数学卷·2018届云南省昆明市黄冈实验学校高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届云南省昆明市黄冈实验学校高二上学期第二次月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（　　）‎ A．40 B．50 C．120 D．150‎ ‎2．若a＞b，c∈R，则下列命题中成立的是（　　）‎ A．ac＞bc B．＞1 C．ac2≥bc2 D．‎ ‎3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎4．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有一个黒球与都是红球 B．至少有一个黒球与都是黒球 C．至少有一个黒球与至少有1个红球 D．恰有1个黒球与恰有2个黒球 ‎5．不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（　　）‎ A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方 ‎6．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．8‎ ‎8．已知{an}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎9．已知Sn为等差数列{an}的前n项，若a2：a4=7：6，则S7：S3等于（　　）‎ A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13‎ ‎10．在下列各数中，最大的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．11111（2）‎ ‎11．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]‎ ‎12．数据a1，a2，a3…an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2an的方差为（　　）‎ A． B．σ2 C．2σ2 D．4σ2‎ ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在等比数列{an}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=　　．‎ ‎14．﹣x2+2x﹣3＞0的解集为　　．‎ ‎15．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　　．‎ ‎16．△ABC中，b=8，，，则∠A等于　　．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）‎ ‎17．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？‎ 甲 ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎70‎ 乙 ‎80‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎18．（Ⅰ）比较（x+1）（x﹣3）与（x+2）（x﹣4）的大小．‎ ‎（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？‎ ‎19．在△ABC中，a=、b=、B=60°，求角A，角C和边c．‎ ‎20．已知，求函数的最大值．‎ ‎21．已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）证明：数列{}是等比数列； ‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年云南省昆明市黄冈实验学校高二（上）第二次月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题（本题共12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1．某校有40个班，每班50人，每班派3人参加“学代会”，在这个问题中样本容量是（　　）‎ A．40 B．50 C．120 D．150‎ ‎【考点】分层抽样方法．‎ ‎【分析】由题意，第班抽三人，四十个班共抽取120人，由此知样本容量即为120，选出正确选项即可 ‎【解答】解：由题意，是一个分层抽样，每个班中抽三人，总共是40个班，故共抽取120人组成样本 所以，样本容量是120人 故选C．‎ ‎　‎ ‎2．若a＞b，c∈R，则下列命题中成立的是（　　）‎ A．ac＞bc B．＞1 C．ac2≥bc2 D．‎ ‎【考点】不等关系与不等式．‎ ‎【分析】观察四个选项，本题是考查等式与不等关系的题目，由不等式的性质对四个选项逐一进行研究得出正解答案即可．‎ ‎【解答】解：A选项不对，由于c的符号不知，当c＜0时，此不等式不成立；‎ B选项不正确，当b＜0＜a时，此不等式无意义；‎ C选项是正确的，因为c2≥0，故ac2≥bc2；‎ D选项不正确，当当b＜0＜a时，此不等式无意义；‎ 故选C ‎　‎ ‎3．从三件正品、一件次品中随机取出两件，则取出的产品全是正品的概率是（　　）‎ A． B． C． D．无法确定 ‎【考点】古典概型及其概率计算公式．‎ ‎【分析】本题是一个古典概型，试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42种结果，满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32种结果，根据概率公式得到结果．‎ ‎【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，‎ ‎∵试验发生包含的事件是从4件产品中取2件，共有C42=6种结果，‎ 满足条件的事件是取出的产品全是正品，共有C32=3种结果，‎ ‎∴根据古典概型概率公式得到P=，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎4．从装有2个红球和2个黒球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是（　　）‎ A．至少有一个黒球与都是红球 B．至少有一个黒球与都是黒球 C．至少有一个黒球与至少有1个红球 D．恰有1个黒球与恰有2个黒球 ‎【考点】互斥事件与对立事件．‎ ‎【分析】互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案．‎ ‎【解答】解：A中的两个事件是对立事件，故不符合要求；‎ B中的两个事件是包含关系，不是互斥事件，故不符合要求；‎ C中的两个事件都包含一个黑球一个红球的事件，不是互斥关系；‎ D中的两个事件是互互斥且不对立的关系，故正确．‎ 故选D ‎　‎ ‎5．不等式x+y﹣1＞0表示的区域在直线x+y﹣1=0的（　　）‎ A．左上方 B．左下方 C．右上方 D．右下方 ‎【考点】二元一次不等式（组）与平面区域．‎ ‎【分析】取坐标原点，可知原点在直线x+y﹣1=0的左下方，（0，0）代入，使得x+y﹣1＜0，取坐标原点，‎ ‎【解答】解：取坐标原点，可知原点在直线x+y﹣1=0的左下方 ‎∵（0，0）代入，使得x+y﹣1＜0‎ ‎∴不等式x+y﹣1＞0表示的平面区域 在直线x+y﹣1=0的右上方．‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎6．△ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，若sinA=，b=sinB，则a等于（　　）‎ A．3 B． C． D．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】根据正弦定理的式子，将题中数据直接代入，即可解出a长，得到本题答案．‎ ‎【解答】解：∵△ABC中，sinA=，b=sinB，‎ ‎∴根据正弦定理，得 解之得a=‎ 故选：D ‎　‎ ‎7．如图所示，程序框图（算法流程图）的输出结果是（　　）‎ A．3 B．4 C．5 D．8‎ ‎【考点】循环结构．‎ ‎【分析】列出循环中x，y的对应关系，不满足判断框结束循环，推出结果．‎ ‎【解答】解：由题意循环中x，y的对应关系如图：‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ y ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ 当x=8时不满足循环条件，退出循环，输出y=4．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎8．已知{an}是等差数列，且a2+a3+a10+a11=48，则a6+a7=（　　）‎ A．12 B．16 C．20 D．24‎ ‎【考点】等差数列的通项公式．‎ ‎【分析】利用等差数列的性质可得：a2+a11=a3+a10=a6+a7．代入已知即可得出．‎ ‎【解答】解：∵{an}是等差数列，‎ ‎∴a2+a11=a3+a10=a6+a7．‎ 又a2+a3+a10+a11=48，‎ ‎∴2（a6+a7）=48，解得a6+a7=24．‎ 故选D．‎ ‎　‎ ‎9．已知Sn为等差数列{an}的前n项，若a2：a4=7：6，则S7：S3等于（　　）‎ A．2：1 B．6：7 C．49：18 D．9：13‎ ‎【考点】等差数列的前n项和．‎ ‎【分析】根据所给的两项之比和要求的数列的前n项和，把前n项和写成S7：S3=7a4：3a2，代入比值求出结果．‎ ‎【解答】解：∵Sn为等差数列{an}的前n项，‎ 若a2：a4=7：6，‎ ‎∴S7：S3=7a4：3a2=7×6：3×7=2：1‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎10．在下列各数中，最大的数是（　　）‎ A．85（9） B．210（6） C．1000（4） D．11111（2）‎ ‎【考点】进位制；排序问题与算法的多样性．‎ ‎【分析】欲找四个中最大的数，先将它们分别化成十进制数，后再比较它们的大小即可．‎ ‎【解答】解：85（9）=8×9+5=77；‎ ‎210（6）=2×62+1×6=78；‎ ‎1000（4）=1×43=64；‎ ‎11111（2）=24+23+22+21+20=31．‎ 故210（6）最大，‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎11．若点（x，y）在不等式组表示的平面区域内运动，则t=x﹣y的取值范围是（　　）‎ A．[﹣2，﹣1] B．[﹣2，1] C．[﹣1，2] D．[1，2]‎ ‎【考点】简单线性规划．‎ ‎【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，t=x﹣y表示直线在y轴上的截距的相反数，只需求出可行域直线在y轴上的截距最值即可．‎ ‎【解答】解：先根据约束条件画出可行域，‎ 由得B（2，0），‎ 由，得A（0，1），‎ 当直线t=x﹣y过点A（0，1）时，t最小，t最小是﹣1，‎ 当直线t=x﹣y过点B（2，0）时，t最大，t最大是2，‎ 则t=x﹣y的取值范围是[﹣1，2]‎ 故选C．‎ ‎　‎ ‎12．数据a1，a2，a3…an的方差为σ2，则数据2a1，2a2，2a3…2an的方差为（　　）‎ A． B．σ2 C．2σ2 D．4σ2‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】本题是根据一组数据的方差，求和它有关的另一组数据的方差，可以先写出数据a1，a2，a3…an的方差为σ2的表示式，然后再写出数据中每一个数据都乘以2以后的表示式，得到结果．‎ ‎【解答】解：∵σ2=，‎ ‎∴=4•=4σ2．‎ 故选D ‎　‎ 二、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．在等比数列{an}中，a1=，a4=﹣4，则公比q=　﹣2　．‎ ‎【考点】等比数列的通项公式．‎ ‎【分析】由题意可得a4=a1•q3，代入数据即可得答案．‎ ‎【解答】解：由等比数列的通项公式可得a4=a1•q3，‎ 代入数据可得﹣4=q3，解得q=﹣2‎ 故答案为：﹣2‎ ‎　‎ ‎14．﹣x2+2x﹣3＞0的解集为　∅　．‎ ‎【考点】一元二次不等式的解法．‎ ‎【分析】根据一元二次不等式的解法解不等式即可．‎ ‎【解答】解：∵﹣x2+2x﹣3＞0，‎ ‎∴x2﹣2x+3＜0，‎ ‎∵△=4﹣4×3=4﹣12=﹣8＜0，‎ ‎∴不等式的解集为∅．‎ 故答案为：∅．‎ ‎　‎ ‎15．样本中共有五个个体，其值分别为a，0，1，2，3．若该样本的平均值为1，则样本方差为　2　．‎ ‎【考点】极差、方差与标准差；众数、中位数、平均数．‎ ‎【分析】根据平均数公式先求出a，再求出方差，开方得出标准差．‎ ‎【解答】解：由已知a，0，1，2，3，的平均数是1，即有（a+0+1+2+3）÷5=1，易得a=﹣1，‎ 根据方差计算公式得s2= [（﹣1﹣1）2+（0﹣1）2+（1﹣1）2+（2﹣1）2+（3﹣1）2]=×10=2‎ 故答案为：2‎ ‎　‎ ‎16．△ABC中，b=8，，，则∠A等于　或　．‎ ‎【考点】正弦定理．‎ ‎【分析】由已知利用三角形面积公式可求sinA，结合A的范围可求A的值．‎ ‎【解答】解：∵b=8，，‎ ‎=bcsinA=sinA，‎ ‎∴sinA=，‎ ‎∵A∈（0，π），‎ ‎∴A=或．‎ 故答案为：或．‎ ‎　‎ 三、解答题（本题共70分，解答应写出文字说明、演算步骤或推证过程）‎ ‎17．对甲、乙的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：问：甲、乙谁的平均成绩最好？谁的各门功课发展较平衡？‎ 甲 ‎60‎ ‎80‎ ‎70‎ ‎90‎ ‎70‎ 乙 ‎80‎ ‎60‎ ‎70‎ ‎80‎ ‎75‎ ‎【考点】极差、方差与标准差．‎ ‎【分析】先求出甲和乙的平均数，再求出甲和乙的方差，结果甲的平均数大于乙的平均数，甲的方差大于乙的方差，得到结论．‎ ‎【解答】解：，‎ ‎，‎ ‎∵‎ ‎∴甲的平均成绩较好，乙的各门功课发展较平衡．‎ ‎　‎ ‎18．（Ⅰ）比较（x+1）（x﹣3）与（x+2）（x﹣4）的大小．‎ ‎（Ⅱ）一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大．最大面积是多少？‎ ‎【考点】基本不等式在最值问题中的应用．‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据题意，由作差法分析可得：（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣4）=（x2﹣2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣8）=5＞0，即可得（x+1）（x﹣3）＞（x+2）（x﹣4）；‎ ‎（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym，结合题意可得x+y=18，矩形菜园的面积为xym2．由基本不等式分析可得≤==9，即可得xy的最大值，可得答案．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）根据题意，因为（x+1）（x﹣3）﹣（x+2）（x﹣4）=（x2﹣2x﹣3）﹣（x2﹣2x﹣8）=5＞0，‎ 故（x+1）（x﹣3）＞（x+2）（x﹣4）；‎ ‎（Ⅱ）设矩形菜园的长为xm，宽为ym．‎ 则2（x+y）=36，即x+y=18，矩形菜园的面积为xym2．‎ 由≤==9，可得xy≤81；‎ 当且仅当x=y，即x=y=9时，等号成立．‎ 因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园的面积最大，最大面积是81m2‎ ‎　‎ ‎19．在△ABC中，a=、b=、B=60°，求角A，角C和边c．‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】直接利用正弦定理求出A的正弦值，利用大边对大角可求A为锐角，从而可求A的值，利用三角形内角和定理可求C的值，进而利用正弦定理可求c的值．‎ ‎【解答】（本题满分12分）‎ 解：∵a=、b=、B=60°，‎ ‎∴sinA===，‎ ‎∵a＜b，A为锐角，‎ ‎∴A=45°，C=180°﹣A﹣B=75°，‎ ‎∴c===．‎ ‎　‎ ‎20．已知，求函数的最大值．‎ ‎【考点】基本不等式．‎ ‎【分析】先将函数解析式整理成基本不等式的形式，然后利用基本不等式求得函数的最大值和此时x的取值即可．‎ ‎【解答】（本小题满分6分）‎ 解：∵∴5﹣4x＞0‎ ‎∴=﹣（5﹣4x+）+3≤﹣2+3=1‎ 当且仅当5﹣4x=，即x=1时，上式成立，故当x=1时，ymax=1．‎ ‎∴函数的最大值为1．‎ ‎　‎ ‎21．已知数列{an}的首项a1=，an+1=，n=1，2，3，…．‎ ‎（1）证明：数列{}是等比数列； ‎ ‎（2）求{an}的通项公式．‎ ‎【考点】数列递推式．‎ ‎【分析】（1）由数列递推式，求倒数，再作变形，即可证得结论；‎ ‎（2）利用（1）的结论，根据等比数列的通项公式，可得{an}的通项公式．‎ ‎【解答】（1）证明：∵an+1=，∴=，∴‎ ‎∴‎ ‎∵a1=，∴=‎ ‎∴数列{}是以为首项，为公比的等比数列；‎ ‎（2）解：由（1）知， =，∴．‎ ‎　‎ ‎22．已知A、B、C为△ABC的三个内角，且其对边分别为a、b、c，若cosBcosC﹣sinBsinC=．‎ ‎（1）求角A；‎ ‎（2）若a=2，b+c=4，求△ABC的面积．‎ ‎【考点】余弦定理；正弦定理．‎ ‎【分析】（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，求出cos（B+C）的值，确定出B+C的度数，即可求出A的度数；‎ ‎（2）利用余弦定理列出关系式，再利用完全平方公式变形，将a与b+c的值代入求出bc的值，再由sinA的值，利用三角形面积公式即可求出三角形ABC面积．‎ ‎【解答】解：（1）在△ABC中，∵cosBcosC﹣sinBsinC=，‎ ‎∴cos（B+C）=，‎ 又∵0＜B+C＜π，‎ ‎∴B+C=，‎ ‎∵A+B+C=π，‎ ‎∴A=； ‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理a2=b2+c2﹣2bc•cosA，‎ 得（2）2=（b+c）2﹣2bc﹣2bc•cos，‎ 把b+c=4代入得：12=16﹣2bc+bc，‎ 整理得：bc=4，‎ 则△ABC的面积S=bcsinA=×4×=．‎