专题04 立体几何（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

专题04 立体几何（第02期）-2017年高考数学（文）备考之百强校大题狂练系列

‎2017届高考数学（文）大题狂练 专题04 立体几何 ‎1．（本小题满分12分）如图，在三棱锥中，， ，点为中点，是上一点，底面， 面.‎ ‎（1）求证：为中点；‎ ‎（2）当取何值时，在平面内的射影恰好是的中点.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）证明：由面得，又，则，‎ 又点为中点，∴点为中点.‎ ‎（2）解：如图，过作于点.‎ 由，，，∴面.‎ 又为中点，∴为等腰三角形.∴.‎ 不妨设，则，，，‎ 在中，，∴.‎ 考点：直线与平面垂直的判定与证明.‎ ‎2. （本小题满分12分）如图，在梯形中，，，，、分别是、上的点，，，沿将梯形翻折，使平面平面，是的中点.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ （1） 当时，求证：；‎ （2） 当变化时，求三棱锥的体积的最大值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ 试题解析：（1）证：作于，连、.‎ 平面平面，交线为，平面，‎ 平面，又平面，故.‎ 当时，得.‎ ‎，，.【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 四边形为正方形，故.‎ 又、平面，且，故平面.‎ 又平面，故.‎ 考点：直线与平面垂直的判定与证明；三棱锥的体积的计算.‎ ‎3. （本小题满分12分） 如图，直三棱柱的底面为正三角形，、、分别是、、的中点.‎ ‎⑴若，求证：平面；‎ ‎⑵若为中点，，四棱锥的体积为，求三棱锥的表面积.‎ ‎【答案】⑴证明见解析；⑵.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：⑴由三棱柱是直三棱柱，又， 平面，又四边形为正方形，又以平面；⑵由是正三角形，又平面.设，由.又 ‎.‎ 试题解析： ⑴证明：如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，‎ 又是正三角形的边的中点，所以，又，‎ 所以平面，则，……………………3分 连接，易知四边形为正方形，则，‎ 又，则，因为，所以平面.……6分 考点：1、线面垂直；2、锥体的体积；3、锥体的表面积.‎ ‎4. （本小题满分12分）如图,直三棱柱中,，且.‎ ‎（1）求证: 平面 ； ‎ ‎（2） 若是的中点，在线段上是否存在点 ，使平面？若存在，指出点的位置；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）存在，点是的中点.‎ 试题解析：‎ ‎（1）连接为直三棱柱，.又平面. ‎ ‎（2）当点是的中点时，平面.证明如下：取的中点，连接分别为的中点，平面平面平面平面. ‎ 考点：立体几何证明垂直与平行.‎ ‎5. （本小题满分12分） 在长方体中， 分别是的中点，，过三点的的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求的长；‎ ‎（3）在线段上是否存在点，使直线与垂直，如果存在，求线段的长，如果不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)；(3).‎ 试题解析：解：（1）在长方体中，可知，由四边形是平行四边形，所以.因为分别是的中点，所以，则，‎ 又面面，则平面．．．．．．．．．．．．4分 ‎（2）∵，‎ ‎∴．．．．．．．．．．．．．．．．．．8分 考点：1.线面平行的判定定理；2.等体积求点线距；3.三角形相似.‎ ‎6.（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，底面，底面为矩形，为的中点，‎ 且．‎ ‎（1）过点作一条射线，使得，求证：平面平面；‎ ‎（2）若点为线段上一点，且平面，求四棱锥的体积．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】【来.源：全,品…中&高*考*网】‎ 试题分析：（1）连线和交于点，连接，则是的中点，由中位线定理得，由线面平行的判定定理得以平面；同理得平面 ‎，进而由面面平行得判定定理可得结论；（2）先求出，∴，再证明，过作交于，则，进而根据三棱锥的体积公式求解．‎ ‎∵底面，∴底面， .‎ ‎（2）解：∵平面，∴．‎ 在中，∵，，∴，‎ ‎∴，∴，∴．‎ 过作交于，则．‎ ‎∵底面，∴底面，‎ ‎∴．‎