【数学】2019届一轮复习人教A版函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用学案
第四节函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及三角函数模型的简单应用
1．函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念
y＝Asin(ωx＋φ)
(A>0，ω>0)
振幅
周期
频率
相位
初相
A
T＝
f＝＝
ωx＋φ
φ
2.用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图
用五点法画y＝Asin(ωx＋φ)一个周期内的简图时，要找五个关键点，如下表所示：
ωx＋φ
2π
x
－
－
－
y＝Asin(ωx＋φ)
0
A
0
－A
0
3．由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的图象的两种方法
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)函数y＝sin的图象是由y＝sin的图象向右平移个单位得到的．( )
(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一
致．( )
(3)函数y＝Asin(ωx＋φ)的最小正周期为T＝.( )
(4)把函数y＝sin x的图象上各点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，所得图象对应的函数解析式为y＝sinx.( )
答案：(1)√ (2)× (3)× (4)×
2．函数y＝2sin的振幅、频率和初相分别为( )
A．2，， B．2，，
C．2，， D．2，，－
解析：选A 由振幅、频率和初相的定义可知，函数y＝2sin的振幅为2，频率为，初相为.
3．函数y＝cos x|tan x|的图象为( )
解析：选C 由题意知y＝
结合图象知选C.
4．为了得到函数y＝2sin的图象，可以将函数y＝2sin 2x的图象( )
A．向右平移个单位长度
B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度
D．向左平移个单位长度
解析：选A 函数y＝2sin＝2sin，可由函数y＝2sin 2x的图象向右平移个单位长度得到．故选A.
5．用五点法作函数y＝sin在一个周期内的图象时，主要确定的五个点是______、______、______、______、______.
答案：
6.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)的部分图象如图所示，则f的值为________．
解析：由图象可知A＝2，T＝－＝，∴T＝π，∴ω＝2，
∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，
∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，
∵0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，
则f＝2sin＝2cos＝.
答案：
三角函数图象的变换多出现在选择题中，以y＝sin x，y＝cos x，y＝tan x的图象为基础，进行横向伸缩变换及纵向伸缩变换，或者由正弦型、余弦型、正切型函数图象为基础进行逆向变换.属于必得分题.
[典题领悟]
(2017·全国卷Ⅰ)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是( )
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个
单位长度，得到曲线C2
解析：选D 易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2.
[解题师说]
1．掌握三角函数的图象变换的2方法
(1)平移变换
沿x轴平移
由y＝f(x)变为y＝f(x＋φ)时，“左加右减”，即φ>0，左移；φ<0，右移
沿y轴平移
由y＝f(x)变为y＝f(x)＋k时，“上加下减”，即k>0，上移；k<0，下移
(2)伸缩变换
沿x轴伸缩
由y＝f(x)变为y＝f(ωx)时，点的纵坐标不变，横坐标变为原来的倍
沿y轴伸缩
由y＝f(x)变为y＝Af(x)时，点的横坐标不变，纵坐标变为原来的|A|倍
2．注意三角函数图象变换中的3问题
(1)变换前后，函数的名称要一致，若不一致，应先利用诱导公式转化为同名函数；
(2)要弄清变换的方向，即变换的是哪个函数的图象，得到的是哪个函数的图象，切不可弄错方向；
(3)要弄准变换量的大小，特别是平移变换中，函数y＝Asin x到y＝Asin(x＋φ)的变换量是|φ|个单位，而函数y＝Asin ωx到y＝Asin(ωx＋φ)时，变换量是个单位．
[冲关演练]
1．(2016·全国卷Ⅰ)将函数y＝2sin的图象向右平移个周期后，所得图象对应的函数为( )
A．y＝2sin B．y＝2sin
C．y＝2sin D．y＝2sin
解析：选D 函数y＝2sin的周期为π，将函数y＝2sin的图象向右平移个
周期即个单位长度，所得图象对应的函数为y＝2sin＝2sin，故选D.
2．(2018·昆明质检)已知函数f(x)＝sin(0<ω<2)满足条件：f＝0，为了得到函数y＝f(x)的图象，可将函数g(x)＝cos ωx的图象向右平移m(m>0)个单位长度，则m的最小值为( )
A．1 B.
C. D.
解析：选A 由题意，得sin＝0，即－ω＋＝kπ(k∈Z)，则ω＝－2kπ(k∈Z)，结合0<ω<2，得ω＝，所以f(x)＝sin＝cos＝cos，所以只需将函数g(x)＝cosx的图象向右至少平移1个单位长度，即可得到函数y＝f(x)的图象，故选A.
根据三角函数的图象(或性质)求解析式是高考对三角函数知识考查的一个重要方面，主要考查由图象(或性质)求解析式；由图象(或性质)求解析式中参数的值；由图象(或性质)解决相关的求值问题等.多以选择题、填空题的形式出现，有时也可能在解答题中出现，难度为中低档题.
[典题领悟]
1.函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)A>0，ω>0，|φ|<的部分图象如图所示，则f的值为( )
A．－ B．－
C．－ D．－1
解析：选D 由图象可得A＝，最小正周期T＝4×＝π，则ω＝＝2.又f＝sin＝－，|φ|<，得φ＝，则f(x)＝sin，f＝sin＝sin＝－1，故选D.
2．(2017·天津高考)设函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈R，其中ω>0，|φ|<π.若f＝2，f
＝0，且f(x)的最小正周期大于2π，则( )
A．ω＝，φ＝ B．ω＝，φ＝－
C．ω＝，φ＝－ D．ω＝，φ＝
解析：选A ∵f＝2，f＝0，
∴－＝(2m＋1)，m∈N，
∴T＝，m∈N，
∵f(x)的最小正周期大于2π，∴T＝3π，
∴ω＝＝，∴f(x)＝2sin.
由2sin＝2，得φ＝2kπ＋，k∈Z.
又|φ|＜π，∴取k＝0，得φ＝.
[解题师说]
1．确定y＝Asin(ωx＋φ)＋b(A>0，ω>0)中参数的方法
(1)求A，b：确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，b＝；
(2)求ω：确定函数的周期T，则可得ω＝；
(3)求φ：常用的方法有：
①代入法：把图象上的一个已知点代入(此时A，ω，b已知)或代入图象与直线y＝b的交点求解(此时要注意交点在上升区间上还是在下降区间上)．
②五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口．具体如下：
第一点
图象上升时与x轴的交点
ωx＋φ＝0
第二点
图象的“峰点”
ωx＋φ＝
第三点
图象下降时与x轴的交点
ωx＋φ＝π
第四点
图象的“谷点”
ωx＋φ＝
第五点
ωx＋φ＝2π
2．谨防1种失误
一般情况下，ω的值是唯一确定的，但φ的值是不确定的，它有无数个，如果求出的φ值不在指定范围内，可以通过加减的整数倍达到目的．
[冲关演练]
1．(2015·全国卷Ⅰ)函数f(x)＝cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的单调递减区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选D 由图象知，周期T＝2＝2，
∴＝2，∴ω＝π.
由π×＋φ＝＋2kπ，得φ＝＋2kπ，k∈Z，
不妨取φ＝，∴f(x)＝cos.
由2kπ＜πx＋＜2kπ＋π，
得2k－＜x＜2k＋，k∈Z，
∴f(x)的单调递减区间为，k∈Z.
2．(2018·西安八校联考)已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象上的一个最高点和它相邻的一个最低点的距离为2，且过点，则函数f(x)＝________.
解析：依题意得 ＝2，则＝2，即ω＝，所以f(x)＝sin，由于该函数图象过点，因此sin(π＋φ)＝－，即sin φ＝，而－≤φ≤，故φ＝，所以f(x)＝sin
.
答案：sin
三角函数的图象与性质是高考的热点，常常利用其性质解决实际问题或与导数、不等式等综合构成较复杂的问题，此时题目难度大，综合性较强.,常见的命题角度有：
(1)三角函数模型的应用；
(2)函数零点(方程根)问题；
(3)三角函数图象与性质的综合应用.
[题点全练]
角度(一) 三角函数模型的应用
1．据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋BA>0，ω>0，|φ|<的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元．则7月份的出厂价格为________元．
解析：作出函数简图如图：
三角函数模型为：y＝Asin(ωx＋φ)＋B，
由题意知：A＝2 000，B＝7 000，T＝2×(9－3)＝12，
∴ω＝＝.
将(3，9 000)看成函数图象的第二个特殊点，
则有×3＋φ＝，∴φ＝0，
故f(x)＝2 000sinx＋7 000(1≤x≤12，x∈N*)．
∴f(7)＝2 000×sin＋7 000＝6 000.
故7月份的出厂价格为6 000元．
答案：6 000
[题型技法]
三角函数模型在实际应用中体现的2个方面
(1)
已知函数模型，利用三角函数的有关性质解决问题，其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则；
(2)把实际问题抽象转化成数学问题，建立三角函数模型，再利用三角函数的有关知识解决问题，其关键是建模．
角度(二) 函数零点(方程根)问题
2．函数y＝sin(ωx＋φ)在同一个周期内，当x＝时，y取得最大值1，当x＝时，y取得最小值－1.
❶
若函数f(x)满足方程f(x)＝a(0＜a＜1)，则在[0,2π]内的
❷
所有实数根之和为( )
❸
A. B.
C. D.
[学审题]
①由在同一周期内给出y取得最大值、最小值时对应的x值，可推导出最小正周期T；
②在一个周期内有两个根满足f(x)＝a，可结合图象推出两根关系；
③应想到在[0,2π]内有几个周期．
解析：选A 由题意可得＝2×，所以ω＝3.
又sin＝1，所以＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，
所以φ＝2kπ－(k∈Z)．
又|φ|<，所以φ＝－，
所以函数f(x)＝sin.
由于f(x)＝sin的最小正周期为，
所以f(x)＝sin在[0,2π]内恰有3个周期，
所以sin＝a(0
0，ω>0)；
(2)画出长度为一个周期的区间上的函数图象；
(3)利用图象解决有关三角函数的方程、不等式问题．
角度(三) 三角函数图象与性质的综合应用
3．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sin ωx－sin(ω>0)．
(1)若f(x)在[0，π]上的值域为，求ω的取值范围；
(2)若f(x)在上单调，且f(0)＋f＝0，求ω的值．
解：f(x)＝sin ωx－sin＝sin ωx－sin ωx－cos ωx＝sin ωx－cos ωx＝sin.
(1)由x∈[0，π]⇒ωx－∈，又f(x)在[0，π]上的值域为，即最小值为－，最大值为1，则由正弦函数的图象可知≤ωπ－≤，解得≤ω≤.
∴ω的取值范围是.
(2)因为f(x)在上单调，
所以≥－0，则≥，
即ω≤3，又ω>0，所以0<ω≤3，
由f(0)＋f＝0且f(x)在上单调，得是f(x)图象的对称中心，
∴－＝kπ，k∈Z⇒ω＝6k＋2，k∈Z，
又0<ω≤3，所以ω＝2.
[题型技法]
解决三角函数图象与性质综合问题的步骤
(1)将f(x)化为asin x＋bcos x的形式；
(2)构造f(x)＝·sin x＋·cos x；
(3)和角公式逆用，得f(x)＝sin(x＋φ)(其中φ为辅助角)；
(4)利用f(x)＝sin(x＋φ)研究三角函数的性质；
(5)反思回顾，查看关键点、易错点和答题规范．
[冲关演练]
1．(2018·东北四市模拟)若关于x的方程2sin＝m在上有两个不等实根，则m的取值范围是( )
A．(1，) B．[0,2]
C．[1,2) D．[1，]
解析：选C 2sin＝m在上有两个不等实根等价于函数f(x)＝2sin的图象与直线y＝m有两个交点．在同一坐标系中作出y＝f(x)与y＝m的图象如图所示，由图可知m的取值范围是[1,2)．
2．(2017·河北石家庄一模)若函数f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)(0<θ<π)的图象关于点对称，则函数f(x)在上的最小值是( )
A．－1 B．－
C．－ D．－
解析：选B f(x)＝sin(2x＋θ)＋cos(2x＋θ)＝2sin，则由题意，知f＝2sin＝0，又因为0<θ<π，所以<π＋θ＋<，所以π＋θ＋＝2π，所以θ＝，所以f(x)＝－2sin 2x，又因为函数f(x)在上是减函数，所以函数f(x)在上的最小值为f＝－2sin＝－，故选B.
3．某实验室一天的温度(单位：℃)随时间t(单位：h)的变化近似满足函数关系：f(t)＝10－cost－sint，t∈[0,24)，则实验室这一天的最大温差为________℃.
解析：因为f(t)＝10－2＝10－2sin，又0≤t＜24，所以≤t＋
＜，
所以－1≤sin≤1.
当t＝2时，sin＝1；
当t＝14时，sin＝－1.
于是f(t)在[0,24)上的最大值为12，最小值为8.
故实验室这一天最高温度为12 ℃，最低温度为8 ℃，最大温差为4 ℃.
答案：4
(一)普通高中适用作业
A级——基础小题练熟练快
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．为了得到函数y＝3sin 2x＋1的图象，只需将y＝3sin x的图象上的所有点( )
A．横坐标伸长2倍，再向上平移1个单位长度
B．横坐标缩短倍，再向上平移1个单位长度
C．横坐标伸长2倍，再向下平移1个单位长度
D．横坐标缩短倍，再向下平移1个单位长度
解析：选B 将y＝3sin x的图象上的所有点的横坐标缩短倍得到y＝3sin 2x的图象，再将y＝3sin 2x的图象再向上平移1个单位长度即得y＝3sin 2x＋1的图象，故选B.
3．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f
的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
4.若函数y＝sin(ωx＋φ)(ω＞0)的部分图象如图，则ω等于( )
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：选B 由图象可知＝x0＋－x0＝，即T＝＝，故ω＝4.
5．若函数f(x)＝2sin ωx(ω＞0)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，则ω的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 因为函数f(x)在(0,2π)上恰有两个极大值和一个极小值，所以由正弦函数的图象可得T＜2π≤T，即·＜2π≤·，解得＜ω≤.
6．将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)，则g(x)具有的性质是( )
A．最大值为1，图象关于直线x＝对称
B．在上单调递增，为奇函数
C．在上单调递增，为偶函数
D．周期为π，图象关于点对称
解析：选B 将函数f(x)＝cos 2x的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)＝cos＝sin 2x的图象，当x＝时，g(x)＝0，故A错，当x∈时，2x∈，故函数g(
x)在上单调递增，为奇函数，故B正确，C错，当x＝时，g(x)＝，故D错，选B.
7．若函数f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，则f＝________.
解析：由f(x)＝sin(ω＞0)的最小正周期为，得ω＝4.所以f＝sin＝0.
答案：0
8．已知函数f(x)＝2sin 的图象经过点(0,1)，则该函数的振幅为____________，周期T为____________，频率为____________，初相φ为____________．
解析：振幅A＝2，T＝＝6，f＝.
因为图象过点(0,1)，
所以2sin φ＝1，所以sin φ＝，
又|φ|＜，所以φ＝.
答案：2 6
9．(2017·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)＝____________.
解析：由已知得＝，∴T＝，
又T＝，∴ω＝3.
∵f(0)＝1，∴sin φ＝，又∵0＜φ＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(经检验满足题意)．
答案：2sin
10．某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用三角函数y＝a＋Acos(x＝1,2,3，…，12)来表示，已知6月份的平均气温最高，为28 ℃，12
月份的平均气温最低，为18 ℃，则10月份的平均气温值为________℃.
解析：依题意知，a＝＝23，A＝＝5，
所以y＝23＋5cos，
当x＝10时，y＝23＋5cos＝20.5.
答案：20.5
B级——中档题目练通抓牢
1．(2018·云南11校跨区调研)函数f(x)＝sin ωx(ω＞0)的图象向左平移个单位长度，所得图象经过点，则ω的最小值是( )
A. B．2
C．1 D.
解析：选C 依题意得，函数f＝sin(ω＞0)的图象过点，
于是有f＝sinω＝sin ωπ＝0(ω＞0)，ωπ＝kπ，k∈Z，即ω＝k∈Z，
因此正数ω的最小值是1，选C.
2．(2018·安徽两校阶段性测试)将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，再向左平移个单位长度，所得函数图象的一条对称轴为( )
A．x＝ B．x＝
C．x＝ D．x＝π
解析：选A 将函数y＝cos的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，得到函数y＝cos的图象；再将此函数的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝cos＝cos的图象．该函数图象的对称轴为－＝kπ(k∈Z)，即x＝2kπ＋(k∈Z)．结合选项，只有A符合，故选A.
3.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象
如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，又＝，所以f(x)的图象过点，即sin＝1，得＋φ＝＋2kπ，k∈Z，即φ＝＋2kπ，k∈Z，又|φ|＜，可得φ＝，所以f(x)＝sin.由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2＝－＋＝，所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.
4.若函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，直线x＝是它的一条对称轴，则函数f(x)的解析式为________．
解析：由题意可知，＝－＝，
所以T＝＝π，
所以ω＝2.
又因为f＝1，
所以sin＝1，
所以＋φ＝＋2kπ(k∈Z)．
又φ∈，所以φ＝，
所以f(x)＝sin.
答案：f(x)＝sin
5．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
6.已知函数f(x)＝2sin(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ(k∈Z)，
所以ω＝－3k＋(k∈Z)，因为0＜ω＜1，
所以当k＝0时，可得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数f(x)的增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]．
列表如下：
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作出函数部分图象如图所示：
7．(2017·山东高考)设函数f(x)＝sin＋sin，其中0<ω<3.已知f＝0.
(1)求ω；
(2)将函数y＝f(x)的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移个单位，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)在上的最小值．
解：(1)因为f(x)＝sin＋sin，
所以f(x)＝sin ωx－cos ωx－cos ωx
＝sin ωx－cos ωx
＝
＝sin.
因为f＝0，
所以－＝kπ，k∈Z.
故ω＝6k＋2，k∈Z.
又0<ω<3，所以ω＝2.
(2)由(1)得f(x)＝sin，
所以g(x)＝sin＝sin.
因为x∈，
所以x－∈，
当x－＝－，即x＝－时，g(x)取得最小值－.
C级——重难题目自主选做
1．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B 由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin＋，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.
2.已知函数f(x)＝Mcos(ωx＋φ)(M ＞0，ω＞0,0＜φ＜π)为奇函数，该函数的部分图象如图所示，AC＝BC＝，C＝90°，则f的值为________．
解析：依题意知，△ABC是直角边长为的等腰直角三角形，因此其边AB上的高是，函数f(x)的最小正周期是2，故M＝，＝2，ω＝π，f(x)＝cos(πx＋φ)．又函数f(x)是奇函数，于是有φ＝kπ＋(k∈Z)．由0＜φ＜π，得φ＝，故f(x)＝－sin πx，f＝－sin＝－.
答案：－
(二)重点高中适用作业
A级——保分题目巧做快做
1．函数y＝sin在区间上的简图是( )
解析：选A 令x＝0，得y＝sin＝－，排除B、D.由f＝0，f＝0，排除C，故选A.
2．函数f(x)＝tan ωx(ω>0)的图象的相邻两支截直线y＝2所得线段长为，则f的值是( )
A．－ B.
C．1 D.
解析：选D 由题意可知该函数的周期为，
∴＝，ω＝2，f(x)＝tan 2x.
∴f＝tan ＝.
3.(2018·洛阳调研)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f(x)的解析式是( )
A．f(x)＝sin B．f(x)＝sin
C．f(x)＝sin D．f(x)＝sin
解析：选D 由图象可知＝－＝，
∴T＝π，∴ω＝＝2，故排除A、C；
把x＝代入检验知，选项D符合题意．
4.(2016·全国卷Ⅱ)若将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为( )
A．x＝－(k∈Z) B．x＝＋(k∈Z)
C．x＝－(k∈Z) D．x＝＋(k∈Z)
解析：选B 将函数y＝2sin 2x的图象向左平移个单位长度，得到函数y＝2sin ＝2sin的图象．由2x＋＝kπ＋(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z)，即平移后图象的对称轴为x＝＋(k∈Z)．
5．将函数f(x)＝2cos 2x的图象向右平移个单位得到函数g(x)的图象，若函数g(x)在区间和上均单调递增，则实数a的取值范围是( )
A. B.
C. D.
解析：选A 易得g(x)＝2cos，由2kπ－π≤2x－≤2kπ，得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，即函数g(x)的单调增区间为(k∈Z)．
当k＝0时，函数的增区间为，
当k＝1时，函数的增区间为.
又函数g(x)在区间和上均单调递增，所以解得≤a≤.
6．(2018·河南洛阳统考)函数f(x)＝2sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知图象经过点A(0,1)，B，则f(x)＝____________.
解析：由已知得＝，∴T＝，
又T＝，∴ω＝3.
∵f(0)＝1，∴sin φ＝，
又∵0＜φ＜，∴φ＝，
∴f(x)＝2sin(经检验满足题意)．
答案：2sin
7．已知函数f(x)＝3sin(ω＞0)和g(x)＝3cos(2x＋φ)的图象完全相同，若x∈，则f(x)的值域是________．
解析：f(x)＝3sin＝3cos＝3cos，易知ω＝2，则f(x)＝3sin，
∵x∈，∴－≤2x－≤，
∴－≤f(x)≤3.
答案：
8.(2018·山东师大附中模拟)设P为函数f(x)＝sinx的图象上的一个最高点，Q为函数g(x)＝cosx的图象上的一个最低点，则|PQ|的最小值是________．
解析：由题意知两个函数的周期都为T＝＝4，由正、余弦函数的图象知，f(x)与g(x)的图象相差个周期，设P，Q分别为函数f(x)，g(x)图象上的相邻的最高点和最低点，设P(x0,1)，则Q(x0＋1，－1)，则|PQ|min＝＝.
答案：
9.已知函数f(x)＝2sin(其中0＜ω＜1)，若点是函数f(x)图象的一个对称中心．
(1)求ω的值，并求出函数f(x)的增区间；
(2)先列表，再作出函数f(x)在区间[－π，π]上的图象．
解：(1)因为点是函数f(x)图象的一个对称中心，
所以－＋＝kπ(k∈Z)，
所以ω＝－3k＋(k∈Z)，因为0＜ω＜1，
所以当k＝0时，可得ω＝.
所以f(x)＝2sin.
令2kπ－≤x＋≤2kπ＋(k∈Z)，
解得2kπ－≤x≤2kπ＋(k∈Z)，
所以函数的增区间为(k∈Z)．
(2)由(1)知，f(x)＝2sin，x∈[－π，π]，
列表如下：
x＋
－
－
0
π
x
－π
－
－
π
y
－1
－2
0
2
0
－1
作出函数部分图象如图所示：
10．(2018·黑龙江哈尔滨六中月考)已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.
(1)求函数f(x)的单调递增区间；
(2)将y＝f(x)的图象向左平移个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象．若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝cos＋2sinsin
＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)
＝cos 2x＋sin 2x＋sin2x－cos2x
＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x
＝sin.
令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，
得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.
(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin2)＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象．
作函数g(x)＝cos x在区间，上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.
B级——拔高题目稳做准做
1.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，又x1，x2∈，且f(x1)＝f(x2)，则f(x1＋x2)＝( )
A. B.
C. D．1
解析：选B 由题图可知，＝－＝，则T＝π，ω＝2，又＝，所以f(x)的图象过点，即sin＝1，又|φ|＜，可得φ＝，所以f(x)＝sin.由f(x1)＝f(x2)，x1，x2∈，可得x1＋x2＝－＋＝，所以f(x1＋x2)＝f＝sin＝sin＝.
2．(2018·湘中名校联考)已知函数f(x)＝sin＋，ω＞0，x∈R，且f(α)＝－，f(β)＝.若|α－β|的最小值为，则函数的单调递增区间为( )
A.，k∈Z
B.，k∈Z
C.，k∈Z
D.，k∈Z
解析：选B 由f(α)＝－，f(β)＝，|α－β|的最小值为，知＝，即T＝3π＝，所以ω＝，所以f(x)＝sin＋，令－＋2kπ≤x－≤＋2kπ(k∈Z)，得－＋3kπ≤x≤π＋3kπ(k∈Z)，故选B.
3.已知函数f(x)＝sin(2x＋φ)，其中φ为实数，若f(x)≤对x∈R恒成立，且f＞f(π)，则f(x)的单调递增区间是________．
解析：因为f(x)≤对x∈R恒成立，即＝＝1，所以φ＝kπ＋(k∈Z)．因为f＞f(π)，所以sin(π＋φ)＞sin(2π＋φ)，即sin φ＜0，所以φ＝－＋2kπ(k∈Z)，所以f(x)＝sin，所以由三角函数的单调性知2x－∈(k∈Z)，
解得x∈(k∈Z)．
答案：(k∈Z)
4.已知函数f(x)＝2sin，g(x)＝mcos－2m＋3(m>0)，若对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)＝f(x2)成立，则实数m的取值范围是________．
解析：当x∈时，2x＋∈，sin∈，∴当x∈时，函数f(x)＝2sin的值域为[1,2]．当x∈时，2x－∈，cos∈，∴当x∈
时，函数g(x)＝mcos－2m＋3(m>0)的值域为.∵对∀x1∈，∃x2∈，使得g(x1)＝f(x2)成立，∴解得1≤m≤，即m∈.
答案：
5.已知函数f(x)＝cos(πx＋φ)的部分图象如图所示．
(1)求φ及图中x0的值；
(2)设g(x)＝f(x)＋f，求函数g(x)在区间上的最大值和最小值．
解：(1)由题图得f(0)＝，所以cos φ＝，
因为0＜φ＜，故φ＝.
由于f(x)的最小正周期等于2，
所以由题图可知1＜x0＜2，
故＜πx0＋＜.
由f(x0)＝，得cos＝，
所以πx0＋＝，x0＝.
(2)因为f＝cos＝cos＝－sin πx，
所以g(x)＝f(x)＋f＝cos－sin πx
＝cos πxcos－sin πxsin－sin πx
＝cos πx－sin πx
＝sin.
当x∈时，－≤－πx≤.
所以－≤sin≤1，
故－πx＝，即x＝－时，g(x)取得最大值；
当－πx＝－，即x＝时，g(x)取得最小值－.
6.如图所示，某小区为美化环境，准备在小区内草坪的一侧修建一条直路OC，另一侧修建一条休闲大道，它的前一段OD是函数y＝k(k＞0)图象的一部分，后一段DBC是函数y＝AsinA＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈[4,8]的图象，图象的最高点为B，DF⊥OC，垂足为F.
(1)求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式；
(2)若在草坪内修建如图所示的儿童游乐园，即矩形PMFE，问点P落在曲线OD上何处时，儿童游乐园的面积最大？
解：(1)对于函数y＝Asin(ωx＋φ)，由图象可知，
A＝，ω＝＝＝，
将B代入y＝sin中，
可得sin＝1，
故＋φ＝2kπ＋(k∈Z)，φ＝2kπ－(k∈Z)．
因为|φ|＜，所以φ＝－.
故y＝sin，x∈[4,8]．
(2)在y＝sin中，令x＝4，得y＝4，故D(4,4)，从而得OD对应的函数为y＝2(0≤x≤4)．
设点P(0≤t≤4)，
则矩形PMFE的面积S＝t(0≤t≤4)．
因为S′＝4－，由S′＝0，得t＝，
当t∈时，S′＞0，S单调递增；
当t∈时，S′＜0，S单调递减．
所以当t＝时，S最大，此时点P的坐标为.
