重庆市九校联盟2019-2020学年高二上学期联考数学（理）试卷

重庆市九校联盟2019-2020学年高二上学期联考数学（理）试卷

重庆市“九校联盟”联考 数学（理科）试题 第一卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题（每小题5分，共60分；每小题都只有一个正确答案）‎ ‎1.（原创）有如下三段论推理：所有的偶数都不是质数，因为2是偶数，所以2不是质数。这个结论显然是错误的，导致这一错误的原因是(　 　)‎ ‎ A 大前提错误 B 小前提错误 ‎ C 大前提和小前提都错误 D 推理形式错误 ‎2.（原创）复数在复平面内对应的点在第二象限的充要条件是（ ）A B C D ‎ ‎3.在用反证法证明命题：“若，则三个数中至少有一个大于0”时，正确的反设为：设三个数（ ） ‎ A 都小于 B 都小于等于 ‎ C 最多1个小于 D 最多1个小于等于 ‎4.（原创）（ ） ‎ ‎ A B C D ‎ ‎5.（原创）近几年来，山东师范大学与荣昌永荣中学建立了良好的合作关系，每年山东师大都会派出部分优秀的研究生到永荣中学支教。现有2名到永荣中学支教的山东师大研究生在支教工作结束时与4名学生站一排合影留念，则2名研究生恰好不相邻的概率为（ ）‎ ‎ A B C D ‎ ‎ 6.（原创）函数在R上可导，且，则( )‎ A 0 B 1 C D 不确定 ‎7.（原创）在的展开式中，的系数为（ ） ‎ ‎ A 　B 12 　C D 60 ‎ 8. 设三次函数的导函数为，函数的图象的一部分如图所示，则下列说法正确的是（ ）‎ A 极大值为，极小值为 ‎ B 极大值为，极小值为 ‎ C 极大值为，极小值为  ‎ D 极大值为，极小值为 ‎ ‎9.（改编）重庆气象局的空气质量监测资料表明，重庆主城区一天的空气质量为优良的概率是，连续两天为优良的概率是，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是（ ） A B C D ‎ ‎10.（改编）若直线与函数，的图像分别交于点、，当、两点距离最近时，（ ）‎ A B C 1 D ‎ ‎11（原创）某学校高三有四个优秀的同学甲、乙、丙、丁获得了保送到重庆大学、西南大学和重庆邮电大学3所大学的机会，若每所大学至少保送1人，且甲同学要求不去重庆邮电大学，则不同的保送方案共有（ ）种 A 24 B 36 C 48 D 64 ‎ ‎12.(原创）若实数满足且（其中，是自然对数底数) , 则最小值为（ ）‎ A B 5 C D 10‎ 第二卷 非选择题（共90分）‎ 二、 填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13.（原创）若，为虚数单位，且，则 ；‎ ‎14.（改编）随机变量的分布列如下：‎ ‎-2‎ ‎2‎ 若数学期望，则=___________；‎ ‎ 15.（原创）小张今年刚好年满18岁，决定去参军。临走时，他去买了同样的手机吊坠3个，同样的手链3个，从中任意取出4个分别赠送给他的4位好朋友，每位朋友1个，则不同的赠送方法共有 种 ；‎ ‎ 16.（改编)已知函数，实数若使得对，都有成立，则的最大值为 ；‎ 三、解答题（共70分，解答题应写出解题过程）‎ ‎17（原创）（共10分，2个小题各5分）已知复数满足（为虚数单位）；‎ （1） 求复数； (2) 求。‎ ‎18（改编）（共12分，2个小题各6分）函数； ‎ （1） 求在点处的切线方程； （2）求的极值。‎ ‎19（原创）（共12分，其中第1小题4分，第2小题8分）近些年来，我国电子商务行业得到高速发展。2009年，阿里巴巴集团开始推出双11打折促销活动，2014年阿里巴巴宣布取得双11注册商标，双11正式成为购物狂欢节。2016年双11当天,阿里巴巴旗下的购物平台24小时的销售业绩就高达1207亿多人民币.与此同时,国家监管部门推出了针对电商的商品质量和服务质量的评价系统，由在购物平台进行了交易的的购物者对电商的商品质量和服务质量作出评价。现从评价系统中任意选出1000次成功交易,并对其评价进行统计发现,对商品质量做出好评的交易有750次,对服务质量做出好评的交易有800次（假设顾客对商品质量和服务质量的评价互不影响）,现将频率视为概率。‎ ‎（1）从评价系统中任意选出一次成功交易，求其评价对商品质量和服务质量都是好评的概率；‎ ‎（2）已知某人在该购物平台购物4次，每次都对商品质量和服务质量做出了评价。设此人对商品质量和服务质量都是好评的次数为随机变量，求的分布列和数学期望。‎ ‎20（共12分，其中第1小题3分，第2小题9分）设为数列的前项和，且对于，都有成立；（1）求；‎ ‎（2）猜测数列的通项公式并用数学归纳法证明。‎ ‎21（改编）（共12分，其中第1、2小题各3分，第3小题6分）学校在高二年级开设了A,B C D共4门不同的选修课，每个学生必须从中任选一门。已知高二的3名学生甲、乙、丙对这4门选修课的兴趣相同（即选这四门课是等可能的）；‎ （1） 求甲、乙、丙三人选择的选修课都不相同的概率；‎ ‎（2）求恰有2门选修课甲、乙、丙都没有选择的概率；‎ ‎（3）设随机变量为甲、乙、丙三人中选修A这门课的人数，求的分布列和数学期望。‎ ‎22（共12分，2个小题各6分）已知函数；‎ （1） 讨论的单调性； ‎ ‎（2）已知（）时，不等式恒成立；若函数的图像与x轴交于，两点，线段AB中点的横坐标为，求证：。‎ 九校联考高二数学（理科）试题答案 一、选择题：（共12小题，60分，每小题5分）‎ ‎1—5 ABBCD 6—10 CDACD 11—12 AB ‎12、由n+2m=2得n=2(1-m),故 即 设M(x，y)，N（m，n）‎ 则M、N分别是与上的点 所以 则的最小值即为的最小值 设l是与y=2(1-x)平行的直线，与相切于点P 则由得，‎ 所以P(0，-3),由P到y=2(1-x)的距离d=‎ 所以的最小值为，的最小值为5.‎ 二、填空题：（共4小题，20分，每小题5分）‎ ‎13. 2 14. ‎ ‎15. 14 16. 6 ‎ ‎11‎ y ‎16、‎ ‎ 又 ‎2‎ ‎ 故在（0，1）单调递减，在（1，+）单调递增 ‎-7‎ ‎-4‎ X ‎-5‎ 因为对任意存在使得 则，令，得，或 由a＜b，可得 所以 三、解答题：‎ ‎17、解：（1）由题意，z=……………………………………………….5分 ‎ （2）由(1),=…10分 ‎18、解：（1）1………………………………………………………………..2分 设所求切线方程的斜率为k，则k=f’(1)=e-1………………………………………….4分 又f(1)=e,故所求切线方程为：y-e=(e-1)(x-1)………………………………………….6分 即y=(e-1)x+1…………………………………………………………………………….6分 ‎ （2）因为1‎ 令f’(x)＞0，则x＞0；令f’(x)＜0，则x＜0，……………………………………….8分 故函数f(x)在（）单调递减，在（）单调递增………………………..10分 ‎ x=0时，函数f(x)有极小值f（0）=2……………………………………………...12分 ‎19、解：（1）由题意：‎ 对商品作出好评的概率：…………………………………1分 ‎ 对服务作出好评的概率：…………………………………2分 ‎ 对商品和服务都作出好评的概率：…………………………..4分 ‎ （2）随机变量X服从二项分布，X~B(4，)……………………………………6分 ‎ X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ P ‎……………………………………………………………………………………….10分 EX==2.4………………………………………………………………………12分 ‎20、解：(1)………………………………………………….1分 ‎ ……………………………….2分 ‎ ………………….. .3分 ‎（2），由（1）猜想………………………………………………………4分 ‎ 证明：当n=1, ……………………………………………………..6分 ‎ 假设n=k, 成立，………………………………………….8分 那么………………….9分 ‎ ……………………… 10分 ‎ ‎ ‎………………………………………………………...11分 ‎ 即n=k+1时，等式也成立 由可知，对一切n都成立………………………………..12分 ‎21、解：(1)根据分步计数原理总事件数是，满足条件的事件数是……………....1分 ‎ 所以3个学生选择了3门不同的选修课的概率：…………..…3分 ‎ ‎ ‎ （2）恰有2门选修课这3个学生都没有选择的概率：‎ ‎………………………………………………....6分 ‎ (3) 解法1：由题意，=0,1,2,3,4………………………………………………….7分 ‎ P(=0)=…………………………………………………………….8分 ‎ P(=1)= …………………………………………………..9分 P(=2)= ………………………………………………….10分 P(=3)=………………………………………………………...11分 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P E=……………………………12分 ‎（3）解法2，~B(3，), =0,1,2,3 ‎ P(=0)= P(=1)= ‎ P(=2)= P(=3)=‎ 所以的分布列为：‎ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎ E=3= ‎ ‎22.解：（1） ‎ ‎ ……………………………………………………………………………………………1分 ‎（i）若单调增加……………………….3分 ‎ （ii）若且当……………………………………5分 即单调增加，在单调减少. ……………………………..6分 ‎（2）证明：由（1）可知当时，单调增加，在单调减少.‎ 与x轴有2个交点，则，且，中一个大于，一个小于，‎ 设，，则。…………………….…………………………7分 因为，恒成立，‎ 所以，即 又，所以 因为，，又单调递减，可知即,‎ 则，…………………………………………………………………12分