数学卷·2019届陕西省黄陵中学高新部高二上学期期末考试（2018-01）

数学卷·2019届陕西省黄陵中学高新部高二上学期期末考试（2018-01）

高新部高二期末考试数学试题 一.选择题（60分）‎ ‎1、梁才学校高中生共有2400人，其中高一年级800人，高二年级900人，高三年级700人，现采用分层抽样抽取一个容量为48的样本，那么高一、高二、高三各年级抽取人数分别为（　　）‎ A. 16，20，12 B. 15，21，12‎ C. 15，19，14 D. 16，18，14‎ ‎2、有五组变量：‎ ‎①汽车的重量和汽车每消耗1升汽油所行驶的平均路程；‎ ‎②平均日学习时间和平均学习成绩； ‎ ‎③某人每日吸烟量和其身体健康情况；‎ ‎④正方形的边长和面积； ‎ ‎⑤汽车的重量和百公里耗油量；‎ 其中两个变量成正相关的是 （ ）‎ A．①③ B．②④ C．②⑤ D．④⑤‎ ‎3、已知是等比数列的前三项，则该数列第四项的值是（ ）‎ A. -27 B. 12 C. D. ‎ ‎4、函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该等比数列公比的是（ ）‎ A. B. C. D.‎ ‎5、某学校有教师160人,其中有高级职称的32人,中级职称的56人,初级职称的72人.现抽取一个容量为20的样本,用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数应为 A. 4 B. 6 C. 7 D. 9‎ ‎6、下面的等高条形图可以说明的问题是( )‎ A. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响是绝对不同的 B. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响没有什么不同 C. 此等高条形图看不出两种手术有什么不同的地方 D. “心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握 ‎7、根据二分法原理求方程的近似根的框图可称为（ ）‎ A. 工序流程图 B. 知识结构图 C. 程序框图 D. 组织结构图 ‎8、对于函数，在使成立的所有常数中，我们把的最大值叫做的下确界，则对于，且不全为0， 的下确界是（ ）‎ A. B. 2 C. D. 4‎ ‎9、当时，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10、某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图. 图中A点表示十月的平均最高气温约为，B点表示四月的平均最低气温约为. 下面叙述不正确的是 （ ）‎ A. 各月的平均最低气温都在以上 B. 七月的平均温差比一月的平均温差大 C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同 D. 平均最高气温高于的月份有5个 ‎11、对具有线性相关关系的变量有一组观测数据（ i ‎=1，2，…，8），其回归直线方程是且，，则实数是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎12、在1与100之间插入个正数，使这个数成等比数列，则插入的个数的积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题（20分）‎ ‎13、观察下列数表：1‎ ‎ 3 5‎ ‎ 7 9 11 13‎ ‎ 15 17 19 21 23 25 27 29‎ ‎ 设2017是该表第行的第个数，则的值为______________‎ ‎14、用秦九韶算法求多项式 在时的值时， 的值 为__________．‎ ‎15、某校高中生共有900人，其中高一年级300人，高二年级200人，高三年级400人，现采用分层抽样法抽取一个容量为45的样本，那么从高一、高二、高三各年级抽取人数分别为 .‎ ‎16、在等差数列{an}中,若a3+a4+a5+a6+a7=25,则a2+a8=______.‎ 三、解答题（70分，17题10分，其余12分）‎ ‎17、设函数，．‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎18、某地随着经济的发展，居民收入逐年增长，下表是该地一建设银行连续五年的储蓄存款（年底余额），如下表1：‎ 年份x ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ ‎2015‎ 储蓄存款y（千亿元）‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ 为了研究计算的方便，工作人员将上表的数据进行了处理，得到下表2：‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ z ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎（Ⅰ）求z关于t的线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）用所求回归方程预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达多少？‎ ‎（附：对于线性回归方程，其中）‎ ‎19、在等差数列{an}中，a3＋a4＝15，a2a5＝54，公差d<0.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式an；‎ ‎(2)求数列的前n项和Sn的最大值及相应的n值．‎ ‎20、设关于的一元二次方程．‎ ‎（1）若是从0，1,2,3四个数中任取的一个数，是从0,1,2三个数中任取的一个数，求上述方程有实根的概率；‎ ‎（2）若时从区间上任取的一个数，是从区间上任取的一个数，求上述方程有实根的概率．‎ ‎21、袋子中放有大小和形状相同的小球若干，其中标号为0的小球1个，标号为1的小球1个，标号为2的小球2个.从袋子中不放回地随机抽取小球两个，每次抽取一个球，记第一次取出的小球标号为，第二次取出的小球标号为.‎ ‎（1）记事件表示“”，求事件的概率；‎ ‎（2）在区间内任取两个实数，，求“事件恒成立”的概率.‎ ‎22、已知等差数列的前项和为，其中．‎ ‎（1）求数列的通项；‎ ‎（2）求数列的前项和为．‎ 参考答案 一、单项选择 ‎1、【答案】D ‎【解析】每个个体被抽到的概率等于 ，所以高一、高二、高三各年级抽取人数为 故选D ‎2、【答案】C ‎【解析】①随着重量的增加，行驶里程数在减少，因此是负相关；②学习时间增长，学习成绩为提高，是正相关；③吸烟量增加，身体健康情况下降，因此是负相关；④正方形边长和面积是函数关系；⑤汽车重量增加，百公里耗油量增加，因此是正相关 考点：正相关与负相关 ‎3、【答案】D ‎【解析】成等比数列， ， 或，又时， ，故舍去， 该数列第四项为，故选D.‎ ‎4、【答案】D ‎【解析】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.‎ 考点：等比数列的定义.‎ ‎5、【答案】C ‎【解析】∵中级职称的56人，‎ ‎∴抽取一个容量为20的样本，用分层抽样法抽取的中级职称的教师人数为 解得n=7，即中级职称的教师人数应为7人，‎ 故选：C ‎6、【答案】D ‎【解析】由图可知，“心脏搭桥”手术和“血管清障”手术对“诱发心脏病”的影响在某种程度上是不同的，但是没有100%的把握，‎ 故选D．‎ ‎7、【答案】C ‎【解析】由框图的分类可知：‎ 根据二分法原理求方程的近似根的框图可称为程序框图.‎ 本题选择C选项.‎ ‎8、【答案】A ‎【解析】∵a2+b2≥2ab， ∴对于正数a，b， ∴函数的下确界是 故选A 点睛：本题考查函数的值域和基本不等式的应用，解题的关键是求出函数的值域，本题是一个新定义问题，注意理解所给的新定义．‎ ‎9、【答案】D ‎【解析】由时， 恒成立得对任意恒成立，即当时， 取得最大值， 的取值范围是，故选D.‎ ‎【易错点晴】本题主要考查利用基本不等式求最值以及不等式恒成立问题，属于中档题. ‎ 利用基本不等式求最值时，一定要正确理解和掌握“一正，二定，三相等”的内涵：一正是，首先要判断参数是否为正；二定是，其次要看和或积是否为定值（和定积最大，积定和最小）；三相等是，最后一定要验证等号能否成立（主要注意两点，一是相等时参数否在定义域内，二是多次用或时等号能否同时成立）.‎ ‎10、【答案】D ‎【解析】A．由雷达图知各月的平均最低气温都在0℃以上，正确 B．七月的平均温差大约在10°左右，一月的平均温差在5°左右，故七月的平均温差比一月的平均温差大，正确 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同，都为10°，正确 D．平均最高气温高于20℃的月份有7，8两个月，故D错误，‎ 故选：D ‎11、【答案】A ‎【解析】∵，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴这组数据的样本中心点是，‎ 把样本中心点代入回归直线方程得：，‎ 解得，故选A.‎ ‎12、【答案】D ‎【解析】由题意，在1和100之间插入n个正数，使得这n+2个数构成等比数列，将插入的n个正数之积记作Tn，由等比数列的性质，序号的和相等，则项的乘积也相等知 故选D 二、填空题 ‎13、【答案】508‎ ‎【解析】根据数表可知该数表的通项公式，由得.‎ 所以2027是第1014个奇数，‎ 根据上面数表的数的排列规律，1、3、5、7、9都是连续奇数，‎ 第一行1个数，‎ 第二行个数,且第1个数是1‎ 第三行个数,且第1个数是 第四行个数,且第1个数是 ‎ ‎ 前行共有个奇数.‎ 当时，，所以2027位于第10行，‎ 第10行第1个数是.‎ ‎，‎ 所以 所以；‎ 故答案为：.‎ ‎14、【答案】‎ ‎【解析】根据秦九韶算法可将多项式变形为 ，当时， ， ，故答案为.‎ ‎15、【答案】15,10,20‎ ‎【解析】根据题意得，用分层抽样在各层中的抽样比为，‎ 则在高一年级抽取的人数是300×=15人，高二年级抽取的人数是200×=10人，‎ 高三年级抽取的人数是400×=20人 考点：分层抽样方法 ‎16、【答案】10‎ ‎【解析】据等差数列的性质可知，项数之和相等的两项之和相等，化简已知的等式即可求出a5的值，然后把所求的式子也利用等差数列的性质化简后，将a5的值代入即可求出值．‎ 解：由a3+a4+a5+a6+a7=（a3+a7）+（a4+a6）+a5=5a5=450，‎ 得到a5=90，‎ 则a2+a8=2a5=180.‎ 故答案为：180.‎ 三、解答题 ‎17、【答案】(Ⅰ)或．(Ⅱ)或．‎ 试题分析：（1）取得绝对值，得到三个不等式组，即可求解不等式的解集；(2)由绝对值的三角不等式，即可求解，由题意得，即可求解的取值范围．‎ 试题解析：（1）等价于或或 解得或．‎ 故不等式的解集为或．‎ ‎（2）因为（当时等号成立），‎ 所以，‎ 由题意得，解得或．‎ 考点：绝对值不等式的求解及应用．‎ ‎【解析】‎ ‎18、【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 试题分析：（Ⅰ）由表中的数据分别计算x，y的平均数，利用回归直线必过样本中心点即可写出线性回归方程；‎ ‎（Ⅱ）t=x﹣2010，z=y﹣5，代入z=1.2t﹣1.4得到：y﹣5=1.2（x﹣2010）﹣1.4，即y=1.2x﹣2408.4，计算x=2020时，的值即可．‎ 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）‎ ‎，‎ ‎（Ⅱ），代入得到：‎ ‎，即 ‎，‎ 预测到2020年年底，该地储蓄存款额可达15.6千亿元 ‎19、【答案】(1)an＝11－n.(2)当n＝10或11时，Sn取最大值，其最大值为55.‎ 试题分析：（1）根据等差数列的通项公式由a3+a4=15，a2a5=54得一方程组，解这个方程组得公差和首项，从而得数列{an}的通项公式an.‎ ‎（2）等差数列的前n项和Sn是关于n的二次式，将这个二次式配方即可得最大值.‎ 试题解析：（1）为等差数列，‎ 解得（因d<0，舍去）‎ ‎6分 ‎（2），‎ ‎9分 又，对称轴为，故当或11时，‎ 取得最大值，最大值为5512分 ‎20、【答案】（1）；（2）.‎ 试题分析：由二次方程有实数根可得满足的条件，（Ⅰ）中由可以取得值得到所有基本事件个数及满足条件的基本事件个数，求其比值可求概率；（Ⅱ）中由范围得到对应的区域，并求得满足的区域，求其面积比可求其概率 试题解析：设事件为“方程有实数根”．‎ 当时，因为方程有实数根，‎ 则 ‎（Ⅰ）基本事件共12个，如下：（0，0），（0，1），（0，2），（1，0），（1，1），（1，2），（2，0），（2，1），（2，2），（3，0），（3，1），（3，2）其中第一个数表示的取值，第二个数表示的取值，事件包含9个基本事件，事件发生的概率为 ‎（Ⅱ）实验的全部结果所构成的区域为，‎ 构成事件的区域为 所以所求的概率为：‎ 考点：古典概率和几何概率 ‎【解析】‎ ‎21、【答案】(1)；（2）.‎ 试题分析：（1）从袋子中不放回地随机抽取2个球，共有基本事件12个，其中“a+b=2”为事件A的基本事件有4个，故可求概率．（2）记“x2+y2＞（a﹣b）2恒成立”为事件B，则事件B等价于“x2+y2＞4恒成立，（x，y）可以看成平面中的点，确定全部结果所构成的区域，事件B构成的区域，利用几何概型可求得结论．‎ ‎（1）两次不放回抽取小球的所有基本事件为，，，，，，，，，，，，共12个，事件包含的基本事件为，，，，共4个.‎ 所以.‎ ‎（2）记“恒成立”为事件，‎ 则事件等价于“”.‎ 可以看成平面中的点，‎ 则全部结果所构成的区域，‎ 而事件所构成的区域，‎ ‎.‎ ‎22、【答案】（1）；（2）（或）．‎ 试题分析：（1）由条件可得数列中，故可求得通项；（2）分两种情况去掉数列中的绝对值，然后转化为数列的求和问题处理。‎ 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差为，由题意得 ‎，‎ 解得 所以；‎ ‎（2）由（1）得，‎ ‎①当时，，‎ 此时，‎ ‎②当时，，‎ 此时，‎ ‎，‎ 综上：（或）．‎