福建省三明市永安三中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

福建省三明市永安三中2019-2020学年高一上学期10月月考数学试题

2019-2020 学年永安三中高一月考试卷 高一数学 一、选择题（本大题共 12 小题，共 36.0 分） 1.设集合  0,2,4,6,8,10A  ，  4,8B  ，则 A B  （ ） A.  4,8 B.  0,2,6 C.  0,2,6,10 D.  0,2,4,6,8,10 【答案】D 【解析】 【分析】 根据并集的定义求解即可． 【详解】集合  0,2,4,6,8,10A  ，  4,8B  ，   0,2,4,6,8,10A B  ． 故选：D. 【点睛】本题考查集合的基本运算，主要考查了并集的运算，属于基础题． 2.下列表示① 0   ，②   2 2,4,6 ，③   22 | 3 2 0x x x    ，④  0 0 中，错 误的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ②④ D. ②③ 【答案】B 【解析】 【分析】 根据集合的表示方法、元素与集合之间的关系以及集合与集合之间的关系进行判断即可． 【详解】① 0 表示含有元素 0 的集合，不是空集，错误； ②   2 2,4,6 ，正确； ③ 2 表示集合，集合之间的关系是“含于”和“不含于”的关系，错误； ④  0 0 ，正确． 所以①和③错误. 故选：B． 【点睛】本题主要考查集合的表示、元素与集合之间的关系以及集合与集合之间的关系判断， 属于基础题． 3.已知实数集 R ，集合 { |1 3}A x x   ，集合 1| 2 B x y x      ，则  RA C B  （ ） A. { |1 2}x x  B. { |1 3}x x  C. { | 2 3}x x  D. { |1 2}x x  【答案】A 【解析】 【分析】 由题意和函数的定义域求出集合 B，由补集的运算求出∁ RB，由交集的运算求出 A∩（∁ RB）． 【详解】由 x﹣2＞0 得 x＞2，则集合 B＝{x|x＞2}， 所以∁ RB＝{x|x≤2}， 又集合 A＝{x|1＜x＜3}， 则 A∩（∁ RB）＝{x|1＜x≤2}， 故选 A． 【点睛】本题考查交、并、补集的混合运算，以及函数的定义域，属于基础题． 4.已知集合  2| 5 6 0A x ax x    ，若 2 A ，则集合 A 的子集个数为（ ） A. 4 B. 3 C. 2 D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】 把 2x  代入方程 2 5 6 0ax x   中，求得 a 的值，然后求得集合 A ，则其子集的个数是 2n 个． 【详解】依题意得： 4 10 6 0a    ， 解得 1a  ， 则 2 5 6 0x x   ， 解得 1 2x  ， 2 3x  ， 所以  2,3A  ， 所以集合 A 的子集个数为 22 4 ． 故选：A． 【点睛】本题考查集合的子集个数的求法，属于基础题．解题时要认真审题，仔细解答． 5.已知集合  1,2,3 ,A  2{ | 9}B x x  ，则 A B  A. { 2, 1,0,1,2,3}  B. { 2, 1,0,1,2}  C. {1,2,3} D. {1,2} 【答案】D 【解析】 试题分析：由 2 9x  得 3 3x   ，所以 { | 3 3}B x x    ，因为  1,2,3A  ，所以  1,2A B  ，故选 D. 【考点】 一元二次不等式的解法，集合的运算 【名师点睛】对于集合的交、并、补运算问题，应先把集合化简再计算，常常借助数轴或韦 恩图处理. 6.已知函数 2 1( 0)( ) 2 ( 0) x xf x x x      ，若 f（a）=10，则 a 的值是（ ） A. -3 或 5 B. 3 或-3 C. -3 D. 3 或-3 或 5 【答案】A 【解析】 【分析】 根据分段函数的解析式，分两种情况讨论分别求得 5a  或 3a   . 【详解】若 0a  ,则   2 1 10, 3( 3f a a a a       舍去）, 若 0a  ，则   2 10, 5f a a a    , 综上可得， 5a  或 3a   ,故选 A . 【点睛】本题主要考查分段函数的解析式、分段函数求自变量，属于中档题.对于分段函数解 析式的考查是命题的动向之一，这类问题的特点是综合性强，对抽象思维能力要求高，因此 解决这类题一定要层次清楚，思路清晰. 7.下列函数是偶函数的是（ ） A.   1 1f x x   B.   2 3f x x x  C.  f x x  D.   2 1f x x  【答案】C 【解析】 【分析】 由函数的奇偶性的定义直接对四个选项进行判断即可． 【详解】A：函数   1 1f x x   的定义域为 | 1x x   ，是非奇非偶函数； B：函数   2 3f x x x  的定义域为 R ，但 ( ) ( )f x f x   ，是非奇非偶函数； C：函数  f x x  的定义域为 R ，满足 ( ) ( )f x f x  ，是偶函数； D：函数   2 1f x x  的定义域为 R ，但 ( ) ( )f x f x   ，是非奇非偶函数． 故选：C. 【点睛】本题考查根据定义判断函数的奇偶性，属于基础题． 8.下面四组函数中，  f x 与  g x 表示同一个函数的是（ ） A.   ,f x x    2 g x x B.   2 ,f x x   22xg x x  C.   ,f x x   3 3g x x D.   ,f x x   2 1g x x  【答案】C 【解析】 A.不是同一函数,定义域不同,   f x 定义域为 R,   g x 定义域为[0, ) ; B.不是同一函数,定义域不同,   f x 定义域为 R,   g x 定义域为 / 0x x  ; C.是同一函数,   3 3g x x =x=f(x) . D. 不是同一函数,定义域不同,   f x 定义域为 R,   g x 定义域为 / 0x x  . 故选 C. 9.设集合  | 1 2M x x    ，  | 0N x x k   ，若 M N  ，则 k 的取值范围是（ ） A. 2k  B. 1k   C. 1k   D. 1 2k   【答案】C 【解析】 【分析】 先求解一元一次不等式化简集合 N ，然后根据 M N  ，结合两个不等式得出 k 的取值范 围即可. 【详解】集合 { | 1 2}M x x    ， { | 0} { | }N x x k x x k     ， 又因为 M N  ， 所以 1k   ． 故选：C． 【点睛】本题考查了已知交集结果求参数取值范围的问题，属于常考题． 10.下列四个函数中，在 0,  上为增函数的是（ ） A. ( ) 3f x x  B. 2( ) 3f x x x  C. 1( )f x x   D. ( )f x x  【答案】C 【解析】 【分析】 对选项逐一分析函数在  0,  上的单调性，由此选出正确选项. 【详解】对于 A 选项，  f x 在 0,  上递减，不符合题意. 对于 B 选项，  f x 在 30, 2      上递减，在 3 ,2     上递增，不符合题意. 对于 C 选项，  f x 在 0,  上为增函数符合题意. 对于 D 选项，  f x 在 0,  上递减，不符合题意. 故选：C. 【点睛】本小题主要考查函数的单调性，属于基础题. 11.若偶函数  f x 在 ,0 上是增函数，则下列关系式中成立的是( ) A.    3 1 22f f f       B.    31 22f f f       C.     32 1 2f f f        D.    32 12f f f       【答案】D 【解析】 【分析】 先根据函数  f x 是偶函数，得    2 2f f  ，再由  f x 在  ,0 上是增函数即可比较 3 2f     、  1f  、  2f 大小. 【详解】因为函数  f x 是偶函数，所以    2 2f f  ，又因为函数  f x 在  ,0 上是 增函数，且 32 1 02       ，所以    3 122f f f        ，即    32 12f f f       . 故选：D. 【点睛】本题主要考查利用函数的奇偶性、单调性比较函数值的大小问题，属基础题. 12.已知函数   24 1f x x kx   在区间 1,2 上是单调函数,则实数 k 的取值范围是     （ ） A. ( , 16] [ 8, )     B. [ 16, 8]  C. ( , 8] [ 4, )     ​ D. [ 8, 4]  ​ ​ 【答案】A 【解析】 【分析】 根据二次函数的单调性，先求出  f x 的对称轴，即可得到  f x 的单调区间。要使  f x 在 区间 1,2 上是单调函数，即 1,2 分别是  f x 两个单调区间的子集，再根据子集成立的条件 求出 k 的取值范围。 【详解】二次函数   24 1f x x kx   的对称轴为 2 4 8 k kx     ，开口朝上，    24 1f x x kx   在 , 8 k     上单调递减，在 ,8 k    上单调递增。 要使  f x 在区间 1,2 上是单调函数： 若单调递减，则 1,2  , 8 k     2 168 k k      ； 若单调递增，则 1,2  ,8 k    1 88 k k      。 即实数 k 的取值范围是 ( , 16] [ 8, )     。 故选：A。 【点睛】本题考查了已知单调性求参数的取值范围，遇到含参函数可以先把含有参数的单调 区间表示出来，再去判断单调区间与已知或所求区间之间的关系即可。本题属于中等题。 二、填空题（本大题共 4 小题，共 12.0 分） 13.已知函数 2 2 9y x x   ，  1,2x  的值域为______． 【答案】 8,12 【解析】 【分析】 根据二次函数单调性和值域的关系直接求解. 【详解】  22 2 9 1 8y x x x      ， 函数的对称轴为 1x  ，   1,2x  ， 当 1x  时，函数取得最小值为 8y  ， 当 1x   时，函数取得最大值为 12y  ， 故函数的值域为 8,12 ． 故答案为： 8,12 ． 【点睛】本题主要考查函数值域的求解，根据二次函数单调性和值域的关系是解决本题的关 键，属于基础题． 14.已知函数 f（x）=x2+mx+1 是偶函数，则 m=_____． 【答案】0 【解析】 【分析】 根据偶函数的定义    f x f x  ，列方程，求解参数 m． 【详解】根据题意，函数 f（x）=x2+mx+1 是偶函数， 则 f（﹣x）=f（x）， 即（x2+mx+1）=（x2﹣mx+1）， 变形可得：2mx=0， 分析可得 m=0， 【点睛】已知函数的奇偶性求参数，根据奇偶性的定义求解 15.已知   23 2 3 1f x x x    ，则  1f   ______. 【答案】 3 【解析】 【分析】 令 2x  ，代入   23 2 3 1f x x x    中即得结果. 【详解】令 2x  ，得： 2( 1) (2 3) 2 2 3 2 1 3f f         . 故答案为：3 . 【点睛】本题考查函数求值的问题，合理赋值是解题的关键，属于基础题. 16.函数     2 1( 2) 1 2 ax x xf x x x        是 R 上的单调递减函数，则实数 a 的取值范围是______ . 【答案】 1, 2      【解析】 【分析】 根据函数单调性定义，即可求得实数 a 的取值范围． 【详解】因为函数     2 1( 2) 1 2 ax x xf x x x        是 R 上的单调递减函数 所以满足 0 1 22 4 2 1 2 1 a a a           解不等式组可得 1 2a   即 1, 2a       所以选 A 【点睛】本题考查了分段函数单调性的应用，根据函数单调性求参数的取值范围，属于中档 题． 三、解答题（本大题共 6 小题，共 52.0 分） 17.已知集合  1,2,3,4,5,6,7,8,9U  ，  3 7A x x x U   且 ，  3 ,B x x n n Z x U   且 . （1）写出集合 B 的所有子集； （2）求 A B ， UA BUð . 【答案】（1）， 3 ， 6 ， 9 ， 3,6 ， 3,9 ， 6,9 ， 3,6,9 ； （2）  3,6A B I ，  1,2,3,4,5,6,7,8UA B Uð . 【解析】 【分析】 （1）根据题意写出集合 B ，然后根据子集的定义写出集合 B 的子集； （2）求出集合 A ，利用交集的定义求出集合 A B ，利用补集和并集的定义求出集合 UA BUð . 【详解】（1）  3 ,B x x n n Z x U    且 ，∴  3,6,9B  ， 因此， B 的子集有：， 3 ， 6 ， 9 ， 3,6 ， 3,9 ， 6,9 ， 3,6,9 ； （2）由（1）知  3,6,9B  ，则  1,2,4,5,7,8U B ð ，    3 7 3,4,5,6,7A x x x U     且 ， 因此，  3,6A B I ，  1,2,3,4,5,6,7,8UA B Uð . 【点睛】本题考查有限集合的子集，以及补集、交集和并集的运算，考查计算能力，属于基 础题. 18.已知函数 8( ) 32f x xx    . （1）求函数 ( )f x 的定义域； （2）求 ( 2)f  及 (6)f 的值． 【答案】（1） ( )f x 的定义域为[ 3,2) (2, )   ；（2） ( 2) 1f    ； (6) 5f  【解析】 试题分析：（1）由 2 0x   ，且 3 0x   即可得定义域； （2）将 2x   和 6 代入解析式即可得值. 试题解析： （1）解：依题意， 2 0x   ，且 3 0x   ， 故 3x   ，且 2x  ，即函数  f x 的定义域为   3,2 2,   . （2）   82 2 3 12 2f         ，   86 6 3 56 2f     . 19.已知集合  | 1A x x   或 5x  ，  2 2B x a x a    . （1）若 1a   ，求 A B 和 A B ； （2）若 A B B ，求实数 a 的取值范围. 【答案】（1） 2 1x x    ， | 1x x  或 5x  ；（2）   , 3 2,    . 【解析】 【分析】 （1）先求出集合 B，再求 A B 和 A B 得解；（2）由题得 B A ，再对集合 B 分两种情况 讨论得解. 【详解】（1）若 1a   ，则  2 1B x x    ，  2 1A B x x       ，  | 1A B x x   或 5x  . （2） A B B  ， B A  . ①若 B   ，则 2 2a a  ， 2a  ； ②若 B   ，则 2, 2 1 a a     „ „ 或 2, 2 5, a a    „ 3a   . 综上，实数 a 的取值范围为   , 3 2,    . 【点睛】本题主要考查集合的交集、补集运算，考查根据集合的关系求参数的范围，意在考 查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力. 20.已知函数         2 2 1 1 1 2 1 x x f x x x x x            ． （1）求 5 2f f        的值； （2）画出函数的图象，并根据图象写出函数的值域和单调区间. 【答案】(1) 1 4 ；(2) 图见解析，值域是 ,1 ，单调增区间 , 1  和 0,1 ，减区间 1,0 和 1, ． 【解析】 【分析】 （1）先求出 5 1( )2 2f   ，再求出 1 1( )2 4f   即可． （2）作出分段函数的图象，观察函数图象写出单调区间和值域． 【详解】（1） 5 1 1 2 2 4f f f               ． （2）函数图象如下： 由图象可知，函数的值域是  ,1 ， 单调增区间 , 1  和 0,1 ， 减区间 1,0 和 1, ． 【点睛】本题考查分段函数图象的作法，考查函数求值、单调性和值域，考查数形结合思想， 属于常考题. 21.已知函数   31 2f x x    ，  3,5x . （1）判断函数的单调性，并利用定义证明； （2）求函数  f x 的最大值和最小值． 【答案】(1)  f x 在 3,5 上单调递增，证明见解析； (2) 最大值为 4 7 ，最小值为 2 5 . 【解析】 【分析】 （1）根据函数单调性的定义证明函数的单调性，注意取值、作差、变形和定符号和下结论； （2）运用函数的单调性，从而求出函数的最值． 【详解】（1）证明：令 1 23 5x x   ， 则    1 2 1 2 3 31 12 2f x f x x x             2 1 1 2 1 2 1 13 32 2 2 2 x x x x x x              ， ∵ 1 23 5x x   ，∴ 2 1 0x x  ，  1 22 2 0x x   ， ∴ 1 2( ) ) 0(f x f x  ，即 1 2( ) ( )f x f x ， 故  f x 在 3,5 上单调递增； （2）由（1）知  f x 在 3,5 上单调递增，可得： 当 3x  时，  f x 取得最小值 3 21 5 5   ； 当 5x  时，  f x 取得最大值 3 41 7 7   . 【点睛】本题考查了函数的单调性的定义，考查函数的值域的求法，属于基础题． 22.已知函数  f x 是定义域为 R 的奇函数，当 0x  时，   2 2f x x x  . （1）求出函数  f x 在 R 上的解析式； （2）判断方程  f x m 解的情况，及对应的 m 的取值范围． 【答案】(1)   2 2 2 , 0 0, 0 2 , 0 x x x f x x x x x         ；(2)见解析. 【解析】 【分析】 （1）利用函数的奇偶性求出函数的解析式即可． （2）方程  f x m 解的个数等价于 ( )y f x 与 y m 图象交点的个数，画出图象观察，求 得实数 m 的取值范围． 【详解】（1）由于函数  f x 是定义域为 R 的奇函数，则  0 0f  ； 当 0x  时， 0x  ，因为  f x 是奇函数，所以    f x f x   ， 所以        2 2f x f x x x          2 2x x   ． 综上：   2 2 2 , 0 0, 0 2 , 0 x x x f x x x x x         ； （2）方程  f x m 解的个数等价于 ( )y f x 与 y m 图象交点的个数，在同一坐标系中画 出 ( )y f x （实线部分）与 y m （虚线部分）的图象，如图所示： 由图象可知： 当 1m > 或 1m   时，方程有一个解； 当 1m   时，方程有两个解； 当 1 1m   时，方程有三个解. 【点睛】本题主要考查利用函数奇偶性求解析式以及函数零点问题的应用，利用数形结合是 解决此类问题的基本方法，属于常考题.