辽宁省沈阳市郊联体2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

辽宁省沈阳市郊联体2018-2019学年高二下学期期末考试数学（文）试题

‎2018-2019学年度下学期沈阳市郊联体期末考试高二试题 文科数学 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.）‎ ‎1.已知集合 ， ，则 （ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简集合B，利用并集概念及运算即可得到结果.‎ ‎【详解】由题意可得：‎ 又 ‎∴‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查并集的概念及运算，考查二次不等式的解法，属于基础题.‎ ‎2.用反证法证明某命题时，对结论：“自然数中恰有一个偶数”正确的反设为（　　）‎ A. 中至少有两个偶数 B. 中至少有两个偶数或都是奇数 C. 都是奇数 D. 都是偶数 ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】自然数中恰有一个是偶数”的否定为：“自然数中有0个、2个、3个偶数”.即中至少有两个偶数或都是奇数，故选：B.‎ ‎3.若幂函数 的图像经过原点，则 的值为（ ）‎ A. 1或3 B. 2或3 C. 3 D. 2‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用幂函数的图像与性质即可得到结果.‎ ‎【详解】∵幂函数 的图像经过原点，‎ ‎∴即 故选：C ‎【点睛】本题考查幂函数的图像与性质，考查运算能力，属于基础题.‎ ‎4.下列函数中，在 内为增函数的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用常见函数的图像与性质即可得到结果．‎ ‎【详解】对于A，在 内为增函数；‎ 对于Ｂ，为周期函数，在上不具有单调性；‎ 对于Ｃ，在上单调递减，在上单调递增；‎ 对于Ｄ，，在 内为减函数，‎ 故选：Ａ ‎【点睛】本题考查常见函数的图像与性质，考查函数的单调性，考查数形结合思想，属于容易题．‎ ‎5.已知函数 的定义域为 ，下图是的导函数 的图像，则下列结论中正确的有（ ）‎ ‎①函数在 上单调递增；‎ ‎②函数在 上单调递减；‎ ‎③函数在 上单调递减；‎ ‎④函数在 上单调递增；‎ A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察导数的图象利用导数的符号，确定函数的单调性及单调区间．‎ ‎【详解】解：①由图象可知，当a＜x＜b时，f'（x）＞0，所以此时函数单调递增，所以①正确．‎ ‎②当a＜x＜b时，f'（x）＞0，函数单调递增，当b＜x＜c时，f'（x）＜0，函数单调递减，所以②错误．‎ ‎③当c＜x＜d时，f'（x）＜0，函数单调递减，所以③正确．‎ ‎④当d＜x＜e时，f'（x）＞0，函数单调递增，所以④正确．‎ 故正确的是①③④．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的单调性与导数之间的关系，利用导函数的正负研究原函数的单调性．‎ ‎6.有甲、乙、丙、丁四位歌手参加比赛，其中只有一位获奖，有人走访了四位歌手，甲说：“是乙或丙获奖．”乙说：“甲、丙都未获奖．”丙说：“我获奖了．”丁说：“是乙获奖．”四位歌手的话只有两句是对的，则获奖的歌手是（　　）‎ A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【详解】若甲是获奖的歌手，则四句全是假话，不合题意；‎ 若乙是获奖的歌手，则甲、乙、丁都说真话，丙说假话，与题意不符；‎ 若丁是获奖的歌手，则甲、丁、丙都说假话，丙说真话，与题意不符；‎ 当丙是获奖的歌手，甲、丙说了真话，乙、丁说了假话，与题意相符.‎ 故选C.‎ 点睛：本题主要考查的是简单的合情推理题，解决本题的关键是假设甲、乙、丙、丁分别是获奖歌手时的，甲乙丙丁说法的正确性即可.‎ ‎7.下列命题正确的是（）‎ A. 命题“ ”为假命题，则命题与命题 都是假命题；‎ B. 命题“若 ，则 ”的逆否命题为真命题；‎ C. 若 使得函数的导函数 ，则为函数的极值点；‎ D. 命题“ ，使得 ”的否定是：“ ，均有 ”.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合命题的真假判断A，根据四种命题的关系判断B，根据极值的定义判断C，根据命题的否定判断D．‎ ‎【详解】解：对于A：命题“p∧q”为假命题，则命题p与命题q至少有一个假命题，故A错误；‎ 对于B：由，可得，即原命题为真命题，又原命题与逆否命题同真同假，故B正确；‎ 对于C：若x0 使得函数f（x）的导函数f’（x0）＝0，如果两侧的导函数的符号相反，则x0为函数f（x）的极值点；否则，不是函数的极值点，所以C不正确；‎ 对于D：命题“存在x0∈R，使得”的否定是：‎ ‎“对任意x∈R，均有x2+x+1≥0”．故D错误，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查原命题与其逆否命题之间的关系应用，考查命题及其否定，极值定义，属于中档题．‎ ‎8.设 ，则 的值是（ ）‎ A. B. -6 C. D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据分段函数的对应法则即可得到结果.‎ ‎【详解】∵‎ ‎∴‎ 故选：A ‎【点睛】本题考查分段函数的对应法则，考查指数与对数的运算法则，属于中档题.‎ ‎9.下列四个条件中，不是 的充分不必要条件的是（ ）‎ A. ‎ B. ‎ C. ‎ D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由充要条件的判断方法，逐个验证可得．‎ ‎【详解】对于A，时，，即又，‎ ‎∴即，充分性具备，故错误；‎ 对于B，时，，即又，‎ ‎∴即，充分性具备，故错误；‎ 对于C，时，故，充分性具备，故错误；‎ 对于D，时，，即又，‎ ‎∴∴即，充分性不具备，故正确；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据不等式的关系是解决本题的关键．‎ ‎10.若函数且在R上为减函数，则函数的图象可以是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数为减函数，得，又由当时，函数，在根据图象的变换和函数的奇偶性，即可得到函数图象，得到答案.‎ ‎【详解】由题意，函数 且在R上减函数，可得，‎ 又由函数的定义域为或，‎ 当时，函数，‎ 将函数的图象向右平移1个单位，即可得到函数的图象，‎ 又因为函数为偶函数，图象关于轴对称，‎ 故选D ‎【点睛】本题主要考查了指数函数与对数函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记指数函数和对数函数的图象与性质，以及合理利用图象的变换求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎11.已知函数 ，则 的解集是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出函数的图象，结合图象即可得到结果.‎ ‎【详解】函数，作出其图像：‎ 若，‎ 则，或，‎ 解得：无解 故解集：‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查分段函数的图像与性质，考查分类讨论与数形结合思想，属于中档题.‎ ‎12. 定义域为 ， ，对任意 ，则不等式 解集为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 令g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，利用导数可判断函数g（x）的单调性，由已知条件可得函数g（x）的零点，由此可解得不等式．‎ ‎【详解】解：令g（x）＝exf（x）﹣ex﹣1，则g′（x）＝exf（x）+exf′（x）﹣ex＝ex[f（x）+f′（x）﹣1]，‎ ‎∵f（x）+f′（x）＞1，‎ ‎∴f（x）+f′（x）﹣1＞0，‎ ‎∴g′（x）＞0，即g（x）在R上单调递增，‎ 又f（0）＝2，∴g（0）＝e0f（0）﹣e0﹣1＝2﹣1﹣1＝0，‎ 故当x＞0时，g（x）＞g（0），即exf（x）﹣ex﹣1＞0，整理得exf（x）＞ex+1，‎ ‎∴exf（x）＞ex+1的解集为{x|x＞0}．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查函数单调性的性质及其应用，考查抽象不等式的求解，考查导数与函数单调性的关系，综合性较强，属于中档题．‎ 二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.）‎ ‎13.已知正数 满足 ，则 的最小值为________‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题意可知，，结合基本不等式可求.‎ ‎【详解】∵正数 满足 ，‎ ‎∴‎ 当且仅当时等号成立，‎ 故答案为：24‎ ‎【点睛】本题主要考查了利用基本不等式求解最值，解答本题的关键是利用1的代换配凑基本不等式的应用条件.‎ ‎14.已知实数满足则的最大值为__________．‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，联立方程组求得最优解的坐标，把最优解的坐标代入目标函数得结论.‎ ‎【详解】‎ 画出表示的可行域，如图，‎ 设，则，‎ 当在轴上截距最大时，最大，‎ 由，得，点，‎ 由图可知，直线过时，‎ 最大值为，故答案为5.‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中，利用可行域求目标函数的最值，属于简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解对应点（在可行域内平移变形后的目标函数，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.‎ ‎15.设函数 是定义在 上的偶函数，在区间 上是减函数，且图象过点 ，则不等式 的解集为________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，结合函数的单调性以及特殊值可得当x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，又由奇偶性可得当1＜x＜2时，f ‎（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0；又由（x﹣1）f（x）＜0⇒或，分析可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，函数y＝f（x+1）是定义在（﹣∞，0）∪（0，+∞）的偶函数，则函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，且f（x）的定义域为{x|x≠1}，‎ y＝f（x）在区间（﹣∞，1）是减函数，且图象过原点，‎ 则当x＜0时，f（x）＞0，当0＜x＜1时，f（x）＜0，‎ 又由函数f（x）的图象关于直线x＝1对称，‎ 则当1＜x＜2时，f（x）＜0，当x＞2时，f（x）＞0，‎ ‎（x﹣1）f（x）＜0⇒或，‎ 解可得：x＜0或1＜x＜2，‎ 即不等式的解集为（﹣∞，0）∪（1，2）；‎ 故答案为：（﹣∞，0）∪（1，2）．‎ ‎【点睛】本题考查抽象函数的应用，涉及函数的单调性与奇偶性的综合应用，属于综合题．‎ ‎16.若函数 ，则方程 的实根个数为________；若函数 ，则方程 的实根个数为________‎ ‎【答案】 (1). 3 (2). 9‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由外及里逐层分析即可得到复合方程实根的个数.‎ ‎【详解】（1）由可得：或 又，‎ ‎∴，解得：，‎ 故方程 的实根个数为3个；‎ ‎（2）设，由，可得：‎ 易知的两个极值点为x=-1和x=1，‎ 又，，作出函数的图象，‎ 由三个实数根，，‎ 再由，结合图象可知：每个t值均对应3个x值，‎ 故答案为：3,9‎ ‎【点睛】本题考查求复合方程实根的个数，考查数形结合的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．‎ 三、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答题写出文字说明，证明过程或演算步骤.）‎ ‎17.给出下列命题：‎ ‎ 关于 的不等式 解集是 ， 指数函数 是增函数.‎ ‎（1）若 为真命题，求 的取值范围.‎ ‎（2）若 为真命题，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）若 为真，则真，真，求交集即可得到结果；‎ ‎（2）若 为真命题，则真假，或假真，或真真，求并集即可得到结果.‎ ‎【详解】若为真，则 ，而 ，或 ‎ 令A=‎ 若为真，则 或 . 令B=‎ ‎(1) 若 为真，则真，真，‎ 则 为真的范围为 ‎ ‎(2)若 为真命题，则真假，或假真，或真真，‎ 则为真的范围为.‎ ‎【点睛】本题考查了简易逻辑的有关判定，一元二次不等式的解法，充要条件的判断，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎18.设函数 ，若曲线 在点处的切线与 轴垂直。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求函数 的极大值和极小值.‎ ‎【答案】（1）；（2）， ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，利用切线与 轴垂直可得a； ‎ ‎（2）令0，解得 或，列出表格，即可得出函数的单调性极值．‎ ‎【详解】（1），‎ ‎ 由题可知， ，即，‎ 解得.‎ ‎（2）由（1）知，因此，， ‎ 令 解得 或 ‎ 列表:‎ 当时，；当时，.‎ ‎【点睛】本题考查了导数的几何意义、切线方程、利用导数研究函数的单调性极值，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．‎ ‎19.已知函数是偶函数．‎ ‎(1)求的值； (2)若方程有解，求的取值范围．‎ ‎【答案】(1) ；(2)．‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)由函数是偶函数 ‎ ‎；(2)由 ‎ ‎.‎ 试题解析: (1)由函数f(x)是偶函数可知，f(－x)＝f(x)，∴log4(4x＋1)＋2kx＝log4(4－x＋1)－2kx，即log4＝－4kx，∴log44x＝－4kx，∴x＝－4kx，即(1＋4k)x＝0，对一切x∈R恒成立，∴k＝－． ‎ ‎(2)由m＝f(x)＝log4(4x＋1)－x＝log4＝log4(2x＋),∵2x>0,∴2x＋≥2,∴m≥log42＝．‎ 故要使方程f(x)＝m有解，m的取值范围为[，＋∞)．‎ ‎20.已知函数 且 是奇函数， .‎ ‎（1）求函数 在 上值域；‎ ‎（2）若函数 在 上的最小值为-2，求实数 的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求出参数k、a，再根据y＝2x是增函数，y＝2﹣x是减函数，则f（x）＝2x﹣2﹣x在[1，+∞）上单调递增，从而得到函数的值域；‎ ‎（2）设t＝f（x），由（1）及题设知：，再根据含参数二次函数性质求解．‎ ‎【详解】(1) 由题设知： 得  ， ‎ ‎ 是增函数 ， 是减函数，‎ ‎ 在 上单调递增. ‎ ‎∴所求值域为 ,即 . ‎ ‎(2) 设 ‎ 即 在 上的最小值为 ， ‎ ‎∴当 时， ，得 ； ‎ 当 时， ， ，得 ； ‎ ‎【点睛】本题考查指数型函数的图像与性质，考查学生分析问题解决问题的能力，考查换元法、分类讨论思想，属于中档题.‎ ‎21.已知函数 ‎ (1)若函数(x)在(0,2)上递减,求实数a的取值范围;‎ ‎(2)设求证: ‎ ‎【答案】（1） .（2）见解析.‎ ‎【解析】‎ 试题分析：(1)求出函数的导数,问题转化为恒有成立,求出a的范围即可;‎ ‎ (2)求出的导数,分时，和讨论函数的单调性求出的最小值即可.‎ 试题解析：（1） 函数在上递减 , 恒有成立,‎ 而 ,恒有成立,‎ 当时 所以：. ‎ ‎（2） 当时， ‎ 所以在上是增函数，故 ‎ 当时， ‎ 解得或，所以函数在单调递增，‎ 所以 ‎ 综上所述： ‎ ‎22.【选修：不等式选讲】‎ 已知．‎ ‎（1）当，解关于的不等式；‎ ‎（2）当时恒有，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】‎ 分析：‎ ‎（1）可利用绝对值的定义去掉不等式中绝对值符号，从而分段求解；‎ ‎（2）由绝对值的定义，知当时，，从而只要解不等式，此题要注意，即这个隐含条件．‎ 详解：‎ ‎（1）时，，．‎ 化为 解之得：或 所求不等式解集为：． ‎ ‎（2），．‎ 或 又，‎ 综上，实数取值范围为：.‎ 点睛：‎ 解含绝对值的不等式，一般可按照绝对值定义，分类去掉绝对值符号，化含绝对值的不等式为不含绝对值的不等式，分别求解，最后求出并集即可，这也是解绝对值问题的常用方法，当然也有许多时候可用绝对值的性质或几何意义求得结论．‎