数学理卷·2018届河北省涞水波峰中学高二4月月考（2017-04）

数学理卷·2018届河北省涞水波峰中学高二4月月考（2017-04）

‎2016-2017学年度波峰中学 ‎4月数学（理）月考试卷 考试范围：选修2-1,2-2；考试时间：120分钟；命题人：刘丹丹 注意事项：‎ ‎1. 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 ‎2. 请将答案正确填写在答题卡上 评卷人 得分 一、单项选择（每小题5分）‎ ‎1、下列求导运算正确的是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎2、过点且与曲线在点处的切线垂直的直线的方程为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎3、设函数是函数的导函数，，且，则的解集是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4、定积分的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎5、正方体中，是棱的中点，则与所成角的余弦值 （ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6、若函数在上单调递增，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7、设函数，其中，若有且只有一个整数使得，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎8、正四棱锥中，为顶点在底面上的射影，为侧棱的中点，且，则直线与平面所成的角是（ ）‎ A．30° B．45° ‎ C．60° D．90°‎ ‎9、设，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、在正三棱柱中，若，点是的中点，则点到平面的距离是（ ）‎ A．1 B． ‎ C． D．2‎ ‎11、已知函数，.若不等式对所有的，都成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12、已知函数的图像上存在不同的两点，使得曲线在这两点处的切线重合，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 评卷人 得分 二、填空题（每小题5分）‎ ‎13、设函数，曲线在点处的切线方程为，则曲线在点处切线方程是______‎ ‎14、设函数f（x）=，若f（f（a））≤2，则实数a的取值范围是 ．‎ ‎15、曲线与直线所围成的平面图形的面积为 .‎ ‎16、如图，在三棱锥中，已知，，设，则的最小值为 .‎ 评卷人 得分 三、解答题（17题10分，其它各小题12分）‎ ‎17、求由抛物线与它在点A（0，－3）和点B(3，0)的切线所围成的区域的面积。‎ ‎18、已知函数（，）．‎ ‎（1）若，求函数的极值和单调区间；‎ ‎（2）若在区间上至少存在一点，使得成立，求实数的取值范围．‎ ‎19、如图，已知正三棱柱的底面边长为2，侧棱长为，点在侧棱上，点在侧棱上，且.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ ‎20、某市旅游部门开发一种旅游纪念品,每件产品的成本是15元,销售价是20元,月平均销售件,通过改进工艺,产品的成本不变,质量和技术含金量提高,市场分析的结果表明,如果产品的销售价提高的百分率为,那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后,旅游部门销售该纪念品的月平均利润是(元).‎ ‎（1）写出与的函数关系式；‎ ‎（2）改进工艺后,确定该纪念品的售价,使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.‎ ‎21、如图，在长方形中，，点是棱上一点，且.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若二面角的大小为，求的值.‎ ‎22、已知，二次函数，关于的不等式的解集为，其中为非零常数，设.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若存在一条与轴垂直的直线和函数，的图象相切，且切点的横坐标满足，求实数的取值范围；‎ ‎（3）当实数取何值时，函数存在极值？并求出相应的极值点．‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1、【答案】B ‎【解析】根据导数的运算公式可得，对于，所以不正确；对于C中，，所以不正确；对于D中，，所以不正确，故选B．‎ 考点：导数的运算．‎ ‎2、【答案】B ‎【解析】因,故切线的斜率,故所求直线的斜率,方程为,即．故应选B．‎ 考点：导数的几何意义及直线与直线的位置关系的综合运用．‎ ‎3、【答案】B ‎【解析】由可知，函数的解析式应该为，则，由此可得，可求得；又，可求得，则，，解不等式，即，可解得，所以本题的正确选项为B.‎ 考点：求函数的解析式，导函数的运用.‎ 思路点睛：因为原函数与导函数满足关系式，即原函数与导函数具有相同的最高次，而具有相同最高次的函数，就目前所学知识来说，仅有三角函数与指数函数，他们的导函数与原函数具有相同的最高次，但是三角函数的导函数与原函数不是同名的，所以只能是指数函数的导函数，据此可假设函数的解析式，并代入已知条件中求参数，进而得到解析式，解不等式．‎ ‎4、【答案】C ‎【解析】令,则,则 ‎,故应选C．‎ 考点：定积分及运算．‎ ‎5、【答案】B ‎【解析】设正方体的棱长为2，以DA为x轴，以DC为y轴，以为z轴，建立空间直角坐标系，则（2，0，2），B（2，2，0），（0，0，2），E（2，1，2），‎ ‎∴=（0，2，-2），=（2，1，0），设与所成角为θ，‎ 则 考点：异面直线及其所成的角 ‎6、【答案】B ‎【解析】函数在上单调递增,所以在上恒成立，即在上恒成立，令，其对称轴为，‎ 当即时，在上恒成立等价于，由线必规划知识可知，此时；‎ 当即时，在上恒成立等价于，，即；‎ 当即时，在上恒成立等价于，此时；‎ 综上可知，，故选B.‎ 考点：1.导数与函数的单调性；2.线性规划；3.函数与不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、线性规划、函数与不等式等知识，旨在考查学生综合运用数学知识的能力、运算能力以及逻辑思维能力，属难题；利用导数求单调性问题时应注意：（或）是函数单调递增（递减）的充分条件，而不是必要条件，当函数在某个区间上单调递增（或递减）时，（或）.‎ ‎7、【答案】D ‎【解析】设，，则，∴，，单调递减；，，单调递增，所以处取得最小值，所以，，直线恒过定点且斜率为，所以，∴而，∴的取值范围 考点：1.导数与函数的单调性、极值；2.函数与方程、不等式.‎ ‎【名师点睛】本题考查导数与函数的单调性、极值，函数与方程、不等式，属难题；导数在不等式中的应用问题是每年高考的必考内容，主要考查证明不等式、不等式恒成立或不等式恒成立求参数范围等问题，证明不等式可通过构造两个函数的差函数，证明差函数恒大于（或小于）证明，利用导数解决不等式恒成立问题时，首先要构造函数，利用导数研究所构造函数的单调性、最值，进而得到相应的含参不等式，求出范围即可.‎ ‎8、【答案】A ‎【解析】如图所示，以为原点建立空间直角坐标系，设，则，则，设平面的法向量为，可求得，则，所以，所以直线与平面所成的角是，故选A．‎ 考点：直线与平面所成的角．‎ ‎9、【答案】‎ ‎【解析】由已知得： ，‎ 令，得：，知：曲线是以坐标原点为圆心，1为半径的圆处在x轴上方部分的半圆，由定积分的几何意义知：‎ ‎，‎ 又，‎ 故选A．‎ 考点：定积分．‎ ‎10、【答案】B ‎【解析】以为轴，以为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，因为正三棱柱中，若，点是的中点，所以，所以，设平面的法向量为，因为，所以，所以，所以点到平面的距离是，故选B．‎ 考点：点到平面的距离的求解．‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了点到平面的距离问题，其中解答中涉及到空间向量的应用、平面法向量的求解、点、线、面的位置关系的判定等知识点综合考查，解答中要认真审题，合理地运用空间向量法进行合理求解，其中向量法是求解点到平面距离问题的一种常用方法，着重考查了学生的推理与运算能力，属于中档试题．‎ ‎11、【答案】B ‎【解析】由题设可得，因,故对任意的，都有，即对一切恒成立，也即对一切恒成立，令，则在恒成立，故，所以.应选B.‎ 考点：转化化归思想及导数与函数的单调性的关系等知识的综合运用.‎ ‎【易错点晴】不等式恒成立的问题及转化化归思想不仅是中学数学中的重要知识点也是解决许多数学问题的重要思想和方法.本题在求解时,先从依据题设中的已知条件将问题入手，进而运用转化化归思想将问题化为也即对一切恒成立，然后借助导数的知识求得，从而使得问题巧妙获解．‎ ‎12、【答案】C ‎【解析】时，；时，.设且，当或时，，故，当时，函数在点处的切线方程为，即当时，函数在点处的切线方程为 ‎，即，两切线重合的充要条件是，且，消去得：，令，则，构造函数，，，，所以在单调递减，在单调递增，又所以，所以在单调递减，所以，即，故选C.‎ 考点：导数的几何意义.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查了导数的几何意义及函数的值域问题，属于难题. 求曲线的切线方程是导数的重要应用之一，用导数求切线方程的关键在于求出切点及斜率，其求法为：设是曲线上的一点，则以的切点的切线方程为：．若曲线在点的切线平行于轴（即导数不存在）时，由切线定义知，切线方程为．‎ 二、填空题 ‎13、【答案】‎ ‎【解析】由导数的几何意义，得，求导函数得，，又，所以在点处切线方程是，故答案为．‎ 考点：1.利用导数研究曲线上某点切线方程；2.导数的加法与减法法则．‎ ‎【思路点睛】先根据曲线在点处的切线方程为，可得，再利用函数，可知，从而可求曲线在点 处切线的斜率．本题考查的重点是曲线在点处切线的斜率，解题的关键是利用导数的几何意义．‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】试题分析：画出函数f（x）的图象，由 f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2，数形结合求得实数a的取值范围．‎ 试题解析：解：∵函数f（x）=，它的图象如图所示：‎ ‎ 由f（f（a））≤2，可得 f（a）≥﹣2.‎ 由f（x）=﹣2，可得﹣x2=﹣2，x≥0，解得x=，‎ 故当f（f（a））≤2时，则实数a的取值范围是a≤；‎ 故答案为：‎ 考点：导数的运算．‎ 点评：本题主要考查分段函数的应用，不等式的解法，关键得到f（a）≥﹣2.结合图形得到a的范围，体现了数形结合的数学思想，属于中档题．‎ ‎15、【答案】‎ ‎【解析】联立,交点,,所以围成的图形为直线的左上方和曲线所围成的区域,面积为.‎ 考点：1.定积分的应用---求曲边梯形的面积；2.微积分基本定理.‎ ‎【方法点晴】求曲边梯形的步骤：①画出草图，在直角坐标系中画出直线或曲线的大致图象；②联立方程，求出交点坐标，确定积分的上、下限；③把曲边梯形的面积表示为若干个定积分的和；④计算定积分，写出答案.由于本题中，若对进行定积分，，有些麻烦，这里就转化为对进行定积分，要容易很多.‎ ‎16、【答案】‎ ‎【解析】设，，，‎ ‎∵，∴，‎ 又∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，当且仅当时，等号成立，即的最小值是．‎ 考点：1.空间向量的数量积；2.不等式求最值．‎ ‎【思路点睛】向量的综合题常与角度与长度结合在一起考查，在解题时运用向量的运算，数量积的几何意义，同时，需注意挖掘题目中尤其是几何图形中的隐含条件，将问题简化，一般会与函数，不等式等几个知识点交汇，或利用向量的数量积解决其他数学问题是今后考试命题的趋势．本题中，向量和立体几何结合在一起，突破口在于利用.‎ 三、解答题 ‎17、【答案】‎ 试题分析：求出函数的切线方程，利用积分的几何意义即可求出区域的面积 试题解析：，，‎ 所以过点A（0，－3）和点B(3，0)的切线方程分别是 ‎，2分 两条切线的交点是（），3分 围成的区域如图所示：区域被直线分成了两部 分，分别计算再相加，得：‎ 即所求区域的面积是。‎ 考点：定积分在求面积中的应用 ‎【解析】‎ ‎18、【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）.‎ 试题分析：（1）求函数的导数，令导数等于零，解方程，再求出函数的导数和驻点，然后列表讨论，求函数的单调区间和极值；（2）若在区间上存在一点，使得成立，其充要条件是在区间上的最小值小于即可．利用导数研究函数在闭区间上的最小值，先求出导函数，然后讨论研究函数在上的单调性，将的各极值与其端点的函数值比较，其中最小的一个就是最小值．‎ 试题解析：（1）当，，‎ 令，得，‎ 又的定义域为，由得，由，得，‎ 所以时，有极小值为，‎ 的单调递增区间为，单调递减区间为.‎ ‎（2），且，令，得到．若在区间 上存在一点，使得成立，即在区间上的最小值小于．‎ 当，即时，恒成立，即在区间上单调递减，‎ 故在区间上的最小值为．‎ 由，得，即.‎ 当，即时，‎ ‎①若，则对成立，所以在区间上单调递减，‎ 则在区间上的最小值为．‎ 显然，在区间上的最小值小于不成立．‎ ‎②若，即时，则有 所以在区间上的最小值为，‎ 由，得，解得，即，‎ 综上，由①②可知：‎ 考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值.‎ ‎【方法点睛】本题考查利用导函数来研究函数的极值以及在闭区间上的最值问题．在利用导函数来研究函数的极值时，分三步①求导函数，②求导函数为的根，③判断根左右两侧的符号，若左正右负，原函数取极大值；若左负右正，原函数取极小值，体现了转化的思想和分类讨论的思想，同时考查学生的分析问题解决问题及计算能力．‎ ‎【解析】‎ ‎19、【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）根据几何体的结构特征，可以为坐标原点，分别为轴和 轴建立空间直角坐标系，写出各个点的坐标.（1）证明即即可；（2）分别求出平面的一个法向量为和侧面的一个法向量为，根据求出的法向量的夹角来求二面角的大小.‎ 试题解析：建立如图所示的空间直角坐标系，则由已知可得 ‎（1）证明：‎ ‎，所以.‎ ‎（2），设平面的一个法向量为，‎ 由，得，即，解得，可取 设侧面的一个法向量为，由，及 可取.设二面角的大小为，于是由为锐角可得 所以.即所求二面角的大小为.‎ 考点：空间向量证明直线与直线垂直及求解二面角.‎ ‎【解析】‎ ‎20、【答案】（1）；（2）售价为(元)时.‎ 试题分析：（1）先根据题意表示出销售价、月平均销售量、以及月平均利润，即可 写出与的函数关系式；（2）根据(1)的结论，对与的函数关系式研究其单调性以及极值，即可求得所需结果.‎ 试题解析：（1）改进工艺后,每件产品的销售价为元,月平均销售量为件,‎ 则月平均利润元,‎ 所以与的函数关系式为.‎ ‎（2）由,得(舍).‎ 当时,;时,,‎ 所以函数在处取得最大值.‎ 故改进工艺后,产品的销售价为(元)时,旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.‎ 考点：(1)函数在实际问题中的应用；2、导数在函数研究中的应用.‎ ‎【解析】‎ ‎21、【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ 试题分析：（1）建立适当的空间直角坐标系，得,，可得，求两个向量的数得积，由向量垂直的充要条件可知两向量垂直.（2）由题意求得平面的法向量为，可求得平面的法向量为的一个解为，由二面角的大小为得.‎ 试题解析：（1）以为原点,为轴为轴，为轴建立空间直角坐标系，不妨设,则，,‎ ‎，于是 ‎,故.‎ ‎（2）平面，平面的法向量为 又.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，‎ 所以向量的一个解为.‎ 因为二面角的大小为，则,‎ 解得.‎ 又因是棱上的一点，所以，故所求的值为.‎ 考点：立体几何中的向量方法.‎ ‎【易错点晴】求二面角大小的常用方法（1）分别求出二面角的两个面所在平面的法向量，然后通过两个平面的法向量的夹角得到二面角的大小，但要注意结合实际图形判断所求角的大小．（2）分别在二面角的两个半平面内找到与棱垂直且以垂足为起点的两个向量，则这两个向量的夹角的大小就是二面角的大小．本题难度中等.‎ ‎【解析】‎ ‎22、【答案】（1）；（2）；（3）存在，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为，若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）.‎ 试题分析：（1）先求得函数的表达式，不等式 化简为，根据韦达定理求得；（2）由（1）得，化简得，利用在切点的导数为求得，由，求得，利用对勾函数的性质可得；（3）化简，利用导数将分为，，两类，讨论函数的单调区间与极值的情况.‎ 试题解析：‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴二次函数，‎ 关于的不等式的解集为，‎ 也就是不等式的解集为，‎ ‎∴和是方程的两个根，‎ 由韦达定理得：，‎ ‎∴．．‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎∴，‎ ‎∵存在一条与轴垂直的直线和的图象相切，且切点的横坐标为，‎ ‎∴．．‎ ‎∵，∴．．‎ 令，则，‎ 当时，，‎ ‎∴在上为增函数，‎ 从而，∴‎ ‎（3）的定义域为，‎ ‎∴，‎ 方程（）的判别式，‎ ‎，‎ ‎①若时，，方程（）的两个实根为或，‎ 则时，；时，．‎ ‎∴函数在上单调递减，在上单调递增，‎ 此时函数存在极小值，极小值点为可取任意实数，．‎ ‎②若时，当，即时，恒成立，在上为增函数，‎ 此时在上没有极值．‎ 下面只需考虑的情况，由，得或，‎ 当，则，‎ 故时，，‎ ‎∴函数在上单调递增，‎ ‎∴函数没有极值．．‎ 当时，，‎ 则时，时，时，，‎ ‎∴函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时函数存在极大值和极小值，极小值，有极大值点．‎ 综上所述，若时，可取任意实数，此时函数有极小值且极小值点为；若时，当时，函数有极大值和极小值，此时极小值点为，极大值点为（其中）．‎ 考点：函数导数与不等式.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查待定系数法求函数解析式，考查分离常数法求参数的取值范围，考查利用导数分类讨论函数的单调区间与极值.解决含参数问题及不等式问题注意两个转化：(1)利用导数解决含有参数的单调性问题可将问题转化为不等式恒成立问题，要注意分类讨论和数形结合思想的应用．(2)将不等式的证明、方程根的个数的判定转化为函数的单调性问题处理．‎ ‎【解析】‎