2017-2018学年广西钦州市高二上学期期末数学理试题（解析版）

2017-2018学年广西钦州市高二上学期期末数学理试题（解析版）

‎2017-2018学年广西钦州市高二上学期期末数学理试题（解析版）‎ 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.（温馨提示：请在答题卡上作答，在本试卷上作答无效.）‎ ‎1. “”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】因为“”成立一定能够推出“”成立，而“”成立，可得或，即“”不一定成立，所以“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎2. 命题“对任意的，”的否定是（ ）‎ A. 不存在， B. 存在，‎ C. 存在， D. 对任意的，‎ ‎【答案】B ‎【解析】命题“ ”是一个全称命题，其否定是一个特称命题，即命题“ ”的否定是“存在”，故选B.‎ ‎3. 某林场有树苗30000棵，其中松树苗4000棵，为调查树苗的成长情况，采用分层抽样的方法抽取一个容量为150的样本，则样本中松树苗的数量为（ ）‎ A. 30 B. 25 C. 20 D. 15‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：抽取比例为 ，抽取数量为20‎ 考点：分层抽样 ‎4. 某钢铁研究所经研究得到结论，废品率和每吨生铁成本（元）之间的回归直线方程为，这表明（ ）‎ A. 废品率每吨增加，生铁成本增加258元 B. 废品率每吨增加，生铁成本增加2元 C. 废品率每吨增加，生铁成本每吨增加2元 D. 废品率不变，生铁成本为256元 ‎【答案】C ‎【解析】回归直线方程表示废品率与每吨生铁成本（元）之间的相关关系，故回归直线方程为时，表明废品率每增加，生铁成本每吨平均增加元，故选C.‎ ‎5. 甲、乙两位同学在高二的5次测试中数学成绩统计如茎叶图所示，则下列叙述正确的是（ ）‎ A. 乙的平均数比甲的平均数大 B. 乙的众数是91‎ C. 甲的中位数与乙的中位数相等 D. 甲比乙成绩稳定 ‎【答案】A ‎【解析】由茎叶图知，甲的平均数是，乙的平均数是，乙的平均数比甲的平均数大，故选A.‎ ‎6. 已知直线，，则直线在轴上的截距大于1的概率为 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意可得，，解得，所以直线在y轴上的纵截距，其大于1的概率为，故选A ‎7. 已知抛物线的焦点为，点是抛物线上一点，满足，则值为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 4 D. 8‎ ‎【答案】C ‎8. 某商场在国庆黄金周的促销活动中，对10月2日9时至14时的销售额进行统计，其频率分布直方图如图所示，已知9时至10时的销售额为2.5万元，则11时至12时的销售额为（ ）‎ A. 12万元 B. 10万元 C. 8万元 D. 6万元 ‎【答案】B ‎【解析】由直方图可以看出时至时的销售额应为时至时的销售额的倍，因为时至时的销售额为万元,故时至时的销售额应为，故选B.‎ ‎9. 执行如图所示的程序框图，若输出的结果为，则判断框中应填入（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】执行完第一次循环后；执行完第二次循环后；执行完第三次循环后；执行完第四次循环后；再返回，由于此时，循环应该结束，故不满足判断条件，判断框中应填入，故选C.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查程序框图的循环结构流程图，属于中档题. 解决程序框图问题时一定注意以下几点：(1) 不要混淆处理框和输入框；(2) 注意区分程序框图是条件分支结构还是循环结构；(3) 注意区分当型循环结构和直到型循环结构；(4) 处理循环结构的问题时一定要正确控制循环次数；(5) 要注意各个框的顺序,（6）在给出程序框图求解输出结果的试题中只要按照程序框图规定的运算方法逐次计算，直到达到输出条件即可.‎ ‎10. 已知点，，是坐标平面内的动点，过动点作直线的垂线，垂足为，若，则动点的轨迹是（ ）‎ A. 抛物线 B. 椭圆 C. 圆 D. 双曲线 ‎【答案】B ‎【解析】设 ，则 ，因为，，所以由，可得 ,所以动点的轨迹是椭圆，故选B.‎ ‎11. 在正方体中，异面直线与所成角的余弦值是（ ）‎ A. 0 B. 1 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】连接，由可得是平行四边形，可得,所以 是异面直线与所成的角，连接，则三角形是正三角形，所以，即异面直线与所成角的余弦值是，故选D.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查异面直线所成的角，属于难题. 求异面直线所成的角主要方法有两种：一是向量法，根据几何体的特殊性质建立空间直角坐标系后，分别求出两直线的方向向量，再利用空间向量夹角的余弦公式求解；二是传统法，利用平行四边形、三角形中位线等方法找出两直线成的角，再利用平面几何性质求解.‎ ‎12. 已知分别为双曲线的左、右焦点，以原点为圆心，半焦距为半径的圆交双曲线右支于两点，且为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接，可得，由焦距的意义可知，由勾股定理可知 ‎，由双曲线的定义可知，即，变形可得双曲线的离心率，‎ 故选A.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查双曲线的定义及离心率，属于难题.离心率的求解在圆锥曲线的考查中是一个重点也是难点，一般求离心率有以下几种情况：①直接求出，从而求出;②构造的齐次式，求出;③采用离心率的定义以及圆锥曲线的定义来求解;④根据圆锥曲线的统一定义求解．本题中，根据双曲线的定义可以建立关于焦半径和焦距的关系．从而找出之间的关系，求出离心率．‎ 第Ⅱ卷 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13. 若向量，，则__________．‎ ‎【答案】-2‎ ‎【解析】因为向量，，所以 故答案为.‎ ‎14. 已知过点的双曲线与双曲线的渐近线相同，则双曲线的方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】因为双曲线与双曲线的渐近线相同，所以可设双曲线的方程是，将点的坐标代入得：所求的双曲线的标准方程，即，故答案为.‎ ‎15. 现有语文、数学、英语书各1本，把它们随机发给甲、乙、丙三个人，且每人都得到1本书，则甲不得到语文书的概率为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】语文、数学、英语书各本，随机发给甲、乙、丙三个人，每人都得到本书，共有 种分法，甲不得到语文书的分法有种 ，根据古典概型概率公式可得，甲不得到语文书的概率为 ，故答案为.‎ ‎16. 已知点为椭圆的左顶点，点为椭圆上任意一点，轴上有一点，则三角形 的面积的最大值是__________．‎ ‎【答案】‎ 三角形的面积的最大值是， 故答案为.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查直线的方程、椭圆的参数方程、点到直线距离公式的应用，以及求最值问题属于难题.求最值问题往往先将所求问题转化为函数问题，然后根据:配方法、换元法、不等式法、三角函数法、图像法、函数单调性法求解，利用三角函数法求最值，要熟练掌握三角函数的恒等变换，特别注意“辅助角公式”的应用.‎ 三、解答题：本大题共6题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知命题关于的方程没有实数根；命题若命题是真命题，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：关于的方程有实数根为真，可得；为真可得，两式联立列不等式组，解不等式组可得实数的取值范围.‎ 试题解析：是真命题，等价于与都为真命题，可得,即，‎ 从而得的取值范围是.‎ ‎18. 已知椭圆的长轴端点和焦点分别是双曲线的焦点和顶点.求双曲线的标准方程和渐近线方程.‎ ‎【答案】双曲线的方程是，渐近线方程是.‎ ‎【解析】试题分析：利用椭圆的标准方程与几何性质性质可得其长轴的端点、焦点，进而得到双曲线的从而可得到双曲线标准方程，利用渐近线的定义可得渐近线方程.‎ 试题解析：依题意，设双曲线的方程是，‎ 因为椭圆的长轴端点和焦点坐标分别是，，‎ 所以双曲线的方程的焦点和顶点坐标分别是，‎ 所以，从而，‎ 所以，双曲线的方程是，渐近线方程是.‎ ‎19. 为了了解某地区某种农产品的年产量（单位：吨）对价格（单位：千元/吨）和利润的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：‎ 参考公式：，.‎ 根据参考公式，以求得 ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）若每吨该农产品的成本为2千元，假设该农产品可全部卖出，预测当年产量为多少时，年利润取到最大值？（保留两位小数）‎ ‎【答案】(1) ;(2) 当时，年利润最大.‎ ‎【解析】试题分析：(1)由表中的数据根据平均值公式分别计算，，即可得到样本中心点的坐标，结合，将样本中心的点坐标代入回归方程，可得，从而可写出线性回归方程；（2）由线性回归方程，可得 ，利用二次函数的性质可得结果.‎ 试题解析：（1）由已知，得，‎ ‎，‎ 由已知，∴.‎ 所以，回归直线方程为.‎ ‎（2）∵ .‎ ‎∴当时，年利润最大.‎ ‎【方法点晴】本题主要考查线性回归方程的求法与应用，属于难题.求回归直线方程的步骤：①依据样本数据画出散点图，确定两个变量具有线性相关关系；②计算的值；③计算回归系数；④写出回归直线方程为； 回归直线过样本点中心是一条重要性质，利用线性回归方程可以估计总体，帮助我们分析两个变量的变化趋势.‎ ‎20. 某海关对同时从三个不同地区进口的某种商品进行随机抽样检测，已知从三个地区抽取的商品件数分别是50,150,100.检测人员再用分层抽样的方法从海关抽样的这些商品中随机抽取6件样品进行检测.‎ ‎（1）求这6件样品中，来自各地区商品的数量；‎ ‎（2）若在这6件样品中随机抽取2件送往另一机构进行进一步检测，求这2件样品来自相同地区的概率.‎ ‎【答案】(1)1,3,2;(2) 这2件样品来自相同地区的概率是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由样本容量与总体中的个体数的比是可得，三个地区抽到的商品数量分别是，，.；（2）根据列举法得到在这件样品中随机抽取件的基本事件总数，以及这件商品来自相同地区的事件个数，代入古典概型概率计算公式，可得结果.‎ 试题解析：（1）因为样本容量与总体中的个体数的比是 所以，三个地区抽到的商品数量分别是 ‎，，.‎ ‎（2）记来自三个地区的6件样品分别为 ‎；；，；‎ 则从6件样品中抽取2件商品构成的所有基本事件为 ‎，，，，，共15个.‎ 记“2件样品来自相同地区”为事件，这些基本事件共有4个，‎ 所以，即这2件样品来自相同地区的概率是.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查古典概型概率公式的应用，属于难题，利用古典概型概率公式求概率时，找准基本事件个数是解题的关键，基本亊件的探求方法有 (1)枚举法：适合给定的基本事件个数较少且易一一列举出的；(2)树状图法：适合于较为复杂的问题中的基本亊件的探求.在找基本事件个数时，一定要按顺序逐个写出：先，…. ，再，…..依次 ….… 这样才能避免多写、漏写现象的发生.‎ ‎21. 已知高为的长方体的上下底面均是边长为1的正方形.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）求异面直线与所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）异面直线与所成角等于。‎ ‎【解析】试题分析：（1）连结，由四边形是正方形可得，，由长方体的性质可得，∴平面，∴；（2）以为坐标原点，、为轴建立空间直角坐标系，分别求出直线与的方向向量，利用空间向量夹角余弦公式可得异面直线与所成角的余弦，从而可得异面直线与所成角的大小.‎ 试题解析：（1）证明：连结，四边形是正方形，∴，‎ ‎∵是长方体的高，∴，∴底面，∴.‎ ‎（2）解：以为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示，‎ 则，，，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 所以异面直线与所成角等于.‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，已知直线，抛物线.‎ ‎（1）若直线过抛物线的焦点，求抛物线的方程；‎ ‎（2）当时，若抛物线上存在关于直线对称的相异两点和，求线段的中点的坐标.‎ ‎【答案】（1）抛物线的方程为；（2）线段的中点的坐标为。‎ ‎【解析】试题分析：（1）由点在直线上，得，即.，从而可求得抛物线方程；（2）当时，曲线.设，，线段的中点，由点和关于直线对称，可得直线的斜率为，设其方程为，由，可得，根据韦达定理可得的坐标.‎ 试题解析：（1）抛物线的焦点为 由点在直线上，‎ 得，即.‎ 所以抛物线的方程为.‎ ‎（2）当时，曲线.‎ 设，，线段的中点 因为点和关于直线对称，所以直线垂直平分线段，‎ 于是直线的斜率为-1，设其方程为，‎ 由，消去得，‎ 由和是抛物线的两相异点，得，‎ 从而，‎ 因此，所以，‎ 又在直线上，所以 所以点，此时满足式，‎ 故线段的中点的坐标为.‎