【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版7-1不等关系与不等式学案

【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版7-1不等关系与不等式学案

‎§7.1　不等关系与不等式 最新考纲 考情考向分析 ‎1.了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系.‎ ‎2.了解不等式(组)的实际背景.‎ 以理解不等式的性质为主，本节在高考中主要以客观题形式考查不等式的性质；以主观题形式考查不等式与其他知识的综合.属低档题.‎ ‎1.两个实数比较大小的方法 ‎(1)作差法(a，b∈R)‎ ‎(2)作商法(a∈R，b>0)‎ ‎2.不等式的基本性质 性质 性质内容 特别 提醒 对称性 a>b⇔bb，b>c⇒a>c ‎⇒‎ 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c ‎⇔‎ 可乘性 ⇒ac>bc 注意c 的符号 ⇒acb＋d ‎⇒‎ 同向同正 可乘性 ⇒ac>bd ‎⇒‎ 可乘方性 a>b>0⇒an>bn ‎(n∈N＋，n>1)‎ a，b同 为正数 可开方性 a>b>0⇒> ‎(n∈N＋，n>1)‎ ‎3.不等式的一些常用性质 ‎(1)倒数的性质 ‎①a>b，ab>0⇒<.‎ ‎②a<0b>0,0.‎ ‎④0b>0，m>0，则 ‎①<；>(b－m>0).‎ ‎②>；<(b－m>0).‎ 概念方法微思考 ‎1.若a>b，且a与b都不为0，则与的大小关系确定吗？‎ 提示　不确定.若a>b，ab>0，则<，即若a与b同号，则分子相同，分母大的反而小；若a>0>b，则 >，即正数大于负数.‎ ‎2.两个同向不等式可以相加和相乘吗？‎ 提示　可以相加但不一定能相乘，例如2>－1，－1>－3.‎ 题组一　思考辨析 ‎1.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)‎ ‎(1)两个实数a，b之间，有且只有a>b，a＝b，a1，则a>b.(　×　)‎ ‎(3)一个不等式的两边同加上或同乘以同一个数，不等号方向不变.(　×　)‎ ‎(4)a>b>0，c>d>0⇒>.(　√　)‎ ‎(5)ab>0，a>b⇔<.(　√　)‎ 题组二　教材改编 ‎2.若a，b都是实数，则“－>0”是“a2－b2>0”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　－>0⇒>⇒a>b⇒a2>b2，‎ 但由a2－b2>0⇏－>0.‎ ‎3.设bb＋d D.a＋d>b＋c 答案　C 解析　由同向不等式具有可加性可知C正确.‎ 题组三　易错自纠 ‎4.若a>b>0，c0 B.－<0‎ C.> D.< 答案　D 解析　∵cac，‎ 又∵cd>0，∴>，即>.‎ ‎5.设a，b∈R，则“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的(　　)‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 答案　A 解析　若a>2且b>1，则由不等式的同向可加性可得a＋b>2＋1＝3，由不等式的同向同正可乘性可得ab>2×1＝2.即“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分条件；反之，若“a＋b>3‎ 且ab>2”，则“a>2且b>1”不一定成立，如a＝6，b＝.所以“a>2且b>1”是“a＋b>3且ab>2”的充分不必要条件.故选A.‎ ‎6.若－<α<β<，则α－β的取值范围是__________.‎ 答案　(－π，0)‎ 解析　由－<α<，－<－β<，α<β，‎ 得－π<α－β<0.‎ 题型一　比较两个数(式)的大小 例1　(1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　)‎ A.pq D.p≥q 答案　B 解析　(作差法)p－q＝＋－a－b ‎＝＋＝(b2－a2)· ‎＝＝，‎ 因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.‎ 若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；‎ 若a≠b，则p－q<0，故pb>0，比较aabb与abba的大小.‎ 解　∵＝＝a－b，‎ 又a>b>0，故>1，a－b>0，‎ ‎∴a－b>1，即>1，‎ 又abba>0，∴aabb>abba，‎ ‎∴aabb与abba的大小关系为：aabb>abba.‎ 思维升华 比较大小的常用方法 ‎(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④结论.‎ ‎(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④结论.‎ ‎(3)函数的单调性法.‎ 跟踪训练1　(1)已知p∈R，M＝(2p＋1)(p－3)，N＝(p－6)(p＋3)＋10，则M，N的大小关系为________.‎ 答案　M>N 解析　因为M－N＝(2p＋1)(p－3)－[(p－6)(p＋3)＋10]＝p2－2p＋5＝(p－1)2＋4>0，所以M>N.‎ ‎(2)若a>0，且a≠7，则(　　)‎ A.77aa<7aa7‎ B.77aa＝7aa7‎ C.77aa>7aa7‎ D.77aa与7aa7的大小不确定 答案　C 解析　＝77－aaa－7＝7－a，‎ 则当a>7时，0<<1,7－a<0，‎ 则7－a>1，∴77aa>7aa7；‎ 当01,7－a>0，‎ 则7－a>1，∴77aa>7aa7.‎ 综上，77aa>7aa7.‎ 题型二　不等式的性质 例2　(1)对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是(　　)‎ A.若a>b，c≠0，则ac>bc B.若a>b，则ac2>bc2‎ C.若ac2>bc2，则a>b D.若a>b，则< 答案　C 解析　对于选项A，当c<0时，不正确；‎ 对于选项B，当c＝0时，不正确；‎ 对于选项C，∵ac2>bc2，∴c≠0，∴c2>0，∴一定有a>b.故选项C正确；‎ 对于选项D，当a>0，b<0时，不正确.‎ ‎(2)已知四个条件：①b>0>a；②0>a>b；③a>0>b；④a>b>0，能推出<的是______.(填序号)‎ 答案　①②④‎ 解析　运用倒数法则，a>b，ab>0⇒<，②④正确.又正数大于负数，所以①正确.‎ 思维升华　常用方法：一是用性质逐个验证；二是用特殊值法排除.利用不等式的性质判断不等式是否成立时要特别注意前提条件.‎ 跟踪训练2　(1)已知a，b，c满足cac B.c(b－a)<0‎ C.cb20‎ 答案　A 解析　由c0.‎ 由b>c，得ab>ac一定成立.‎ ‎(2)若<<0，则下列不等式：‎ ‎①a＋b|b|；③a0，‎ 所以a＋bb>0，给出下列四个不等式：‎ ‎①a2>b2；②2a>2b－1；③>－；④a3＋b3>2a2b.‎ 其中一定成立的不等式为(　　)‎ A.①②③ B.①②④‎ C.①③④ D.②③④‎ 答案　A 解析　方法一　由a>b>0可得a2>b2，①成立；‎ 由a>b>0可得a>b－1，而函数f(x)＝2x在R上是增函数，‎ ‎∴f(a)>f(b－1)，即2a>2b－1，②成立；‎ ‎∵a>b>0，∴>，‎ ‎∴()2－(－)2‎ ‎＝2－2b＝2(－)>0，‎ ‎∴>－，③成立；‎ 若a＝3，b＝2，则a3＋b3＝35,2a2b＝36，‎ a3＋b3<2a2b，④不成立.‎ 故选A.‎ 方法二　令a＝3，b＝2，‎ 可以得到①a2>b2，②2a>2b－1，③>－均成立，而④a3＋b3>2a2b不成立，故选A.‎ 命题点2　求代数式的取值范围 例4　已知－1 B.a2bn 答案　C 解析　(特值法)取a＝－2，b＝－1，逐个检验，可知A，B，D项均不正确；‎ C项，<⇔|b|(|a|＋1)<|a|(|b|＋1)‎ ‎⇔|a||b|＋|b|<|a||b|＋|a|⇔|b|<|a|，‎ ‎∵ab，c>d，则ac>bd B.若ac>bc，则a>b C.若<，则ab，c>d，则a－c>b－d 答案　C 解析　A项，取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知A错误；‎ B项，当c<0时，ac>bc⇒a0，所以ab2 B.1>b>a C.＋<2 D.aeb>bea 答案　D 解析　由题意知，ba>1，＋>2，‎ ‎∵beb>0，－b>－a>0‎ ‎∴－bea>－aeb，∴aeb>bea，故选D.‎ ‎3.若a>b>0，则下列不等式中一定成立的是(　　)‎ A.a＋>b＋ B.> C.a－>b－ D.> 答案　A 解析　取a＝2，b＝1，排除B与D；另外，函数f(x)＝x－是(0，＋∞)上的增函数，但函数g(x)＝x＋在(0,1]上单调递减，在[1，＋∞)上单调递增，所以，当a>b>0时，f(a)>f(b)必定成立，即a－>b－⇔a＋>b＋，但g(a)>g(b)未必成立，故选A.‎ ‎4.(2018·沈阳模拟)已知x>y>z，x＋y＋z＝0，则下列不等式成立的是(　　)‎ A.xy>yz B.xz>yz C.xy>xz D.x|y|>z|y|‎ 答案　C 解析　∵x>y>z且x＋y＋z＝0，‎ ‎∴3x>x＋y＋z＝0,3z0，z<0，‎ 又y>z，∴xy>xz.‎ ‎5.设x>0，P＝2x＋2－x，Q＝(sin x＋cos x)2，则(　　)‎ A.P>Q B.P0，所以P>2；‎ 又(sin x＋cos x)2＝1＋sin 2x，而sin 2x≤1，‎ 所以Q≤2.于是P>Q.故选A.‎ ‎6.若α，β满足－<α<β<，则2α－β的取值范围是(　　)‎ A.－π<2α－β<0 B.－π<2α－β<π C.－<2α－β< D.0<2α－β<π 答案　C 解析　 ∵－<α<，∴－π<2α<π.‎ ‎∵－<β<，∴－<－β<，‎ ‎∴－<2α－β<.‎ 又α－β<0，α<，∴2α－β<.‎ 故－<2α－β<.‎ ‎7.设0b>0⇒a2>ab，D不对，故选C.‎ ‎8.若a＝，b＝，c＝，则(　　)‎ A.ae)，‎ y′＝，‎ 易知当x>e时，函数f(x)单调递减.‎ 因为e<3<4<5，所以f(3)>f(4)>f(5)，即cb；＝＝log6251 024>1，‎ 所以b>c.即cay(0ln(y2＋1)‎ B.sin x>sin y C.x3 答案　C 解析　方法一　因为实数x，y满足ax>ay(0bln a B.aln bbea，故选B.‎ 二、填空题 ‎11.已知a＋b>0，则＋与＋的大小关系是________.‎ 答案　＋≥＋ 解析　＋－＝＋ ‎＝(a－b)·＝.‎ ‎∵a＋b>0，(a－b)2≥0，‎ ‎∴≥0.‎ ‎∴＋≥＋.‎ ‎12.已知有三个条件：①ac2>bc2；②>；③a2>b2，其中能成为a>b的充分条件的是________.‎ 答案　①‎ 解析　由ac2>bc2可知c2>0，即a>b，故“ac2>bc2”是“a>b”的充分条件；②当c<0时，ab的充分条件.‎ ‎13.已知a，b，c，d均为实数，有下列命题：‎ ‎①若ab>0，bc－ad>0，则－>0；‎ ‎②若ab>0，－>0，则bc－ad>0；‎ ‎③若bc－ad>0，－>0，则ab>0.‎ 其中正确的命题是________.(填序号)‎ 答案　①②③‎ 解析　∵ab>0，bc－ad>0，‎ ‎∴－＝>0，∴①正确；‎ ‎∵ab>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴bc－ad>0，∴②正确；‎ ‎∵bc－ad>0，又－>0，即>0，‎ ‎∴ab>0，∴③正确.故①②③都正确.‎ ‎14.设α∈，T1＝cos(1＋α)，T2＝cos(1－α)，则T1与T2的大小关系为________.‎ 答案　T10，求证：≤；‎ ‎(2)已知c>a>b>0，求证：>.‎ 证明　(1)∵bc≥ad，bd>0，∴≥，‎ ‎∴＋1≥＋1，‎ ‎∴≤.‎ ‎(2)∵c>a>b>0，∴c－a>0，c－b>0.‎ ⇒< ‎⇒⇒>.‎ ‎16.已知1

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