江苏省扬州市广陵区扬州中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

江苏省扬州市广陵区扬州中学2019-2020学年高二上学期12月月考数学试题

江苏省扬州中学2019—2020学年度第一学期12月月考 高二数学试卷 一、单项选择题：‎ ‎1.等差数列中，，，则=（ ）‎ A. B. C. 2 D. 10‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设等差数列的公差为，可得，进而可得.‎ ‎【详解】设等差数列的公差为，‎ 则可得.‎ 所以.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查了等差数列的基本量运算，属于基础题.‎ ‎2.方程表示焦点在x轴上的一个必要不充分条件是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出“方程表示焦点在x轴上”对应的的取值范围，再根据必要不充分条件与集合之间的包含关系即可求解．‎ ‎【详解】方程表示焦点在x轴上，所以，解得 ‎，‎ 所以是的必要不充分条件．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题主要考查必要不充分条件的判断，解题关键是将必要不充分条件转化为集合之间的包含关系，属于基础题．‎ ‎3.数列的一个通项公式（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据数列各项分子、分母特征，即可找出规律，求出通项公式。‎ ‎【详解】将2写成，因为数列各项分子为2,4,8,16,32,…，是以2为首项和公比的等比数列，分母为1,3,5,7,9, …，是以1为首项,以2为公差的等差数列,所以此数列的一个通项公式为 ‎.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查观察法求数列的通项公式，以及等差、等比数列通项公式的应用，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎4.已知△ABC为等腰直角三角形，若双曲线E以A，B为焦点，并经过点C，该双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴,建立平面直角坐标系，可求出该双曲线的实轴长为，从而求出离心率．‎ ‎【详解】设，以所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立平面直角坐标系．‎ 依题意可知，，由双曲线的定义可知，‎ 双曲线的实轴长为，‎ 所以该双曲线的离心率是．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查双曲线的简单性质应用，建立适当的坐标系，得到实轴长和焦距是解题关键，考查学生数学建模的能力，属于中档题．‎ ‎5.《趣味数学·屠夫列传》中有如下问题：“戴氏善屠，日益功倍．初日屠五两，今三十日屠讫，问共屠几何？”其意思为：“有一个姓戴的人善于屠肉，每一天屠完的肉是前一天的2倍，第一天屠了5两肉，共屠了30天，问一共屠了多少两肉？” （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，得到该屠户每天屠肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，由题中熟记，以及等比数列的求和公式，即可得出结果.‎ ‎【详解】由题意，该屠户每天屠的肉成等比数列，记首项为，公比为，前项和为，‎ 所以，，‎ 因此.‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查等比数列的应用，熟记等比数列的求和公式即可，属于基础题型.‎ ‎6.如图所示，在平行六面体中，设，，，是的中点，试用，，表示（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据空间向量的线性表示，用，，表示出即可．‎ ‎【详解】解：是的中点，‎ ‎.‎ 故选A.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的线性表示与应用问题，是基础题目．‎ ‎7.已知等差数列{an}的公差d≠0，且a1，a3，a13成等比数列，若a1=1，Sn为数列{an}的前n项和，则的最小值为（　　　　）‎ A. 4 B. 3 C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ a1，a3，a13成等比数列，a1=1，可得：a32=a1a13，即（1+2d）2=1+12d，d≠0，解得d．可得an，Sn．代入利用分离常数法化简后，利用基本不等式求出式子的最小值．‎ ‎【详解】解：∵a1，a3，a13成等比数列，a1=1，‎ ‎∴a32=a1a13，‎ ‎∴（1+2d）2=1+12d，d≠0，‎ 解得d=2．‎ ‎∴an=1+2（n-1）=2n-1．‎ Sn=n+×2=n2．‎ ‎∴==‎ ‎=n+1+-2≥2-2=4，‎ 当且仅当n+1=时取等号，此时n=2，且取到最小值4，‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式、前n项和公式，等比中项的性质，基本不等式求最值，解题的关键是利用分离常数法化简式子，凑出积为定值．‎ ‎8.已知是双曲线的右焦点，是左支上一点，，当周长最小时，该三角形的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用双曲线的定义，确定周长最小时，的坐标，即可求出 周长最小时，该三角形的面积．‎ ‎【详解】设双曲线的左焦点为，由双曲线定义知，，‎ 的周长为，‎ 由于是定值，要使的周长最小，则最小，即、、共线，‎ ‎，，直线的方程为，‎ 即代入整理得，‎ 解得或（舍），所以点的纵坐标为，‎ ‎.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题考查双曲线的定义，考查三角形面积的计算，确定点的坐标是关键．‎ 二、多项选择题 ‎9.下列说法正确的是（ ）‎ A. “”是“x=2019”的充分条件 B. “x=-1”的充分不必要条件是“”‎ C. “m是实数”的充分必要条件是“m是有理数” D. 若，则 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分、必要条件的定义，可以判断选项的真假，根据不等式性质可以判断选项的真假．‎ ‎【详解】对于选项A，，所以“”是“x=2019”必要条件；‎ 对于选项B，，解得或，所以“x=-1”的必要不充分条件是“”；‎ 对于选项C，“m是实数”的充分不必要条件是“m是有理数”；‎ 对于选项D，，所以，即，所以．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查充分、必要条件的定义应用，属于基础题．‎ ‎10.已知等比数列中，满足，则（ ）‎ A. 数列是等比数列 B. 数列是递增数列 C. 数列是等差数列 D. 数列中，仍成等比数列 ‎【答案】AC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出等比数列的通项公式，即可求出数列，，的通项公式，并判断数列类型，由等比数列前项和公式，可求出，即可判断选项的真假．‎ ‎【详解】等比数列中，，所以，．‎ 于是 ，，，故数列是等比数列，‎ 数列是递减数列，数列是等差数列．‎ 因为 ，所以不成等比数列．‎ 故选：AC．‎ ‎【点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前项和公式的应用，以及通过通项公式判断数列类型，属于基础题．‎ ‎11.已知三个数成等比数列，则圆锥曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】BC ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等比数列的性质求出，再判断曲线类型，进而求出离心率 ‎【详解】由三个数成等比数列，得，即；当，圆锥曲线为，曲线为椭圆，则；当时，曲线为，曲线为双曲线，，‎ 则离心率为：或 故选BC ‎【点睛】本题考查等比数列的性质，离心率的求解，易错点为漏解的取值，属于中档题 ‎12.已知点F是抛物线的焦点，AB,CD是经过点F的弦且AB⊥CD，AB的斜率为k，且k>0，C,A两点在x轴上方.则下列结论中一定成立的是（ ）‎ A. B. 四边形ACBD面积最小值为 C. D. 若，则直线CD的斜率为 ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用抛物线极坐标方程求出，然后即可计算求解，判断出各选项的真假．‎ ‎【详解】设AB的倾斜角为，则有，所以，C正确；‎ ‎，若，则，，‎ 直线CD的斜率为，D正确；‎ ‎，所以B不正确；‎ 设 ，由抛物线过焦点弦的性质可知，，‎ ‎，所以A正确．‎ 故选：ACD．‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系的应用，抛物线的简单性质应用，抛物线的极坐标方程的应用，考查学生的数学运算能力，属于较难题．‎ 三、填空题 ‎13.已知空间向量,若空间単位向量满足:‎ ‎，则=________.‎ ‎【答案】或 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出对应的坐标形式，根据以及列出对应的方程组，求解出的坐标表示.‎ ‎【详解】设，‎ 因为且，‎ 所以，解得：或，‎ 所以或.‎ 故答案为或.‎ ‎【点睛】本题考查空间向量的数量积计算的简单应用，难度较易.已知空间向量，则.‎ ‎14.己知命题p：，，且p是假命题，则实数a的取值范围是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 命题p是假命题,则利用其否定为真命题,再参变分离进行求解即可．‎ ‎【详解】∵命题p：,是假命题,则 ‎∴,恒成立,‎ ‎∴,‎ ‎∴或 故答案为．‎ ‎【点睛】本题考查特称命题的否定与恒成立问题,属于基础题型．‎ ‎15.已知数列的通项公式是，数列满足且，则数列的通项公式为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据已知可得,然后两边同时加上3,变形为,再利用等比数列通项公式可得答案.‎ ‎【详解】因为,所以,‎ 所以,‎ 又,‎ 所以数列是首项为8,公比为2的等比数列,‎ 所以,‎ 所以.‎ 故答案为: ‎ ‎【点睛】本题考查了等比数列的定义以及通项公式,属于基础题.‎ ‎16.抛物线上一点到抛物线准线的距离为，点关于轴的对称点为，为坐标原点，的内切圆与切于点，点为内切圆上任意一点，则的取值范围为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 因为点在抛物线上，所以，点A到准线的距离为，解得或．当时，，故舍去，所以抛物线方程为∴，所以是正三角形，边长为，其内切圆方程为，如图所示，∴．设点（为参数），则，∴．‎ ‎【点睛】本题主要考查抛物线性质的运用，参数方程的运用，三角函数的两角和公式合一变形求最值，属于难题，对于这类题目，首先利用已知条件得到抛物线的方程，进而可得到为等边三角形和内切圆的方程，进而得到点的坐标，可利用内切圆的方程设出点含参数的坐标，进而得到，从而得到其取值范围，因此正确求出内切圆的方程是解题的关键.‎ 四、解答题 ‎17.（1）已知x>2，求的最小值；‎ ‎（2）已知，且，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）因为，由基本不等式即可求出最小值；‎ ‎（2）因为，所以，于是＝，‎ 由基本不等式即可求出最小值．‎ ‎【详解】（1），当且仅当时取等号，所以 的最小值为．‎ ‎（2）因为，所以，‎ 于是＝，‎ 当且仅当时取等号，所以的最小值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，使用注意“一正二定三相等”，以及“和定积最大，积定和最小”，属于基础题．‎ ‎18.已知数列的前n项和满足是等差数列，且 ‎（1）求和的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前2n项和 ‎【答案】（1）,（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据数列的前n项和，可以判断出数列是以为首项，公比为的等比数列，因此可求出，再设出等差数列的公差为，列出关于等差数列首项和公差的两个方程，解出和，即可求出的通项公式；‎ ‎（2）根据数列的特点，采用并项求和法，即可求出前2n项和．‎ ‎【详解】（1）因为，当时，，‎ 当时，，当时，也符合上式．‎ 所以数列是以为首项，公比为的等比数列，所以．‎ 设等差数列的公差为，由，，‎ 所以，，即，，故．‎ ‎（2）‎ 又因为，所以 ‎，‎ 所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查等差、等比数列通项公式的求法以及并项求和法求数列的和，意在考查学生的数学运算能力，属于中档题．‎ ‎19.在正方体中，边长为2，利用综合法完成以下问题：‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据等积法可知，，因此求出和，即可求出点到平面的距离；‎ ‎（2）分别取的中点，连接，由题意可知即为二面角的平面角，在中，根据余弦定理即可求出．‎ ‎【详解】（1）因为为边长为的等边三角形，所以，‎ 而，设点到平面的距离为，由可得，，解得．‎ ‎（2）分别取的中点，连接．‎ 因为为边长为的等边三角形，所以， ，‎ 又为直角三角形，而为的中位线，所以，故即为二面角的平面角．‎ 在中，，所以 ．‎ 故二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用综合法求点到面的距离以及二面角的余弦值，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎20.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PCD⊥平面ABCD，AB=2，BC=1，，E为PB中点.利用空间向量方法完成以下问题：‎ ‎（1）求二面角E-AC-D的余弦值；‎ ‎（2）在棱PD上是否存在点M，使得？若存在，求的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）在棱上存在点,使，且 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）取的中点，建立空间坐标系，分别求出平面和的法向量，再由二面角的向量公式即可求出；‎ ‎（2）假设存在点，设出点的坐标，由三点共线得，，‎ 可用表示出点，再利用，求出，满足即可，即得的值．‎ ‎【详解】（1）取的中点，连结，.因为底面为矩形,所以.因为，,所以∥，所以.‎ 又因为平面PCD⊥平面ABCD,平面平面PCD∩平面ABCD=CD.‎ 所以PO⊥平面ABCD，‎ 如图，建立空间直角坐标系,则，‎ 设平面的法向量为，‎ 所以令，则，所以.‎ 平面的法向量为，则.‎ 如图可知二面角为钝角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎（2）在棱上存在点,使.设,则.‎ 因为,所以.‎ ‎.因为,所以.‎ 所以，解得.‎ 所以在棱上存在点,使，且.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用空间向量求二面角，以及点的存在性问题，解题关键是通过题意建立恰当的空间坐标系，准确求出各点坐标，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，属于中档题．‎ ‎21.已知正项数列的前n项和满足 ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若（n∈N*），求数列的前n项和;‎ ‎（3）是否存在实数使得对恒成立，若存在，求实数的取值范围，若不存在说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）（3）存，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据与的关系，即可求出的通项公式；‎ ‎（2）由 ，可采用裂项相消法求数列的前n项和；‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，‎ 即对一切正整数恒成立，只需满足即可，利用作差法得出其单调性，即可求解．‎ ‎【详解】（1）当n=1时，a1=2或-1（舍去）．‎ 当n≥2时，，‎ 整理可得：（an+an-1）（an-an-1-1）=0，可得an-an-1=1，‎ ‎∴{an}是以a1=2为首项，d=1为公差的等差数列．∴．‎ ‎（2）由（1）得an=n+1，∴．‎ ‎∴．‎ ‎（3）假设存在实数λ，使得对一切正整数恒成立，‎ 即对一切正整数恒成立，只需满足即可，‎ 令，则 当 故f（1）=1，f（2）=，f（3）=，＞f（5）＞f（6）＞…‎ 当n=3时有最小值，所以．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用与的关系求通项公式，裂项相消法求 数列的前n项和，以及不等式恒成立问题的解法应用，综合性较强，属于较难题．‎ ‎22.已知椭圆与x轴负半轴交于，离心率.‎ ‎（1）求椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线与椭圆C交于两点，连接AM,AN并延长交直线x=4于两点，若，直线MN是否恒过定点，如果是，请求出定点坐标，如果不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）直线恒过定点,详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）依题意由椭圆的简单性质可求出，即得椭圆C的方程；‎ ‎（2）设直线的方程为：，联立直线的方程与椭圆方程可求得点的坐标，同理可求出点的坐标，根据的坐标可求出直线的方程，将其化简成点斜式，即可求出定点坐标．‎ ‎【详解】（1）由题有，.∴，∴.∴椭圆方程为.‎ ‎（2）设直线的方程为：，则 ‎∴或，∴，同理，‎ 当时，由有.∴，同理，又 ‎∴，‎ 当时，∴直线的方程为 ‎∴直线恒过定点，当时，此时也过定点..‎ 综上:直线恒过定点.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用椭圆的简单性质求椭圆的标准方程，以及直线与椭圆的位置关系应用，定点问题的求法等，意在考查学生的逻辑推理能力和数学运算能力，属于难题．‎ ‎ ‎