2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(六十九)　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

2016届高考数学（理）大一轮复习达标训练试题：课时跟踪检测(六十九)　离散型随机变量的均值与方差、正态分布

课时跟踪检测(六十九)　离散型随机变量的均值与方差、正态分布 ‎(分A、B卷，共2页)‎ A卷：夯基保分 一、选择题 ‎1．设在各交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，且概率都是0.4，则此人三次上班途中遇红灯的次数的期望为(　　)‎ A．0.4　　　 B．‎1.2　‎　 　 C．0.43　　 　 D．0.6‎ ‎2．(2015·太原高三期中)已知随机变量X的分布列为 X ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.4‎ 则E(6X＋8)的值为(　　)‎ A．13.2 B．‎21.2 ‎ C．20.2 D．22.2‎ ‎3．如果X～B(20，p)，当p＝且P(X＝k)取得最大值时，k的值为(　　)‎ A．8 B．‎9 ‎ C．10 D．11‎ ‎4．设随机变量X服从正态分布N(3,4)，若P(X<‎2a－3)＝P(X>a＋2)，则a＝(　　)‎ A．3 B. C．5 D. ‎5．(2015·芜湖一模)若X～B(n，p)，且E(X)＝6，D(X)＝3，则P(X＝1)的值为(　　)‎ A．3×2－2 B．2－‎4 ‎ C．3×2－10 D．2－8‎ ‎6．某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1 000粒，对于没有发芽的种子，每粒需再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为(　　)‎ A．100 B．‎200 ‎ C．300 D．400‎ 二、填空题 ‎7．(2015·温州十校联考)一个袋子中装有6个红球和4个白球，假设每一个球被摸到的可能性是相等的．从袋子中摸出2个球，其中白球的个数为X，则X的数学期望是______．‎ ‎8．若随机变量X的概率分布密度函数是φμ，σ(x)＝·e－(x∈R)，则E(2X－1)＝________.‎ ‎9．已知100件产品中有10件次品，从中任取3件，则任意取出的3件产品中次品数的均值为______．‎ ‎10．一射击测试每人射击三次，每击中目标一次记10分，没有击中记0分．某人每次击中目标的概率为，则此人得分的数学期望与方差分别为______________．‎ 三、解答题 ‎11.(2015·忻州联考)现有一游戏装置如图，小球从最上方入口处投入，每次遇到黑色障碍物等可能地向左、右两边落下．游戏规则为：若小球最终落入A槽，得10张奖票；若落入B槽，得5张奖票；若落入C槽，得重投一次的机会，但投球的总次数不超过3次．‎ ‎(1)求投球一次，小球落入B槽的概率；‎ ‎(2)设玩一次游戏能获得的奖票数为随机变量X，求X的分布列及数学期望．‎ ‎12．(2015·昆明模拟)气象部门提供了某地区今年六月份(30天)的日最高气温的统计表如下：‎ 日最高气温 t(单位：℃)‎ t≤22‎ ‎22＜t≤28‎ ‎28＜t≤32‎ t＞32‎ 天数 ‎6‎ ‎12‎ Y Z 由于工作疏忽，统计表被墨水污染，Y和Z数据不清楚，但气象部门提供的资料显示，六月份的日最高气温不高于‎32 ℃‎的频率为0.9.‎ 某水果商根据多年的销售经验，六月份的日最高气温t(单位：℃)对西瓜的销售影响如下表：‎ 日最高气温 t(单位：℃)‎ t≤22‎ ‎22＜t≤28‎ ‎28＜t≤32‎ t＞32‎ 日销售额X ‎(单位：千元)‎ ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎(1)求Y，Z的值；‎ ‎(2)若视频率为概率，求六月份西瓜日销售额的期望和方差；‎ ‎(3)在日最高气温不高于‎32 ℃‎时，求日销售额不低于5千元的概率．‎ B卷：增分提能 ‎1．(2015·崇文一模)某研究机构准备举行一次数学新课程研讨会，共邀请50名一线教师参加，使用不同版本教材的教师人数如下表所示：‎ 版本 人教A版 人教B版 苏教版 北师大版 人教 ‎20‎ ‎15‎ ‎5‎ ‎10‎ ‎(1)从这50名教师中随机选出2名，求2人所使用版本相同的概率；‎ ‎(2)若随机选出2名使用人教版的教师发言，设使用人教A版的教师人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．‎ ‎2．(2014·湖北高考)计划在某水库建一座至多安装3台发电机的水电站，过去50年的水文资料显示，水库年入流量X(年入流量：一年内上游来水与库区降水之和，单位：亿立方米)都在40以上．其中，不足80的年份有10年，不低于80且不超过120的年份有35年，超过120的年份有5年．将年入流量在以上三段的频率作为相应段的概率，并假设各年的年入流量相互独立．‎ ‎(1)求未来4年中，至多有1年的年入流量超过120的概率；‎ ‎(2)水电站希望安装的发电机尽可能运行，但每年发电机最多可运行台数受年入流量X限制，并有如下关系：‎ 年入流量X ‎40120‎ 发电机最多 可运行台数 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 若某台发电机运行，则该台年利润为5 000万元；若某台发电机未运行，则该台年亏损800万元．欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机多少台？‎ ‎3．某市一次全市高中男生身高统计调查数据显示：全市100 000名男生的身高服从正态分布N(168,16)．现从某学校高三年级男生中随机抽取50名测量身高，测量发现被测学生身高全部介于‎160 cm和‎184 cm之间，将测量结果按如下方式分成6组：第1组[160,164)，第2组[164,168)，…，第6组[180,184]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图．‎ ‎(1)试评估该校高三年级男生在全市高中男生中的平均身高状况；‎ ‎(2)求这50名男生身高在‎172 cm以上(含‎172 cm)的人数；‎ ‎(3)在这50名男生身高在‎172 cm以上(含‎172 cm)的人中任意抽取2人，将该2人中身高排名(从高到低)在全市前130名的人数记为X，求X的数学期望．‎ 参考数据：‎ 若X～N(μ，σ2)，则 P(μ－σ＜X≤μ＋σ)＝0.682 6，‎ P(μ－2σ＜X≤μ＋2σ)＝0.954 4，‎ P(μ－3σ＜X≤μ＋3σ)＝0.997 4.‎ 答案 A卷：夯基保分 ‎1．选B　∵途中遇红灯的次数X服从二项分布，即X～B(3,0.4)，∴E(X)＝3×0.4＝1.2.‎ ‎2．选B　由随机变量的期望公式可得E(X)＝1×0.2＋2×0.4＋3×0.4＝2.2，E(6X＋8)＝6E(X)＋8＝6×2.2＋8＝21.2.‎ ‎3．选C　当p＝时，P(X＝k)＝Ck·20－k＝C·20，显然当k＝10时，P(X＝k)取得最大值．‎ ‎4．选D　因为X服从正态分布N(3,4)，P(X<‎2a－3)＝P(X>a＋2)．∴‎2a－3＋a＋2＝6，a＝，故选D.‎ ‎5．选C　由题意知解得 ‎∴P(X＝1)＝C××11＝＝3×2－10.‎ ‎6．选B　1 000粒种子每粒不发芽的概率为0.1，∴不发芽的种子数服从随机变量ξ～B(1 000,0.1)，∴1 000粒种子中不发芽的种子数的期望E(ξ)＝1 000×0.1＝100(粒)，又每粒不发芽的种子需补种2粒，∴需补种的种子数的期望E(X)＝2×100＝200.‎ ‎7．解析：根据题意知X＝0,1,2，而P(X＝0)＝＝；‎ P(X＝1)＝＝； P(X＝2)＝＝.‎ ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ 答案： ‎8．解析：σ＝2，μ＝－2，E(2X－1)＝2E(X)－1＝2×(－2)－1＝－5.‎ 答案：－5‎ ‎9．解析：次品数服从超几何分布，即X～B，‎ 所以E(X)＝3×＝0.3.‎ 答案：0.3‎ ‎10．解析：记此人三次射击击中目标X次，得分为Y分，则X～B，Y＝10X，∴E(Y)＝10E(X)＝10×3×＝20，D(Y)＝100D(X)＝100×3××＝.‎ 答案：20， ‎11．解：(1)由题意可知投一次小球，落入B槽的概率为2＋2＝.‎ ‎(2)落入A槽的概率为2＝，落入B槽的概率为，落入C槽的概率为2＝.‎ X的所有可能取值为0,5,10，‎ P(X＝0)＝3＝，‎ P(X＝5)＝＋×＋2×＝，‎ P(X＝10)＝＋×＋×2＝，‎ X的分布列为 X ‎0‎ ‎5‎ ‎10‎ P E(X)＝0×＋5×＋10×＝.‎ ‎12．解：(1)由已知得：P(t≤32)＝0.9，‎ ‎∴P(t＞32)＝1－P(t≤32)＝0.1，‎ ‎∴Z＝30×0.1＝3，‎ Y＝30－(6＋12＋3)＝9.‎ ‎(2)P(t≤22)＝＝0.2，P(22＜t≤28)＝＝0.4，‎ P(28＜t≤32)＝＝0.3，P(t＞32)＝＝0.1，‎ ‎∴六月份西瓜日销售额X的分布列为 X ‎2‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎8‎ P ‎0.2‎ ‎0.4‎ ‎0.3‎ ‎0.1‎ ‎∴E(X)＝2×0.2＋5×0.4＋6×0.3＋8×0.1＝5，‎ D(X)＝(2－5)2×0.2＋(5－5)2×0.4＋(6－5)2×0.3＋(8－5)2×0.1＝3.‎ ‎(3)∵P(t≤32)＝0.9，P(22＜t≤32)＝0.4＋0.3＝0.7，‎ ‎∴由条件概率得：P(X≥5|t≤32)＝P(22＜t≤32|t≤32)＝＝＝.‎ B卷：增分提能 ‎1．解：(1)从50名教师中随机选出2名的方法数为C＝1 225，选出2人使用版本相同的方法数为C＋C＋C＋C＝350，故2人使用版本相同的概率为P＝＝.‎ ‎(2)X的所有可能取值为0,1,2.‎ P(X＝0)＝＝，‎ P(X＝1)＝＝.‎ P(X＝2)＝＝.‎ ‎∴X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ P ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝＝.‎ ‎2．解：(1)依题意，p1＝P(40120)＝＝0.1.‎ 由二项分布，在未来4年中至多有1年的年入流量超过120的概率为p＝C(1－p3)4＋C(1－p3)3p3＝4＋4×3×＝0.947 7.‎ ‎(2)记水电站年总利润为Y(单位：万元)．‎ ‎①安装1台发电机的情形．‎ 由于水库年入流量总大于40，故一台发电机运行的概率为1，对应的年利润Y＝5 000，E(Y)＝5 000×1＝5 000.‎ ‎②安装2台发电机的情形．‎ 依题意，当40120时，三台发电机运行，此时Y＝5 000×3＝15 000，‎ 因此P(Y＝15 000)＝P(X>120)＝p3＝0.1.‎ 因此得Y的分布列如下：‎ Y ‎3 400‎ ‎9 200‎ ‎15 000‎ P ‎0.2‎ ‎0.7‎ ‎0.1‎ 所以，E(Y)＝3 400×0.2＋9 200×0.7＋15 000×0.1＝8 620.‎ 综上，欲使水电站年总利润的均值达到最大，应安装发电机2台．‎ ‎3．解：(1)由频率分布直方图，经过计算得该校高三年级男生平均身高为162×＋166×＋170×＋174×＋178×＋182××4＝168.72，‎ 高于全市的平均值168.‎ ‎(2)由频率分布直方图知，后3组频率为(0.02＋0.02＋0.01)×4＝0.2，人数为0.2×50＝10，即这50名男生身高在‎172 cm以上(含‎172 cm)的人数为10.‎ ‎(3)∵P(168－3×4＜X≤168＋3×4)＝0.997 4，‎ ‎∴P(X≥180)＝＝0.001 3，‎ ‎0．001 3×100 000＝130.‎ ‎∴全市前130名的身高在‎180 cm以上，这50人中‎180 cm以上的有2人．‎ 随机变量X可取0,1,2，于是 P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，‎ ‎∴E(X)＝0×＋1×＋2×＝.‎