高中数学选修2-2教学课件第五章 2_2

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高中数学选修2-2教学课件第五章 2_2

第五章 数系的扩充与复数的引入 §2 复数的四则运算 2.2  复数的乘法与除法 明目标 知重点 填 要点 记疑点 探 要点 究所然 内容 索引 01 02 03 当堂测 查疑缺 04 1. 掌握复数代数形式的乘法和除法运算 . 2. 理解复数乘法的交换律、结合律和乘法对加法的分配律 . 3. 理解共轭复数的概念 . 明目标、知重点 填要点 · 记疑点 1. 复数的乘法法则 设 z 1 = a + b i , z 2 = c + d i( a , b , c , d ∈ R ) , 则 z 1 · z 2 = ( a + b i)( c + d i) = . ( ac - bd ) + ( ad + bc )i 2. 复数乘法的运算律 对任意复数 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈ C ,有 交换律 z 1 · z 2 = 结合律 ( z 1 · z 2 )· z 3 = 乘法对加法的分配律 z 1 ( z 2 + z 3 ) = z 2 · z 1 z 1 ·( z 2 · z 3 ) z 1 z 2 + z 1 z 3 3. 共轭复数 如果两个复数 满足 时 ,称这两个复数为共轭复数, z 的共轭复数 用 表示 . 即 z = a + b i , 则 = . 4. 复数的除法法则 设 z 1 = a + b i , z 2 = c + d i( c + d i ≠ 0) , 实部相等,虚部互为相反数 a - b i . 探要点 · 究 所然 情境导学 我们学习过实数的乘法运算及运算律,那么复数的乘法如何进行运算,复数的乘法满足运算律吗? 探究点一 复数乘除法的运算 思考 1  怎样进行复数的乘法? 答  两个复数相乘,类似于两个多项式相乘,只要把已得结果中的 i 2 换成- 1 ,并且把实部与虚部分别合并即可 . 思考 2  复数的乘法与多项式的乘法有何不同? 答  复数的乘法与多项式乘法是类似的,有一点不同即必须在所得结果中把 i 2 换成- 1. 例 1   计算: (1)(1 - 2i)(3 + 4i)( - 2 + i) ; 解  (1 - 2i)(3 + 4i)( - 2 + i) = (11 - 2i)( - 2 + i) =- 20 + 15i ; (2)(3 + 4i)(3 - 4i) ; 解  (3 + 4i)(3 - 4i) = 3 2 - (4i) 2 = 9 - ( - 16) = 25 ; (3)(1 + i) 2 . 解  ( 1 + i) 2 = 1 + 2i + i 2 = 2i. 反思与感悟   复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行,注意选用恰当的乘法公式进行简便运算,例如平方差公式、完全平方公式等 . 跟踪训练 1  计算: (1)(2 + i)(2 - i) ; 解  (2 + i)(2 - i) = 4 - i 2 = 4 - ( - 1) = 5 ; ( 2)(1 + 2i) 2 . 解  (1 + 2i) 2 = 1 + 4i + (2i) 2 = 1 + 4i + 4i 2 =- 3 + 4i. 思考 3  如何理解复数的除法运算法则? 答  复数的除法先写成分式的形式,再把分母实数化 ( 方法是分母与分子同时乘以分母的共轭复数,若分母是纯虚数,则只需同时乘以 i). 方法二  ( 技巧解法 ) 反思与感悟  复数的除法是分子、分母同乘以分母的共轭复数 . 探究点二 共轭复数及其应用 思考 1  像 3 + 4i 和 3 - 4i 这样的两个复数我们称为互为共轭复数,那么如何定义共轭复数呢? 答  一般地,当两个复数的实部相等,虚部互为相反数时,这两个复数叫作互为共轭复数 . 通常记复数 z 的共轭复数 为 . 虚部 不等于 0 的两个共轭复数也叫作共轭虚数 . 思考 2  复数 a + b i 的共轭复数如何表示?这两个复数之积是实数还是虚数? 答  复数 a + b i 的共轭复数可表示为 a - b i ,由于 ( a + b i)·( a - b i) = a 2 + b 2 ,所以两个共轭复数之积为实数 . 思考 3  共轭复数有哪些性质,这些性质有什么作用? 答  (1) 在复平面上,两个共轭复数对应的点关于实轴对称 . (2) 实数的共轭复数是它本身,即 z = ⇔ z ∈ R ,利用这个性质可证明一个复数为实数 . (3) 若 z ≠ 0 且 z + = 0 ,则 z 为纯虚数,利用这个性质,可证明一个复数为纯虚数 . 例 3   已知复数 z 满足 | z | = 1 ,且 (3 + 4i) z 是纯虚数,求 z 的 共轭复数 . 解  设 z = a + b i( a , b ∈ R ) , 即 a 2 + b 2 = 1. ① 因为 (3 + 4i) z = (3 + 4i)( a + b i) = (3 a - 4 b ) + (3 b + 4 a )i , 而 (3 + 4i) z 是纯虚数 , 所以 3 a - 4 b = 0 ,且 3 b + 4 a ≠ 0. ② 反思与感悟  本题使用了复数问题实数化思想,运用待定系数法,化解了问题的难点 . 跟踪训练 3  已知复数 z 满足: z · + 2i z = 8 + 6i ,求复数 z 的实部与虚部的和 . 解  设 z = a + b i( a , b ∈ R ) ,则 z · = a 2 + b 2 , ∴ a 2 + b 2 + 2i( a + b i) = 8 + 6i , 即 a 2 + b 2 - 2 b + 2 a i = 8 + 6i , ∴ a + b = 4 , ∴ 复数 z 的实部与虚部的和是 4. 当堂测 · 查 疑缺 1 2 3 4 1. 设复数 z 满足 i z = 1 ,其中 i 为虚数单位,则 z 等于 (    ) A. - i B.i C . - 1 D.1 A 2. 已知集合 M = {1,2 , z i} , i 为虚数单位, N = {3,4} , M ∩ N = {4} ,则复数 z 等于 (    ) A. - 2i B.2i C . - 4i D.4i 1 2 3 4 C 1 2 3 4 A 4. 复数 z = ( i 为虚数单位 ) 在复平面内对应的点所在象限为 (    ) A. 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 1 2 3 4 D 呈 重点、现 规律 1. 复数代数形式的乘除运算 (1) 复数代数形式的乘法类似于多项式乘以多项式,复数的乘法满足交换律、结合律以及乘法对加法的分配律 . (2) 在进行复数代数形式的除法运算时,通常先将除法写成分式的形式,再把分子、分母都乘以分母的共轭复数,化简后可得,类似于以前学习的分母有理化 . 2. 共轭复数的性质可以用来解决一些复数问题 . 3. 复数问题实数化思想 . 复数问题实数化是解决复数问题的基本思想方法,其桥梁是设复数 z = a + b i( a , b ∈ R ) ,利用复数相等的充要条件转化 . 更多精彩内容请 登录 http ://www.91taoke.com 谢谢观看
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