2018届二轮复习专题25利用正（余）弦定理破解解三角形问题学案（全国通用）

2018届二轮复习专题25利用正（余）弦定理破解解三角形问题学案（全国通用）

专题25 利用正（余）弦定理破解解三角形问题 考纲要求:‎ ‎1.掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.‎ ‎2.会利用三角形的面积公式解决几何计算问题.‎ 基础知识回顾:‎ ‎1.＝＝＝2R，其中R是三角形外接圆的半径．‎ 由正弦定理可以变形：(1) a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C；(2) a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C.‎ ‎2．余弦定理：a2＝b2＋c2－2bccos A，b2＝a2＋c2－2accos B，c2＝a2＋b2－2abcos C．‎ 变形：cos A＝，cos B＝，cos C＝.‎ ‎3.在△ABC中，已知a，b和A解三角形时，解的情况 A为锐角 A为钝角或直角 图形 关系式 a＜bsinA a＝bsinA bsinA＜a＜b a≥b a＞b a≤b 解的 个数 无解 一解 两解 一解 一解 无解 ‎4.三角形常用的面积公式 ‎(1)S＝a·ha(ha表示a边上的高)．(2)S＝absinC＝acsinB＝bcsinA＝.‎ ‎(3)S＝r(a＋b＋c)(r为内切圆半径)．‎ 应用举例:‎ 类型一、利用正（余）弦定理解三角形 ‎【例1】【北京市朝阳区2018届高三上学期期中统一考试】已知中， ， . ‎ ‎（Ⅰ）若，求；‎ ‎（Ⅱ）若的面积为，求的值.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【例2】【2017江苏泰兴中学高三月考】在△ABC中，∠A＝，AB＝6，AC＝3，点D在BC边上，AD＝BD，求AD的长．‎ ‎【答案】.‎ 点评：正、余弦定理的应用原则 ‎(1)解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．‎ ‎(2)三角形解的个数的判断：已知两角和一边，该三角形是确定的，其解是唯一的；已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据三角函数值的有界性和大边对大角定理进行判断．‎ 类型二、利用正（余）弦定理判断三角形形状 ‎【例3】【重庆市第一中学2018届高三上学期期中考试】已知的内角所对的边分别为，满足.‎ ‎（1）若，求角；‎ ‎（2）若，试判断的形状.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 为正三角形.‎ ‎【解析】试题分析：根据三角函数的余弦定理公式得到，结合题干中的 公式可得 ‎（2），‎ 由正弦定理有： ，‎ 而，∴ ，‎ 即，而，‎ ‎∴，∴，∵，∴，‎ 又由（1）知，∵及，∴，从而，‎ 因此为正三角形.‎ 点睛：第一问结合余弦定理，得到角A的三角函数值；第二问，先由正弦定理的到，再化一得到角B，根据第一问A，得到两角相等，可以知道三角形为等边三角形。‎ ‎【例4】【2017河南洛阳统考】在中, 角、、所对的边分别为、、,且成等差数列.‎ ‎（1）求角；（2）若,试判断当取最大值时的形状, 并说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）等边三角形. ‎ ‎【解析】（1）因为成等差数列，所以 由正弦定理得,又因为,所以,‎ 所以, 即,所以,‎ 又因为,所以,所以,而,所以.‎ ‎ (2)由余弦定理得，所以 当且仅当b=c时取等号.即当b=c=2时,bc取得最大值.此时ABC为等边三角形. ‎ 类型三、利用正（余）弦定理解决与三角形面积有关的问题 ‎【例5】【河北省石家庄市普通高中2018届高三10月份月考】设△ABC的内角A，B，C所对的边长分别为a，b，c，且．‎ ‎（1）若A＝30°，求a；‎ ‎（2）求△ABC面积的最大值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ 所以面积的最大值为.‎ ‎【例6】【2017浙江省金华、丽水等十二校高三联考】在中，内角，， 所对的边分别为，，，．‎ ‎（1）证明：； （2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ 点评：三角形面积公式的应用原则 ‎(1)对于面积公式S＝absin C＝acsin B＝bcsin A，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式．‎ ‎(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．‎ 方法、规律归纳:‎ ‎1.三角形中常见的结论 ‎ (1)A＋B＋C＝π. (2)在△ABC中，A＞B⇔a＞b⇔sinA＞sinB⇔cosA＜cosB.‎ ‎(3)任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边．‎ ‎(4)三角形内的诱导公式：sin(A＋B)＝sin C；cos(A＋B)＝－cos C；‎ tan(A＋B)＝－tan C；sin＝cos；cos＝sin.‎ ‎(6)在△ABC中，A，B，C成等差数列的充要条件是B＝60° .‎ ‎(7)△ABC为正三角形的充要条件是A，B，C成等差数列且a，b，c成等比数列．‎ ‎2.判定三角形形状的两种常用途径 ‎ (1)通过正弦定理和余弦定理，化边为角，利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断．‎ (2) 利用正弦定理、余弦定理化角为边，通过代数恒等变换，求出边与边之间的关系进行判断．‎ 实战演练:‎ ‎1．【2017四川省成都市高三摸底】在中，内角的对边分别为，且，，则角的大小为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎ 2．【2017北京市高三入学定位考试】在中，若，，，则（ ）‎ ‎ A． B． C．或-1 D．或0‎ ‎【答案】A ‎【解析】由，，结合余弦定理得，得，由，，。‎ ‎3．【2017河南省天一大联考】在中，角所对的边分别为，若，则为．‎ ‎ A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等边三角形 ‎ 【答案】A ‎【解析】根据正弦定理得,那么,根据,所以,所以,整理为： ,三角形中,所以,那么．‎ ‎4．【2017河南省郑州市高三质检】已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，且(b－c)(sin B＋sin C)＝(a－c)sin A，则角B的大小为(　　)‎ A．30° B．45° C．60° D．120°‎ ‎【答案】A ‎ 5．【江苏省徐州市2018届高三上学期期中考试】已知的内角，，所对的边分别为，，，且．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的面积．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据正弦定理将边角关系转化为角的关系，再根据三角形内角关系化简得，即得角（2）由余弦定理得，配方得，解得，最后根据三角形面积公式求面积 试题解析：（1）因为，‎ 由正弦定理，得． ‎ 因为，‎ 所以．‎ 即，‎ 所以．因为，所以．又因为，‎ 所以．‎ ‎（2）由余弦定理及得，，‎ 即．又因为，‎ 所以，所以．‎ ‎6．【黑龙江省齐齐哈尔地区八校2018届高三期中联考】在中，角所对的边分别为；‎ ‎（1）若成等比数列，，求的值.‎ ‎（2）若，，且，求周长的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎7．【山东省滨州市2018届高三上学期期中考试】在中，内角的对边分别为，且， .‎ ‎（Ⅰ）若，求的值；‎ ‎（Ⅱ）若，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ） .‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）直接在中运用正弦定理即可得出结论；（Ⅱ）由已知及余弦定理可求，进而利用三角形面积公式即可计算得解.‎ 试题解析：（Ⅰ）在中，由正弦定理得，解得，‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）由余弦定理，得，所以，因为，所以，所以的面积为.‎ ‎8．【北京市海淀区2018届高三上学期期中考试】如图，在四边形中， ，且为正三角形.‎ ‎（Ⅰ）求的值；‎ ‎（Ⅱ）若， ，求和的长.‎ ‎【答案】(1) （2）， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ （Ⅱ）设， ，在和中由余弦定理得 ‎ ‎ 代入得 ‎ ‎ 解得或（舍）‎ 即， ‎ ‎9．的内角所对的边分别为，向量.‎ ‎（1）若，求角的大小；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎ 10．已知中，角的所对的边分别是， ，且（为面积).‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的长度.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）由条件及余弦定理的推论可得，由可得，从而，再根据可求得，最后根据求解；（2）由，根据正弦定理得，代入上式得。‎ ‎（2）∵ ‎ ‎∴ ‎ 由得 又由正弦定理得 ‎ ‎ ∴‎ ‎∴ ‎ ‎ ‎