‎12.设函数的导函数为，若对任意都有成立，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. 与大小关系不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可构造函数，求导得，根据题意判断的正负，进而判断的增减性，再令分别为和，比大小即可求得 ‎【详解】令，则，‎ 因为对任意都有成立，所以恒成立，即在上单调递增，则，即，即．‎ 故选C．‎ ‎【点睛】本题考查构造函数，结合导数和函数增减性求解不等式的问题，对基本函数的熟识度有较高要求，由可判断构造函数类型应为分式型，故考虑构造 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.已知函数是定义域为的偶函数，且在上单调递增，则不等式的解集为____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用偶函数关于 轴对称，又由在上单调递增，将不等式转化为 ，即可解得的解集。‎ ‎【详解】 函数是定义域为的偶函数，‎ 可转化为，‎ 又在上单调递增，‎ ‎ ，两边平方解得： ，‎ 故的解集为。‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性与单调性的综合运用，根据函数奇偶性和单调之间的关系将不等式进行转化是解决本题的关键。‎ ‎14.若幂函数在上是减函数，则实数值为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 试题分析：由题意得：‎ 考点：幂函数定义及单调性 ‎15.已知锐角三角形的边长分别为1，3，，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 由三角形中三边关系及余弦定理可得应满足 ‎，解得，‎ ‎∴实数的取值范围是．‎ 答案：‎ 点睛：‎ 根据三角形的形状判断边满足的条件时，需要综合考虑边的限制条件，在本题中要注意锐角三角形这一条件的运用，必须要考虑到三个内角的余弦值都要大于零，并由此得到不等式，进一步得到边所要满足的范围．‎ ‎16.已知函数（），若函数在上为单调函数，则的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ f′(x)＝－4x＋，‎ 若函数f(x)在[1,2]上为单调函数，‎ 即f′(x)＝－4x＋≥0或f′(x)＝－4x＋≤0‎ 在[1,2]上恒成立，‎ 即≥4x－或≤4x－在[1,2]上恒成立．‎ 令h(x)＝4x－，则h(x)在[1,2]上单调递增，‎ 所以≥h(2)或≤h(1)，‎ 即≥或≤3，‎ 又a＞0，所以0＜a≤或a≥1.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答。第22、23题为选考题，考生根据要求作答。‎ ‎(一)必考题：共60分 ‎17.已知函数，，是函数的零点，且的最小值为.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）设，若，，求的值.‎ ‎【答案】(Ⅰ) (Ⅱ) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出，根据周期求得；(Ⅱ)根据解析式可求解出，；再利用同角三角函数关系求出，；代入两角和差余弦公式求得结果.‎ ‎【详解】(Ⅰ)‎ 的最小值为 ,即 ‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知：‎ ‎ ‎ 又 ，‎ ‎【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.‎ ‎18.已知，，设函数．‎ ‎（1）求函数的单调增区间；‎ ‎（2）设的内角，，所对的边分别为，，，且，，成等比数列，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1)，．(2).‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由题，根据正弦函数的性质可求其单调增区间；‎ ‎（2）由题可知，‎ ‎（当且仅当时取等号），所以，，由此可求 的取值范围．‎ 试题解析：（1），‎ 令，则，，‎ 所以函数的单调递增区间为，．‎ ‎（2）由可知，‎ ‎（当且仅当时取等号），‎ 所以，，，‎ 综上，的取值范围为．‎ ‎19.如图中，为的中点，，，.‎ ‎（1）求边的长；‎ ‎（2）点在边上，若是的角平分线，求的面积.‎ ‎【答案】（1）10；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得cos∠ADB＝﹣cos∠ADC，由已知利用余弦定理可得：9+BD2﹣52+9+BD2﹣16＝0，进而解得BC的值．（2）由（1）可知△ADC为直角三角形，可求S△ADC6，S△ABC＝2S△ADC＝12，利用角平分线的性质可得，根据S△ABC＝S△BCE+S△ACE可求S△BCE的值．‎ ‎【详解】（1）因为在边上，所以，‎ 在和中由余弦定理，得，‎ 因为，，，，‎ 所以，所以，.‎ 所以边的长为10.‎ ‎（2）由（1）知为直角三角形，所以，.‎ 因为是的角平分线，‎ 所以.‎ 所以，所以.‎ 即的面积为.‎ ‎【点睛】本题主要考查了余弦定理，三角形的面积公式，角平分线的性质在解三角形中的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．‎ ‎20.已知函数f(x)=x－ax+(a－1)，，‎ ‎（1）讨论函数的单调性；‎ ‎（2）证明：若，则对任意x，x，xx，有。‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【详解】（1）的定义域为.‎ ‎.‎ ‎（i）若即，则，故在上单调递增.‎ ‎（ii）若，而，故，则当时，；‎ 当及时，，‎ 故在单调递减，在，单调递增.‎ ‎（iii）若即，同理可得在单调递减，在，单调递增.‎ ‎（2）考虑函数，‎ 则 由于，故，即在单调增加，从而当时有，即，故，‎ 当时，有.‎ 点睛：利用导数证明不等式常见类型及解题策略(1) 构造差函数.根据差函数导函数符号，确定差函数单调性，利用单调性得不等量关系，进而证明不等式；（2）根据条件，寻找目标函数.一般思路为利用条件将求和问题转化为对应项之间大小关系，或利用放缩、等量代换将多元函数转化为一元函数.‎ ‎21.已知函数，且曲线在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）求证：时，.‎ ‎【答案】（1）的单调增区间为，无减区间（2）详见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出原函数的导函数，得到函数在x＝1时的导数，再求得f（1），然后利用直线方程的点斜式得答案；（2）构造新函数h（x）＝ex﹣x2﹣（e﹣2）x﹣1，证明ex﹣（e﹣2）x﹣1≥x2；令新函数φ（x）＝lnx﹣x，证明x（lnx+1）≤x2，从而证明结论成立．‎ ‎【详解】（1）由，得.‎ 因为曲线在点处的切线与直线垂直，‎ 所以，所以，即，.‎ 令，则.所以时，，单调递减；‎ 时，，单调递增.所以 ‎，所以，单调递增.‎ 即的单调增区间为，无减区间 ‎（2）由（1）知，，所以在处的切线为，‎ 即.‎ 令，则，‎ 且，，‎ 时，，单调递减；‎ 时，，单调递增.‎ 因为，所以，因为，所以存在，使时，，单调递增；‎ 时，，单调递减；时，，单调递增.‎ 又，所以时，，即，‎ 所以.‎ 令，则.所以时，，单调递增；‎ 时，，单调递减，所以，即，‎ 因为，所以，所以时，，‎ 即时，.‎ ‎【点睛】本题考查了利用导数研究过曲线上某点处的切线方程，考查构造新函数求最值证明不等式，是难题．‎ ‎（二）选考题：共10分，请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，曲线：（为参数）.以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线：.‎ ‎（1）求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若曲线与交于，两点，，中点为，点，求的值.‎ ‎【答案】（1）的普通方程为，的直角坐标方程为；（2）3.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接消去参数可得C1的普通方程；结合ρ2＝x2+y2，x＝ρcosθ得C2的直角坐标方程；（2）将两圆的方程作差可得直线AB的方程，写出AB的参数方程，与圆C2联立，化为关于t的一元二次方程，由参数t的几何意义及根与系数的关系求解．‎ ‎【详解】（1）曲线的普通方程为.‎ 由，，得曲线的直角坐标方程为.‎ ‎（2）将两圆的方程与作差得直线的方程为.‎ 点在直线上，设直线的参数方程为（为参数），‎ 代入化简得，所以，.‎ 因为点对应的参数为，‎ 所以 ‎.‎ ‎【点睛】本题考查简单曲线的极坐标方程，考查参数方程化普通方程，着重考查直线参数方程中参数t的几何意义，是中档题．‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）将a＝1代入f（x）中去绝对值，然后分别解不等式；（2）f（x）﹣a﹣2≤0恒成立等价于f（x）max≤a+2，求出f（x）的最大值后解不等式．‎ ‎【详解】（1）当时，，‎ 当时，，无解；‎ 当时，，得，所以；‎ 当时，，符合.‎ 综上，不等式解集为.‎ ‎（2）因为恒成立等价于，‎ 因为，‎ 所以.‎ 所以，所以，解得.‎ 所以所求实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了绝对值不等式的解法和不等式恒成立问题，考查了转化思想，属基础题．‎ ‎ ‎