2018届高三数学一轮复习： 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质

2018届高三数学一轮复习： 第7章 第4节 直线、平面平行的判定及其性质

第四节　直线、平面平行的判定及其性质 ‎ [考纲传真]　1.以立体几何的定义、公理和定理为出发点，认识和理解空间中线面平行的有关性质与判定定理.2.能运用公理、定理和已获得的结论证明一些有关空间图形的平行关系的简单命题．‎ ‎1．直线与平面平行的判定与性质 ‎2.面面平行的判定与性质 ‎3.与垂直相关的平行的判定 ‎(1)a⊥α，b⊥α⇒a∥b.‎ ‎(2)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)若一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行．(　　)‎ ‎(2)若直线a∥平面α，P∈α，则过点P且平行于直线a的直线有无数条．(　　)‎ ‎(3)若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行．(　　)‎ ‎(4)若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面平行．(　　)‎ ‎[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√‎ ‎2．(教材改编)下列命题中，正确的是(　　)‎ A．若a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的任何平面 B．若直线a和平面α满足a∥α，那么a与α内的任何直线平行 C．若直线a，b和平面α满足a∥α，b∥α，那么a∥b D．若直线a，b和平面α满足a∥b，a∥α，b⊄α，则b∥α D　[根据线面平行的判定与性质定理知，选D.]‎ ‎3．(2015·北京高考)设α，β是两个不同的平面，m是直线且m⊂α，“m∥β ”是“α∥β ”的(　　)‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 B　[当m∥β时，过m的平面α与β可能平行也可能相交，因而m∥β⇒/α∥β；当α∥β时，α内任一直线与β平行，因为m⊂α，所以m∥β.综上知，“m∥β ”是“α∥β ”的必要而不充分条件．]‎ ‎4．在正方体ABCDA1B‎1C1D1中，E是DD1的中点，则BD1与平面ACE的位置关系是________．‎ ‎ 【导学号：01772254】‎ 平行　[如图所示，连接BD交AC于F，连接EF，则EF是△BDD1的中位线，‎ ‎∴EF∥BD1，‎ 又EF⊂平面ACE，‎ BD1⊄平面ACE，‎ ‎∴BD1∥平面ACE.]‎ ‎5．(2017·河北石家庄质检)设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：‎ ‎①若m⊂α，n∥α，则m∥n；‎ ‎②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；‎ ‎③若α∩β＝n，m∥n，m∥α，则m∥β；‎ ‎④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β.‎ 其中是真命题的是________(填上序号)．‎ ‎②　[①，m∥n或m，n异面，故①错误；易知②正确；③，m∥β或m⊂β ‎，故③错误；④，α∥β或α与β相交，故④错误．]‎ 与线、面平行相关命题真假的判断 ‎　(2015·安徽高考)已知m，n是两条不同直线，α，β是两个不同平面，则下列命题正确的是(　　)‎ A．若α，β垂直于同一平面，则α与β平行 B．若m，n平行于同一平面，则m与n平行 C．若α，β不平行，则在α内不存在与β平行的直线 D．若m，n不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D　[A项，α，β可能相交，故错误；‎ B项，直线m，n的位置关系不确定，可能相交、平行或异面，故错误；‎ C项，若m⊂α，α∩β＝n，m∥n，则m∥β，故错误；‎ D项，假设m，n垂直于同一平面，则必有m∥n，所以原命题正确，故D项正确．]‎ ‎[规律方法]　1.判断与平行关系相关命题的真假，必须熟悉线、面平行关系的各个定义、定理，无论是单项选择还是含选择项的填空题，都可以从中先选出最熟悉最容易判断的选项先确定或排除，再逐步判断其余选项．‎ ‎2．(1)结合题意构造或绘制图形，结合图形作出判断．‎ ‎(2)特别注意定理所要求的条件是否完备，图形是否有特殊情形，通过举反例否定结论或用反证法推断命题是否正确．‎ ‎[变式训练1]　(2017·唐山模拟)若m，n表示不同的直线，α，β表示不同的平面，则下列结论中正确的是(　　)‎ A．若m∥α，m∥n，则n∥α B．若m⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α∥β C．若α⊥β，m∥α，n∥β，则m∥n D．若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则n∥β D　[在A中，若m∥α，m∥n，则n∥α或n⊂α，故A错误．在B中，若m ‎⊂α，n⊂β，m∥β，n∥α，则α与β相交或平行，故B错误．在C中，若α⊥β，m∥α，n∥β，则m与n相交、平行或异面，故C错误．在D中，若α∥β，m∥α，n∥m，n⊄β，则由线面平行的判定定理得n∥β，故D正确．]‎ 直线与平面平行的判定与性质 ‎　(2016·南通模拟)如图741所示，斜三棱柱ABCA1B‎1C1中，点D，D1分别为AC，A‎1C1上的点．‎ ‎(1)当等于何值时，BC1∥平面AB1D1?‎ ‎(2)若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．‎ 图741‎ ‎[解]　(1)如图所示，取D1为线段A‎1C1的中点，此时＝1.2分 连接A1B，交AB1于点O，连接OD1.‎ 由棱柱的性质知，四边形A1ABB1为平行四边形，‎ ‎∴点O为A1B的中点．‎ 在△A1BC1中，点O，D1分别为A1B，A1C1的中点，‎ ‎∴OD1∥BC1.4分 又∵OD1⊂平面AB1D1，BC1⊄平面AB1D1，‎ ‎∴BC1∥平面AB1D1.‎ ‎∴当＝1时，BC1∥平面AB1D1.6分 ‎(2)由平面BC1D∥平面AB1D1，且平面A1BC1∩平面BC1D＝BC1，平面A1BC1∩平面AB1D1＝D1O得 BC1∥D1O，8分 ‎∴＝，‎ 又由题(1)可知＝，＝1，‎ ‎∴＝1，即＝1.12分 ‎[规律方法]　1.判断或证明线面平行的常用方法有：‎ ‎(1)利用反证法(线面平行的定义)；‎ ‎(2)利用线面平行的判定定理(a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α)；‎ ‎(3)利用面面平行的性质定理(α∥β，a⊂α⇒a∥β)；‎ ‎(4)利用面面平行的性质(α∥β，a⊄β，a∥α⇒a∥β)．‎ ‎2．利用判定定理判定线面平行，关键是找平面内与已知直线平行的直线．常利用三角形的中位线、平行四边形的对边或过已知直线作一平面找其交线．‎ ‎[变式训练2]　(2014·全国卷Ⅱ)如图742，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA⊥平面ABCD，E为PD的中点．‎ 图742‎ ‎(1)证明：PB∥平面AEC；‎ ‎(2)设AP＝1，AD＝，三棱锥PABD的体积V＝，求A到平面PBC的距离．‎ ‎[解]　(1)证明：设BD与AC的交点为O，连接EO.‎ 因为四边形ABCD为矩形，‎ 所以O为BD的中点，‎ 又E为PD的中点，‎ 所以EO∥PB.3分 因为EO⊂平面AEC，PB⊄平面AEC，‎ 所以PB∥平面AEC.5分 ‎(2)由V＝PA·AB·AD＝AB，‎ 又V＝，可得AB＝.‎ 作AH⊥PB交PB于点H.7分 由题设知BC⊥平面PAB，所以BC⊥AH，‎ 故AH⊥平面PBC.‎ 在Rt△PAB中，由勾股定理可得PB＝，所以AH＝＝.‎ 所以A到平面PBC的距离为.12分 平面与平面平行的判定与性质 ‎　如图743所示，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，E，F，G，H分别是AB，AC，A1B1，A‎1C1的中点，求证：‎ 图743‎ ‎(1)B，C，H，G四点共面；‎ ‎(2)平面EFA1∥平面BCHG.‎ ‎[证明]　(1)∵G，H分别是A1B1，A‎1C1的中点，‎ ‎∴GH是△A1B1C1的中位线，GH∥B1C1.2分 又∵B1C1∥BC，‎ ‎∴GH∥BC，‎ ‎∴B，C，H，G四点共面.5分 ‎(2)在△ABC中，E，F分别为AB，AC的中点，‎ ‎∴EF∥BC.‎ ‎∵EF⊄平面BCHG，BC⊂平面BCHG，‎ ‎∴EF∥平面BCHG.7分 ‎∵A1G綊EB，‎ ‎∴四边形A1EBG是平行四边形，则A1E∥GB.‎ ‎∵A1E⊄平面BCHG，GB⊂平面BCHG，‎ ‎∴A1E∥平面BCHG.10分 ‎∵A1E∩EF＝E，‎ ‎∴平面EFA1∥平面BCHG.12分 ‎[迁移探究]　在本例条件下，若点D为BC1的中点，求证：HD∥平面A1B1BA.‎ ‎[证明]　如图所示，连接HD，A1B，‎ ‎∵D为BC1的中点，H为A1C1的中点，‎ ‎∴HD∥A1B.5分 又HD⊄平面A1B1BA，‎ A1B⊂平面A1B1BA，‎ ‎∴HD∥平面A1B1BA.12分 ‎[规律方法]　1.判定面面平行的主要方法：‎ ‎(1)面面平行的判定定理．‎ ‎(2)线面垂直的性质(垂直于同一直线的两平面平行)．‎ ‎2．面面平行的性质定理的作用：‎ ‎(1)判定线面平行；(2)判断线线平行，线线、线面、面面平行的相互转化是解决与平行有关的问题的指导思想．解题时要看清题目的具体条件，选择正确的转化方向．‎ 易错警示：利用面面平行的判定定理证明两平面平行时，需要说明是一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行．‎ ‎[变式训练3]　(2016·山东高考)在如图744所示的几何体中，D是AC的中点，EF∥DB.‎ 图744‎ ‎(1)已知AB＝BC，AE＝EC，求证：AC⊥FB；‎ ‎(2)已知G，H分别是EC和FB的中点，求证：GH∥平面ABC.‎ ‎[证明]　(1)因为EF∥DB，‎ 所以EF与DB确定平面BDEF.2分 如图①，连接DE.‎ 因为AE＝EC，D为AC的中点，‎ 所以DE⊥AC.同理可得BD⊥AC.‎ 又BD∩DE＝D，所以AC⊥平面BDEF.4分 因为FB⊂平面BDEF，所以AC⊥FB.5分 ‎①‎ ‎(2)如图②，设FC的中点为I，连接GI，HI.‎ 在△CEF中，因为G是CE的中点，‎ 所以GI∥EF.8分 又EF∥DB，所以GI∥DB.‎ 在△CFB中，因为H是FB的中点，‎ 所以HI∥BC.又HI∩GI＝I，‎ 所以平面GHI∥平面ABC.‎ 因为GH⊂平面GHI，所以GH∥平面ABC.12分 ‎②‎ ‎[思想与方法]‎ ‎1．线线、线面、面面平行的相互转化 其中线面平行是核心，线线平行是基础，要注意它们之间的灵活转化．‎ ‎2．直线与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)面与面平行的性质．‎ ‎3．平面与平面平行的主要判定方法 ‎(1)定义法；(2)判定定理；(3)推论；(4)a⊥α，a⊥β⇒α∥β.‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．在推证线面平行时，一定要强调直线不在平面内，否则会出现错误．‎ ‎2．(1)在面面平行的判定中易忽视“面内两条相交直线”这一条件．‎ ‎(2)如要一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，易误认为这两个平面平行，实质上也可以相交．‎ ‎3．在应用性质定理时，要遵从由“高维”到“低维”，但也要注意，转化的方向总是由题目的具体条件而定，决不可过于“模式化”，另外要注意符号语言的规范应用．‎