高考文科数学专题复习练习1函数及其表示
第二章函数概念与基本初等函数
2.1函数及其表示
12
函数的值域
1.(2015广西柳州一中一模,文15,函数的值域,填空题)设函数f(x)=2x+a,x>2,x+a2,x≤2,若f(x)的值域为R,则实数a的取值范围是 .
解析:函数f(x)=2x+a,x>2,x+a2,x≤2,
当x>2时,f(x)=2x+a,在(2,+∞)上为增函数,f(x)∈(4+a,+∞);
当x≤2时,f(x)=x+a2,在(-∞,2]上为增函数,f(x)∈(-∞,2+a2].
若f(x)的值域为R,则(-∞,2+a2]∪(4+a,+∞)=R,
则2+a2≥4+a,即a2-a-2≥0,
解得a≤-1或a≥2,
则实数a的取值范围是(-∞,-1]∪[2,+∞).
答案:(-∞,-1]∪[2,+∞)
16.(2015江西景德镇二模,文16,函数的值域,填空题)函数f(x)=log22x-log2x2,则函数f(x)在区间12,2上的值域是 .
解析:函数的定义域为(0,+∞),
则f(x)=log22x-log2x2=log22x-2log2x,
设t=log2x,则函数等价为y=t2-2t=(t-1)2-1.
当x∈12,2,则t∈[-1,1],则-1≤y≤3,
即函数的值域为[-1,3].
答案:[-1,3]
12.(2015广西南宁一模,文12,函数的值域,选择题)f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),若对任意的x1∈[-1,2],存在x0∈[-1,2],使g(x1)=f(x0),则a的取值范围是( )
A.0,12 B.12,3 C.[3,+∞) D.(0,3]
解析:设f(x)=x2-2x,g(x)=ax+2(a>0),在[-1,2]上的值域分别为A,B,
由题意可知A=[-1,3],B=[-a+2,2a+2],
所以-a+2≥-1,2a+2≤3.所以a≤12.
又a>0,所以0
0),则称f(x)与g(x)在[a,b]上是“k度和谐函数”,[a,b]称为“k度密切区间”.设函数f(x)=ln x与g(x)=mx-1x在1e,e上是“e度和谐函数”,则m的取值范围是 .
解析:∵函数f(x)=ln x与g(x)=mx-1x在1e,e上是“e度和谐函数”,
∴对任意的x∈1e,e,都有|f(x)-g(x)|≤e,
即有lnx+1x-m≤e,即m-e≤ln x+1x≤m+e.
令h(x)=ln x+1x1e≤x≤e,h'(x)=1x-1x2=x-1x2
当x>1时,h'(x)>0,当x<1时,h'(x)<0,
当x=1时,h(x)取极小值1,也为最小值,
∴h(x)在1e,e上的最小值是1,最大值是e-1.
∴m-e≤1且m+e≥e-1,即-1≤m≤e+1.
答案:-1≤m≤1+e
13
函数的解析式
1.(2015广西柳州一模,文16,函数的解析式,填空题)设x∈R,若函数f(x)为单调递增函数,且对任意实数x,都有f[f(x)-ex]=e+1成立,则f(2)的值为 .
解析:设t=f(x)-ex,
则f(x)=ex+t,则条件f[f(x)-ex]=e+1等价为f(t)=e+1,
令x=t,则f(t)=et+t=e+1,
∵函数f(x)为单调递增函数,
∴函数为一对一函数,解得t=1.
∴f(x)=ex+1.∴f(2)=e2+1.
答案:e2+1
8.(2015江西新余二模,文8,函数的解析式,选择题)函数f(x)的部分图象如图所示,则f(x)的解析式可以是( )
A.f(x)=x+sin x
B.f(x)=cosxx
C.f(x)=xcos x
D.f(x)=x·x-π2·x-3π2
解析:依题意函数是奇函数,排除D,函数图象过原点,排除B,图象过π2,0,显然A不正确,C正确.
答案:C
14
分段函数
1.(2015吉林省实验中学二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=-13x+16,x∈0,12,2x3x+1,x∈12,1,函数g(x)=asinπ6x-2a+2(a>0),若存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,则实数a的取值范围是( )
A.-23,1 B.12,43
C.43,32 D.13,2
解析:当x∈0,12时,y=16-13x,值域是0,16;
当x∈12,1时,y=2x3x+1,y'=4x3+6x2(x+1)2>0恒成立,故为增函数,值域为16,1,
则当x∈[0,1]时,f(x)的值域为[0,1],
g(x)=asinπ6x-2a+2(a>0),为增函数,值域是2-2a,2-3a2.
因为存在x1,x2∈[0,1],使得f(x1)=g(x2)成立,
所以[0,1]∩2-2a,2-3a2≠⌀.
若[0,1]∩2-2a,2-3a2=⌀,
则2-2a>1或2-3a2<0,即a<1a或a>43.
所以a的取值范围是12,43.
答案:B
2.(2015吉林省实验中学二模,文15,分段函数,填空题)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=x(1-x),0≤x≤1,sin πx,112,若数列{an}满足an=f(n)(n∈N*),且{an}是递减数列,则实数a的取值范围是( )
A.12,1 B.12,34 C.12,23 D.34,1
解析:由已知可知1-2a<0,0a13=1,
解得1212,不等式f(x)≤12,即2x-1≤12,它的解集为x120,若|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.(-∞,-1]∪[0,+∞) B.[-1,0]
C.[0,1] D.[-1,0)
解析:函数f(x)=x2-2,x≤0,3x-2,x>0的图象如图:
|f(x)|的图象如图:
因为|f(x)|≥ax在x∈[-1,1]上恒成立,
所以y=ax的图象应在y=|f(x)|的图象的下方,
故斜率为负,或为0.
当斜率为负时,排除答案A,C;
当a=0时,y=0满足要求,排除D.
答案:B
5.(2015江西上饶三模,文5,分段函数,选择题)设f(x)=xt,x<2,logt(x2+7),x≥2,则f(2)=4,则f(3)=( )
A.2 B.4 C.6 D.8
解析:f(x)=xt,x<2,logt(x2+7),x≥2,f(2)=4,
可得(2)t=4,解得t=4,
所以f(3)=log4(9+7)=2.
答案:A
12.(2015广西梧州一模,文12,分段函数,选择题)已知奇函数f(x)和偶函数g(x)分别满足f(x)=2x-1,0≤x<1,1x,x≥1,g(x)=-x2+4x-4(x≥0),若存在实数a,使得f(a)0时,f(1)取最大值,且为1;当x<0时,f(-1)最小,且为-1.
∵g(x)为偶函数,且g(x)=-x2+4x-4(x≥0),
∴g(x)的图象关于y轴对称(如图所示),且g(x)=-x2+4|x|-4.
∵存在实数a,使得f(a)-1,即-b2+4|b|-4>-1.
∴b2-4|b|+3<0,即1<|b|<3.
∴11,则函数y=f(1-x)的大致图象为( )
解析:当x=0时,y=3,故排除A,D;
当1-x≤1,即x≥0时,f(1-x)=31-x>0,
故此函数在x>0时函数值为正,排除B.
答案:C
14.(2015江西赣州兴国一模,文14,分段函数)已知函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,若方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,则a的取值范围为 .
解析:∵函数f(x)=|2x-1|,x<2,3x-1,x≥2,
∴作出函数f(x)的图象如图所示.
∵方程f(x)-a=0有三个不同的实数根,
∴函数y=f(x)的图象与y=a的图象有三个不同的交点.
根据图象可知,a的取值范围为00,若f(m)>f(-m),则实数m的取值范围是( )
A.(-1,0)∪(0,1) B.(-∞,-1)∪(0,1)
C.(-1,0)∪(1,+∞) D.(-1,1]
解析:函数f(x)=ln(-x),x<0,-lnx,x>0,
当m>0时,f(m)>f(-m),即为-ln m>ln m,
即ln m<0,解得0f(-m),即为ln(-m)>-ln(-m),
即ln(-m)>0,解得m<-1.
综上可得,m<-1或02,则f(f(5))= .
解析:由题意知,f(x)=2x-2,x≤2,log2(x-1),x>2,
则f(5)=log24=2,
∴f(f(5))=f(2)=22-2=1.
答案:1
12.(2015甘肃张掖二模,文12,分段函数,选择题)已知函数f(x)=|lgx|,010,若a,b,c互不相等,且f(a)=f(b)=f(c),则abc的取值范围是( )
A.(1,10) B.(5,6) C.(10,12) D.(20,24)
解析:作出函数f(x)的图象如图,
不妨设a0,m+2>0,
所以x1+x2+x3=m24+(2-m)+(2+m)=m24+4,
当m=0时,m24+4有最小值为4,
当m=23-2时,m24+4有最大值8-23,
所以x1+x2+x3的取值范围是(4,8-23).
答案:(4,8-23)
12.(2015江西鹰潭二模,文12,函数的最值,选择题)已知函数f(x)=lnx2+12,g(x)=ex-2,对于∀a∈R,∃b∈(0,+∞),使得g(a)=f(b)成立,则b-a的最小值为( )
A.ln 2 B.-ln 2 C.2e-3 D.e2-3
解析:不妨设g(a)=f(b)=m,
即ea-2=lnb2+12=m,
整理得a-2=ln m,b=2·em-12,
故b-a=2·em-12-ln m-2,(m>0),
令h(m)=2·em-12-ln m-2,h'(m)=2·em-12-1m,
易知h'(m)在(0,+∞)上是增函数,且h'12=0,
故h(m)=2·em-12-ln m-2在m=12处有最小值,
即b-a的最小值为ln 2.
答案:A
12.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文12,函数的最值,选择题)已知两条直线l1:y=m和l2:y=4m(m>0),l1与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点A,B,l2与函数y=|log2x|的图象由左到右相交于点C,D,记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a,b,当m变化时,ba的最小值是( )
A.2 B.4 C.8 D.16
解析:设A,B,C,D各点的横坐标分别为xA,xB,xC,xD,
则-log2xA=m,log2xB=m,-log2xC=4m,log2xD=4m,
所以xA=2-m,xB=2m,xC=2-4m,xD=24m.
所以a=|xA-xC|,b=|xB-xD|.
所以ba=|xB-xD||xA-xC|=2m-24m2-m-2-4m=2m·24m=2m+4m.
又m>0,所以m+4m≥2m×4m=4(当且仅当m=2时等号成立).
所以ba≥24=16.
答案:D
16.(2015黑龙江哈尔滨六中四模,文16,函数的最值,填空题)若关于x的函数f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t(t>0)的最大值为M,最小值为N,且M+N=4,则实数t的值为 .
解析:由题意,f(x)=tx2+2x+t2+sinxx2+t=t+2x+sinxx2+t,
显然函数g(x)=2x+sinxx2+t是奇函数.
∵函数f(x)最大值为M,最小值为N,且M+N=4,
∴M-t=-(N-t),即2t=M+N=4,∴t=2.
答案:2
17
单调性的应用
1.(2015广西桂林、防城港联合调研,文4,单调性的应用,选择题)已知a=212,b=log213,c=log32,则( )
A.a>b>c B.c>a>b C.c>b>a D.a>c>b
解析:∵a=212>1,b=log213<0,0c>b.
答案:D
16.(2015贵州黔东南州一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)在R上满足f(x)-f(-x)2λ=0(λ≠0),且对任意的实数x1≠x2(x1>0,x2>0)时,有f(x1)-f(x2)x1-x2>0成立,如果实数t满足f(ln t)-f(1)≤f(1)-fln1t,那么t的取值范围是 .
解析:根据已知条件及偶函数,增函数的定义可知
f(x)是偶函数,在(0,+∞)上是增函数,
所以由f(ln t)-f(1)≤f(1)-fln1t,
得f(ln t)≤f(1).
所以|ln t|≤1,-1≤ln t≤1.所以1e≤t≤e.
所以t的取值范围为1e,e.
答案:1e,e
15.(2015黑龙江绥化重点中学二模,文15,单调性的应用,填空题)已知定义在R上的偶函数f(x)在[0,+∞)单调递增,且f(1)=0,则不等式f(x-2)≥0的解集是 .
解析:∵偶函数f(x)在[0,+∞)上为增函数,f(1)=0,
∴不等式f(x-2)≥0等价为f(|x-2|)≥f(1),即|x-2|≥1,
即x-2≥1,或x-2≤-1,
即x≥3或x≤1.
故不等式的解集为{x|x≥3或x≤1}.
答案:{x|x≥3或x≤1}
11.(2015江西上饶二模,文11,单调性的应用,选择题)对于任意的x∈R,不等式2x2-ax2+1+3>0恒成立,则实数a的取值范围是( )
A.a<22 B.a≤22 C.a<3 D.a≤3
解析:先从2x2-ax2+1+3>0分离出参数a,
即a<2x2+3x2+1恒成立.
下面只要求y=2x2+3x2+1的最小值即可,
令x2+1=t(t≥1),则x2=t2-1,
∴y=2t2+1t=2t+1t.
∵y=2t+1t在[1,+∞)单调递增,
∴当t=1时,y有最小值3.故a<3.
答案:C
16.(2015江西重点中学协作体二模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)为R上的增函数,函数图象关于点(3,0)对称,若实数x,y满足f(x2-23x+9)+f(y2-2y)≤0,则yx的取值范围是 .
解析:∵函数y=f(x)的图象关于点(3,0)对称,
∴f(x+3)=-f(3-x),
即f(x+6)=-f(-x),即f(-x+6)=-f(x).
∵f(x2-23x+9)+f(y2-2y)≤0,
∴f(x2-23x+9)≤-f(y2-2y)
=f[6-(y2-2y)].
∵函数y=f(x)是定义在R上的增函数,
∴x2-23x+9≤6-(y2-2y),
化简配方得(x-3)2+(y-1)2≤1.
∴圆心为(3,1),半径为1.
yx的几何意义为圆上动点到原点的斜率,
设k=yx,则y=kx,即kx-y=0,
则满足圆心到直线的距离d=|3k-1|1+k2≤1,
平方得k2-3k≤0,
解得0≤k≤3,∴0≤yx≤3.
∴yx的取值范围是[0,3].
答案:[0,3]
16.(2015江西宜春高安四校一模,文16,单调性的应用,填空题)已知函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,则实数b的取值范围是 .
解析:∵函数f(x)是定义在[-4,+∞)上的单调增函数,且对于一切实数x,不等式f(cos x-b2)≥f(sin2x-b-3)恒成立,
∴cos x-b2≥sin2x-b-3≥-4.
∴cos x-sin2x≥b2-b-3,且sin2x≥b-1.
∵cos x-sin2x=cosx+122-54∈-54,1,sin2x∈[0,1],
∴b2-b-3≤-54,且b-1≤0.
∴实数b的取值范围是12-2,1.
答案:12-2,1
21.(2015山西太原山大附中高三月考,文21,单调性的应用,解答题)已知函数f(x)的定义域(0,+∞),若y=f(x)x在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“一阶比增函数”;若y=f(x)x2在(0,+∞)上为增函数,则称f(x)为“二阶比增函数”.把所有由“一阶比增函数”组成的集合记为A1,把所有由“二阶比增函数”组成的集合记为A2.
(1)已知函数f(x)=x3-2hx2-hx,若f(x)∈A1,且f(x)∉A2,求实数h的取值范围;
(2)已知f(x)∈A2,且存在常数k,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)0,
记f(x0)x02=m>0,因为f(x)∈A2,
所以f(x)为“二阶比增函数”,即f(x)x2是增函数.
所以当x>x0>0时,f(x)x2>f(x0)x02=m,
即f(x)>mx2.
所以一定存在x1>x0>0,使得f(x1)>mx12>k成立,
这与f(x)0,使得f(x2)=0,
∵f(x)为“二阶比增函数”,即f(x)x2是增函数,
∴一定存在x3>x2>0,使得f(x3)x32>f(x2)x22=0成立,
这与上述的证明结果矛盾.
所以f(x)=0在(0,+∞)上无解,
综上所述,当f(x)∈A2时,对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)<0成立,
所以当常数k≥0时,使得对任意的x∈(0,+∞),都有f(x)0,且a≠1)在R上单调递增,且2a+b≤4,则ba的取值范围为( )
A.23,2 B.23,2 C.23,2 D.23,2
解析:已知函数f(x)=loga(2x+b-1)(a>0,且a≠1)在R上单调递增,
而函数t=2x+b-1是R上的增函数,故有a>1.
再根据t>0恒成立可得b≥1.
又2a+b≤4,所以1≤b<2,2a≤3.
所以10的解集为( )
A.(1,+∞) B.(-1,1)
C.(-∞,-1) D.(-∞,-1)∪(1,+∞)
解析:由f(x)的图象关于x=1对称,f(0)=0,
可得f(2)=f(0)=0,
当x+1≥1时,f(x+1)>0,即为f(x+1)>f(2),
由f(x)在[1,+∞)上单调递减,可得,
x+1<2,解得x<1,即有0≤x<1,①
当x+1<1即x<0时,f(x+1)>0,
即为f(x+1)>f(0),
由f(x)在(-∞,1)上单调递增,可得,
x+1>0,解得x>-1,即有-1f(x2),可得函数f(x)是定义在R上的减函数,
因此,①当x≥2时,函数f(x)=(a-2)x为一次函数且为减函数,有a<2.(*)
②当x<2时,f(x)=12x-1也是减函数.
同时,还需满足:2(a-2)≤122-1,解之得a≤138,再结合(*)可得实数a的取值范围是-∞,138.
答案:B
9.(2015黑龙江绥化一模,文9,单调性的应用,选择题)若不等式4x2-logax<0对任意x∈0,14恒成立,则实数a的取值范围为( )
A.1256,1 B.1256,1
C.0,1256 D.0,1256
解析:∵不等式4x2-logax<0对任意x∈0,14恒成立,
∴x∈0,14时,函数y=4x2的图象在函数y=logax的图象的下方,∴00时,m恒为正数;当d<0时,m恒为负数
D.当d>0时,m恒为负数;当d<0时,m恒为正数
解析:∵函数f(x)=12x3+2x+sin x的定义域为R,是奇函数,且它的导数f'(x)=32x2+1+cos x≥0,故函数f(x)在R上是增函数.
∵数列{an}是公差为d的等差数列,分3种情况讨论:
①当d>0时,数列为递增数列,由a1+a2 015<0,
可得a2 015<-a1,∴f(a2 015)2,若关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,则实数a的取值范围是( )
A.-3,-52
B.-52,-1
C.-3,-52∪-52,-1
D.(-3,-1)
解析:作出f(x)=38x2,0≤x≤2,22x+1,x>2的图象如下,
∵函数y=f(x)是定义域为R的偶函数,
且关于x的方程[f(x)]2+af(x)+b=0,a,b∈R有且仅有6个不同实数根,
∴x2+ax+b=0的两根分别为x1=32,10时,f(x)=x2+1x,则f(-1)=( )
A.-2 B.0 C.1 D.2
解析:∵函数f(x)为奇函数,x>0时,f(x)=x2+1x,
∴f(-1)=-f(1)=-2.
答案:A
12.(2015山西朔州怀仁一中一模,文12,奇偶性的应用,选择题)已知f(x)为奇函数,当x∈[0,1]时,f(x)=1-2x-12,当x∈(-∞,-1],f(x)=1-e-1-x,若关于x的不等式f(x+m)>f(x)有解,则实数m的取值范围为( )
A.(-1,0)∪(0,+∞)
B.(-2,0)∪(0,+∞)
C.-12,-ln2,-1∪(0,+∞)
D.-12,-ln2,0∪(0,+∞)
解析:若x∈[-1,0],则-x∈[0,1],
则f(-x)=1-2-x-12=1-2x+12,
∵f(x)是奇函数,
∴f(-x)=1-2x+12=-f(x),
则f(x)=2x+12-1,x∈[-1,0].
若x∈[1,+∞),则-x∈(-∞,-1],
则f(-x)=1-e-1+x=-f(x),
则f(x)=e-1+x-1,x∈[1,+∞),
作出函数f(x)的图象如图:
当m>0时,x+m>x,此时当x≥1时,不等式成立.
当m<0时,x+m0即可,解得m>-1;
②当0≤x<1时,有m≤x+m<1+m,不等式有解,只需1+m>0即可,解得m>-1;
③当-1-1即可;
④当x≤-1时,有x+mb>c B.c>a>b
C.c>b>a D.a>c>b
解析:构造函数h(x)=xf(x),
由函数y=f(x)以及函数y=x是R上的奇函数可得h(x)=xf(x)是R上的偶函数,
因为当x∈(-∞,0)时,h'(x)=f(x)+xf'(x)<0,
所以函数h(x)在x∈(-∞,0)时的单调性为单调递减函数.
所以h(x)在x∈(0,+∞)时的单调性为单调递增函数.
又函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,
所以f(0)=0,从而h(0)=0,
因为log319=-2,所以flog319=f(-2)=-f(2).
又0f(b)>f(c),则以下情况不可能发生的是( )
A.af(b)>f(c),则可能为a0,且10,∴b>1.
∵bx1.
∵x>0,∴ab>1.
∴a>b.∴1y3
B.sin x>sin y
C.ln(x2+1)>ln(y2+1)
D.1x2+1>1y2+1
解析:∵实数x,y满足axy.
对于A,当x>y时,x3>y3,恒成立;
对于B,当x=π,y=π2时,满足x>y,但sin x>sin y不成立.
对于C,若ln(x2+1)>ln(y2+1),则等价为x2>y2成立,当x=1,y=-1时,满足x>y,但x2>y2不成立.
对于D,若1x2+1>1y2+1,则等价为x2+1y,但x2log63=12,c=lg 5>12,
∵b-c=log63-lg 5=lg3lg6-lg 5
=lg3-lg5·lg6lg6=lg3-(1-lg2)(lg2+lg3)lg6
=lg2(lg2+lg3-1)lg6
=lg2·lg35lg6<0.
∴b0,
故有a2≤2,t(2)=4-2a+a>0,解得a≤4,
故实数a的取值范围是a≤4.
答案:a≤4
2.6幂函数与二次函数
27
幂函数的图象与性质
8.(2015江西吉安一模,文8,幂函数的图象与性质,选择题)若幂函数f(x)的图象经过点3,33,则函数g(x)=x+f(x)在12,3上的值域为( )
A.2,433 B.2,322
C.0,433 D.[0,+∞)
解析:设f(x)=xα,
∵f(x)的图象过点3,33,
∴3α=33,解得α=-12.
∴f(x)=x-12.
∴函数g(x)=x+f(x)=x+x-12=x+1x .
当x∈12,3时,在x=1时,g(x)取得最小值g(1)=2,
在x=3时,g(x)取得最大值g(3)=3+13=433,
∴函数g(x)在x∈12,3上的值域是2,433.
答案:A
9.(2015贵州贵阳二模,文9,幂函数的图象与性质,选择题)函数y=ax(a>0,a≠1)与y=xb的图象如图,则下列不等式一定成立的是( )
A.ba>0
B.a+b>0
C.ab>1
D.loga2>b
解析:由图象可知,a>1,b<0,
故loga2>0,故loga2>b.
答案:D
2.7函数的图象
29
函数图象的辨识
1.(2015江西上饶重点中学一模,文12,函数图象的辨识,选择题)如图,圆x2+y2=1上一定点A(0,1),一动点M从A点开始逆时针绕圆运动一周,并记由射线OA按逆时针方向绕O点旋转到射线OM所形成的∠AOM为α,直线AM与x轴交于点N(t,0),则函数t=f(x)的图象大致为( )
解析:当x由0→π时,t从-∞→0,且单调递增,
当x由π→2π时,t从0→+∞,且单调递增,
∴排除B,C,D.
答案:A
2.(2015黑龙江大庆二模,文10,函数图象的辨识,选择题)方程x-1lg(x2+y2-1)=0所表示的曲线图形是( )
解析:方程x-1lg(x2+y2-1)=0,即x=1(y≠0),或x2+y2=2(x≥1)表示一条直线x=1(去掉点(1,0))以及圆x2+y2=2位于直线x=1右侧的部分.
答案:D
12.(2015江西吉安一模,文12,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=xex-1+x2的大致图象是( )
解析:∵f(-x)=-xe-x-1+-x2=-xex1-ex+12
=-x-ex-1+1ex-1+12=-x-1ex-1-1+12
=xex-1+x2=f(x),
∴f(x)为偶函数,
∴函数f(x)的图象关于y轴对称,故排除A,D.
∵f'(x)=12·e2x-2xex-1(ex-1)2,
设g(x)=e2x-2xex-1,
∴g'(x)=2ex(ex-x-1)>0,
∴g(x)>g(0)=0.∴f'(x)>0.
∴f(x)在(0,+∞)上单调递增,排除C.
答案:B
7.(2015吉林三模,文7,函数图象的辨识,选择题)现有三个函数:①y=ex+e-x2,②y=ex-e-x2,③y=ex-e-xex+e-x的图象(部分)如下:
则按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是( )
A.①②③ B.③①② C.③②① D.②①③
解析:对于①,f(-x)=ex+e-x2=f(x),故①为偶函数,所以对应的图象为中间的图象.
对于②,y=ex-e-x2,当x→+∞时,ex→+∞,e-x→0,所以当x→+∞时,y→+∞,所以对应的图象为最左边的图象.
对于③,y=ex-e-xex+e-x=1-2e2x+1,当x→+∞时,e2x→+∞,所以当x→+∞时,y→+1,所以对应的图象为最右边的图象.
所以按照从左到右图象对应的函数序号安排正确的一组是②①③.
答案:D
10.(2015江西景德镇二模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数y=ex+e-xex-e-x的图象大致为( )
解析:函数有意义,需使ex-e-x≠0,其定义域为{x|x≠0},排除C,D,
因为y=ex+e-xex-e-x=e2x+1e2x-1=1+2e2x-1,
所以当x>0时函数为减函数,故选A.
答案:A
8.(2015江西赣州兴国一模,文8,函数图象的辨识,选择题)如图中阴影部分的面积S是h的函数(其中0≤h≤H),则该函数的大致图象为( )
解析:∵当h=H时,对应阴影部分的面积为0,∴排除A与B.
∵当h=H2时,对应阴影部分的面积小于整个半圆面积的一半,且随着h的增大,S随之减小,减少的幅度不断变小,∴排除C.
从而得到答案D.
答案:D
10.(2015山西太原五中二模,文10,函数图象的辨识,选择题)如图,有四个平面图形分别是三角形、平行四边形、直角梯形、圆.垂直于x轴的直线l:x=t(0≤t≤a)经过原点O向右平行移动,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y(图中阴影部分),若函数y=f(t)的大致图象如图,那么平面图形的形状不可能是( )
解析:由函数的图象可知,几何体具有对称性,选项A,B,D,l在移动过程中扫过平面图形的面积为y,在中线位置前,都是先慢后快,然后相反.选项C,后面是直线增加,不满足题意.
答案:C
10.(2015黑龙江哈尔滨九中三模,文10,函数图象的辨识,选择题)函数f(x)=2x-4sin x,x∈-π2,π2的图象大致是( )
解析:∵函数f(x)=2x-4sin x,
∴f(-x)=-2x-4sin(-x)=-(2x-4sin x)=-f(x),故函数f(x)为奇函数.
∴函数f(x)=2x-4sin x的图象关于原点对称,排除A,B,函数f'(x)=2-4cos x,由f'(x)=0得cos x=12,故x=2kπ±π3(k∈Z),
∴x=±π3时函数取极值,排除C.
答案:D
9.(2015甘肃庆阳一诊,文9,函数图象的辨识,选择题)函数y=xln|x||x|的图象可能是( )
解析:函数y=xln|x||x|的定义域为(-∞,0)∪(0,+∞),关于原点对称.
当x>0时,y=xln|x||x|=xlnxx=ln x,
当x<0时,y=xln|x||x|=xln(-x)-x=-ln(-x),
此时函数图象与当x>0时函数y=xln|x||x|=xlnxx=ln x的图象关于原点对称.
答案:B
8.(2015黑龙江绥化一模,文8,函数图象的辨识,选择题)在同一个坐标系中画出函数y=ax,y=sin ax的部分图象,其中a>0且a≠1,则下列所给图象中可能正确的是( )
解析:正弦函数的周期公式T=2π|ω|,
∴y=sin ax的最小正周期T=2πa.
对于A,T>2π,故a<1,因为y=ax的图象是减函数,故错;
对于B,T<2π,故a>1,而函数y=ax是增函数,故错;
对于C,T=2π,故a=1,∴y=ax=1,故错;
对于D,T>2π,故a<1,∴y=ax是减函数,故对.
答案:D
8.(2015甘肃张掖一模,文8,函数图象的辨识,选择题)函数y=x+cos x的大致图象是( )
解析:∵f(x)=x+cos x,
∴f(-x)=-x+cos x.
∴f(-x)≠f(x),且f(-x)≠-f(x).
故此函数是非奇非偶函数,排除A,C.
又当x=π2时,x+cos x=x,
即f(x)的图象与直线y=x的交点中有一个点的横坐标为π2,排除D.
答案:B
30
函数图象的变换
10.(2015甘肃河西五地一模,文10,函数图象的变换,选择题)定义行列式运算:a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3.若将函数f(x)=-sinx cosx 1 -3的图象向左平移m(m>0)个单位后,所得图象对应的函数为奇函数,则m的最小值是( )
A.2π3 B.π3 C.π6 D.5π6
解析:由定义的行列式运算,得
f(x)=-sinx cosx 1 -3
=(-3)×(-sin x)-1×cos x
=3sin x-cos x=232sinx-12cosx
=2sinx-π6.
将函数f(x)的图象向左平移m(m>0)个单位后,
所得图象对应的函数解析式为
y=f(x+m)=2sinx+m-π6.
由该函数为奇函数,得2sinm-π6=0,
所以m-π6=kπ(k∈Z),则m=kπ+π6(k∈Z).
当k=0时,m有最小值π6.
答案:C
31
函数图象的应用
12.(2015贵州贵阳二模,文12,函数图象的应用,选择题)已知函数f(x)=2x-2-x2,g(x)=2x+2-x2,下列结论错误的是( )
A.函数f(x)的图象关于原点对称,函数g(x)的图象关于y轴对称
B.在同一坐标系中,函数f(x)的图象在函数g(x)的图象的下方
C.函数g(x)的值域是[1,+∞)
D.g(2x)=2f(x)g(x)在(-∞,+∞)恒成立
解析:对于A,∵f(-x)=2-x-2x2=-2x-2-x2=-f(x),
∴函数f(x)是奇函数,图象关于原点对称.
同理,g(x)是偶函数,图象关于y轴对称,
∴A正确;
对于B,∵f(x)-g(x)=2x-2-x2-2x+2-x2=-2-x<0,
∴f(x)的图象在g(x)的图象下方,B正确;
对于C,∵g(x)=2x+2-x2≥22x·2-x2=1,当且仅当x=0时取“=”,
∴g(x)的值域是[1,+∞),C正确;
对于D,∵g(2x)=22x+2-2x2,
2f(x)g(x)=2·2x-2-x2·2x+2-x2=22x-2-2x2,
∴只有当x=0时,g(2x)=2f(x)g(x),D错误.
答案:D
2.8函数与方程
32
函数零点所在区间的判断
1.(2015山西太原一模,文9,函数零点所在区间的判断,选择题)已知实数a>1,01,∴函数f(x)=ax+x-b为增函数.
又00.
∴函数f(x)=ax+x-b在(-1,0)内有零点.
答案:B
8.(2015山西太原外国语学校4月模拟,文8,函数零点所在区间的判断,选择题)如图是函数f(x)=x2+ax+b的部分图象,则函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是( )
A.14,12 B.(1,2)
C.12,1 D.(2,3)
解析:由函数f(x)=x2+ax+b的部分图象得00.
所以函数g(x)=ln x+f'(x)的零点所在的区间是12,1.
答案:C
9.(2015甘肃张掖二模,文9,函数零点所在区间的判断,选择题)在下列区间中,函数f(x)=ex+4x-3的零点所在的区间为( )
A.-14,0 B.0,14 C.14,12 D.12,34
解析:∵f(0)=e0-3=-2<0,f(1)=e1+4-3>0,
∴根所在的区间x0∈(0,1),排除A选项.
又∵f12=e0.5+2-3=e-1>0,
∴根所在的区间x0∈0,12,排除D选项.
最后计算出f14=4e-2<0,f14·f12<0,
得出选项C符合.
答案:C
33
函数零点、方程根的个数
1.(2015广西柳州一模,文11,函数零点、方程根的个数,选择题)已知函数f(x)=x+1x,x>0,x3+3,x≤0,则方程f(2x2+x)=a(a>2)的根的个数不可能为( )
A.3 B.4 C.5 D.6
解析:画出f(x)=x+1x,x>0,x3+3,x≤0和y=2x2+x的图象,
结合两个函数的图象可知23,4个根,a=1 535512,5个根,3≥a>1 535512,6个根.
答案:A
2.(2015黑龙江大庆二模,文12,函数零点、方程根的个数,选择题)已知函数f(x)=|logax|-12x(a>0且a≠1)有两个零点x1,x2,则有( )
A.01 D.x1x2的范围不确定
解析:不妨设x1<11,则logax2=12x2,-logax1=12x1,
故logax1x2=12x2-12x1<0;
故00;
故012>0恒成立,则不存在“给力点”;
对于②,f(x)=2+lg|x-1|,定义域为{x|x≠1,x∈R},令f(x)=0,则x=1+1100或1-1100,
可令x0=1,则存在“给力点”;
对于③,f(x)=x33-x-1,定义域为R,f'(x)=x2-1,在-11或x<-1时,f'(x)>0,f(x)递增.则x=1处取得极小值-53,x=-1处取得极大值-13,
则f(x)与x轴只有一个交点,则不存在“给力点”;
对于④,f(x)=x2+ax-1(a∈R),定义域为R,由于判别式a2+4>0,则一定存在“给力点”.
综上可得,②④正确.
答案:D
12.(2015江西重点中学协作体一模,文12,函数零点、方程根的个数,选择题)已知函数f(x)=1x+2-k|x|(k∈R)有三个不同的零点,则实数k的取值范围是( )
A.(0,1) B.(0,2) C.(1,+∞) D.(2,+∞)
解析:如图,
函数f(x)=1x+2-k|x|的零点,就是方程1x+2-k|x|=0的根,
也就是函数y=1x+2与函数y=k|x|=kx,x≥0,-kx,x<0图象交点的横坐标.
若k=0,则y=k|x|=0,函数y=1x+2与y=0无交点;
若k<0,则当x>0时,y=kx与y=1x+2无交点,不合题意;
当k>0时,y=kx与y=1x+2右支有一个交点,
再由y=1x+2,y=-kx,得kx2+2kx+1=0,由Δ=4k2-4k=0,得k=1.
由图可知,当k>1时y=-kx与y=1x+2左支有两个交点.
所以使函数f(x)=1x+2-k|x|(k∈R)有三个不同的零点的实数k的取值范围是(1,+∞).
答案:C
16.(2015江西新八校联考一模,文16,函数零点、方程根的个数,填空题)t>0,关于x的方程|x|+t-x2=2的解为集合A,则A中元素个数可能为 (写出所有可能).
解析:由|x|+t-x2=2,得t-x2=2-|x|,
由y=t-x2,得x2+y2=t(y≥0),
又y=2-|x|=-x+2,x≥0,x+2,x<0,
作出图象如图:
由图可知,当02时,A中元素个数为0;
当t=1时,A中元素个数为2;
当t=2时,A中元素个数为3;
当1-2,解得00,若函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,则实数b的取值范围是 .
解析:∵函数g(x)=f(x)-12x-b有且仅有两个零点,
∴函数f(x)=3-x,x≤0,x,x>0与函数y=12x+b的图象有且仅有两个交点,
作函数f(x)=3-x,x≤0,x,x>0与函数y=12x+b的图象如下,
当b=0时,有一个交点,是一个临界值,
当直线y=12x+b与f(x)=x相切时,f'(x)=12·1x=12.
故切点为(1,1).故b=1-12=12.
结合图象可得,01,g(x)=ln x,则函数y=f(x)-g(x)的零点个数为 .
解析:在同一坐标系中画出函数f(x)与函数g(x)=ln x的图象,如图所示,
由图象知函数f(x)与g(x)有3个交点,故函数y=f(x)-log4x有3个零点.
答案:3
34
函数零点的综合应用
1.(2015广西玉林、贵港4月模拟,文12,函数零点的综合应用,选择题)定义运算M:x
