2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编高考题型大突破-2填空题速解方法——六大方法巧解填空题

2017届高考文科数学（全国通用）二轮文档讲义：第3编高考题型大突破-2填空题速解方法——六大方法巧解填空题

第二讲　填空题速解方法 ‎　　　　　　　　——六大方法巧解填空题 题型地位 数学填空题是一种只要求写出结果，不要求写出解答过程的客观性试题，填空题的类型一般可分为完形填空题、多选填空题、条件与结论开放的填空题，这说明了填空题是数学高考命题改革的试验田，创新型的填空题将会不断出现．填空题的分值一般占全卷的10.6%左右．‎ 题型特点 根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分成两种类型：‎ ‎(1)定量型，要求考生填写数值、数集或数量关系，如方程的解、不等式的解集、函数的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等．由于填空题和选择题相比，缺少选项的信息，所以高考题多以定量型问题出现．‎ ‎(2)定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写给定数学对象的某种性质，如填写给定二次曲线的焦点坐标、离心率等，近几年又出现了定性型的具有多重选择性的填空题．‎ 解题策略 数学填空题绝大多数是计算型(尤其是推理计算型)和概念(性质)判断型的试题，解答时必须按规则进行切实的计算或者合乎逻辑的推演和判断，几乎没有间接方法可言，更是无从猜答，所以在解填空题时，一般要有合理的分析和判断，要求推理、运算的每一步都正确无误，并且还要将答案表达准确、完整．合情推理、优化思路、少算多思是快速、准确解答填空题的基本要求，简言之，解填空题的基本原则是“小题不能大做”，基本策略就是“准”“巧”“快”．其基本方法一般有直接求解法、图象法和特殊法以及等价转化法等．另外，在解答填空题时还应注意以下几点：‎ ‎(1)结果要书写规范，如分式的分母不含根式，特殊角的函数要写出函数值，近似计算要达到精确度要求等．‎ ‎(2)结果要完整，如函数的解析式要写出定义域，应用题不要忘记写单位，求轨迹要排除不满足条件的点等．‎ ‎(3)结果要符合教材要求，如求不等式的解集要写成集合或区间的形式，不能只用一个不等式表示. ‎ 总之，解填空题的基本原则是“直扑结果”．‎ 方法一 直接法 对于计算型的试题，多通过直接计算求得结果，这是解决填空题的基本方法．它是直接从题设出发，利用有关性质或结论，通过巧妙地变形，直接得到结果的方法．要善于透过现象抓本质，有意识地采取灵活、简捷的解法解决问题．‎ 　设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点，P是C上一点，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2的最小内角为30°，则C的离心率为________．‎ 答案　 解析　设P点在双曲线右支上，由题意得 故|PF1|＝4a，|PF2|＝2a，‎ 由条件得∠PF1F2＝30°，由＝，‎ 得sin∠PF2F1＝1，‎ ‎∴∠PF2F1＝90°，在Rt△PF2F1中，‎ ‎2c＝＝2a，∴e＝＝.‎ 探究提高　直接法是解决计算型填空题最常用的方法，在计算过程中，我们要根据题目的要求灵活处理，多角度思考问题，注意一些解题规律和解题技巧的灵活应用，将计算过程简化从而得到结果，这是快速准确地求解填空题的关键.‎ 跟踪训练1　[2016·江西南昌调研]等差数列{an}的前n项和为Sn，已知f(x)＝，且f(a2－2)＝sin，f(a2014－2)＝cos，则S2015＝________.‎ 答案　4030‎ 解析　因为f(x)＝，所以f(－x)＝＝，所以f(x)＋f(－x)＝0，即f(－x)＝－f(x)．‎ 因为f(x)＝＝1－，所以f(x)是R上的增函数．‎ 因为f(a2－2)＝sin＝sin＝－sin＝－，f(a2014－2)＝cos＝cos＝cos＝，所以f(a2－2)＝－f(a2014－2)＝f(2－a2014)，‎ 所以a2－2＝2－a2014，所以a2＋a2014＝4.‎ 所以S2015＝＝＝＝4030.‎ 方法二　特例法 当填空题已知条件中含有某些不确定的量，但填空题的结论唯一或题设条件中提供的信息暗示答案是一个定值时，可以从题中变化的不定量中选取符合条件的恰当特殊值(特殊函数、特殊角、特殊数列、特殊位置、特殊点、特殊方程、特殊模型等)进行处理，从而得出探求的结论．为保证答案的正确性，在利用此方法时，一般应多取几个特例．‎ 　[2016·山东高考名校联考]抛物线y2＝2px(p>0)的焦点为F，其准线经过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左顶点，点M是这两条曲线的一个交点，且|MF|＝2p，则双曲线的渐近线方程为________．‎ 答案　y＝±x 解析　由抛物线的定义可知，点M到准线x＝－＝－a的距离就是|MF|＝2p，不妨设点M在第一象限，则点M的横坐标为，代入y2＝2px，得点M，即M(3a,2a)，代入－＝1得＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x.‎ 探究提高　特例法的理论依据：若对所有值都成立，那么对特殊值也成立.我们可以利用填空题不需要过程、只需要结果这一“弱点”，“以偏概全”来求解.‎ 跟踪训练2　如图，在△ABC中，点M是BC的中点，过点M的直线与直线AB、AC分别交于不同的两点P、Q，若＝λ，＝μ，则＋＝________.‎ 答案　2‎ 解析　由题意可知，＋的值与点P、Q的位置无关，而当直线PQ与直线BC 重合时，则有λ＝μ＝1，所以＋＝2.‎ 方法三 图象分析法 对于一些含有几何背景的填空题，若能根据题目中的条件，作出符合题意的图形，并通过对图形的直观分析、判断，即可快速得出正确结果．这类问题的几何意义一般较为明显，如一次函数的斜率和截距、向量的夹角、解析几何中两点间距离等，求解的关键是明确几何含义，准确规范地作出相应的图形．‎ 　　 定义在区间上的函数y＝6cosx的图象与y＝5tanx的图象的交点为P，过点P作PP1⊥x轴于点P1，直线PP1与y＝sinx的图象交于点P2，则线段P1P2的长为________．‎ 答案　 解析　如题图所示，线段P1P2的长即为sinxP1的值，且其中的xP1满足6cosx＝5tanx，解得sinx＝，即线段P1P2的长为.‎ 探究提高　数形结合的重点是“以形助数”，在解题时要注意培养这种思想意识，做到心中有图，见数想图，以开拓自己的思维.使用数形结合法的前提是题目中的条件有明确的几何意义，解题时要准确把握条件、结论与几何图形的对应关系，准确利用几何图形中的相关结论求解.‎ 跟踪训练3　已知函数f(x)＝若f(a)＝f(b)＝f(c)，a，b，c互不相等，则a＋b＋c的取值范围是________．‎ 答案　(2,2015)‎ 解析　如图，作出函数f(x)的图象，易知f(x)＝sinπx 在[0,1]上的图象关于直线x＝对称，且f(0)＝f(1)＝0，f＝sin＝1，所以f(x)在[0,1]上的取值范围为[0,1]．设f(a)＝f(b)＝f(c)＝m，则00时，不等式xf(1)，即>，所以0

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