数学文卷·2018届广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）（2018

数学文卷·2018届广东省省际名校（茂名市）高三下学期联考（二）（2018

广东省省际名校（茂名市）2018届高三下学期联考（二）‎ 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，或，若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．是虚数单位，复数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3.已知“正三角形的内切圆与三边相切，切点是各边的中点”，类比之可以猜想：正四面体的内切球与各面相切，切点是（ ）‎ A．各面内某边的中点 B．各面内某条中线的中点 ‎ C．各面内某条高的三等分点 D．各面内某条角平分线的四等分点 ‎4.设函数在上为增函数，则下列结论一定正确的是（ ）‎ A.在上为减函数 B.在上为增函数 C. 在上为增函数 D.在上为减函数 ‎5.投掷两枚质地均匀的正方体散子，将两枚散子向上点数之和记作.在一次投掷中，已知是奇数，则的概率是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎6.过抛物线的焦点，且与其对称轴垂直的直线与交于两点，若在两点处的切线与的对称轴交于点，则外接圆的半径是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎7. 若，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎8. 在中，内角的对边分别为，若，且，则（ ） ‎ A．1 B． C． D．4‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，若图中小正方形的边长为1，则该几何体的体积是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎10.执行如图所示的程序框图，与输出的值最接近的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.《九章算术》中记载了我国古代数学家祖暅在计算球的体积中使用的一个原理:“幂势既同，则积不异”，此即祖暅原理，其含义为:两个同高 的几何体，如在等高处的截面的面积恒相等，则它们的体积相等.如图，设满足不等式组的点组成的图形（图（1）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为；满足不等式组的点组成的图形（图（2）中的阴影部分)绕轴旋转，所得几何体的体积为.利用祖暅原理，可得（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎12.若对任意的，不等式恒成立，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知为单位向量，，且，则与夹角的大小是 ．‎ ‎14. 若实数满足约束条件则的最大值是 ．‎ ‎15. 将函数的图象向左平移个单位，得到函数的图象，若，则函数的单调递增区间是 ．‎ ‎16. 设椭圆的上顶点为，右顶点为，右焦点为，为椭圆下半部分上一点，若椭圆在处的切线平行于，且椭圆的离心率为，则直线 的斜率是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知等差数列的公差不为零，，且.‎ ‎（1）求与的关系式；‎ ‎（2）当时，设,求数列的前项和.‎ ‎18.如图，四棱柱的底面为菱形，且.‎ ‎（1）证明：四边形为矩形；‎ ‎（2）若，平面，求四棱柱的体积.‎ ‎19.某高三理科班共有60名同学参加某次考试，从中随机挑选出5名同学，他们的数学成绩与物理成绩如下表：‎ 数据表明与之间有较强的线性关系.‎ ‎（1）求关于的线性回归方程；‎ ‎（2）该班一名同学的数学成绩为110分，利用（1）中的回归方程，估计该同学的物理成绩；‎ ‎（3）本次考试中，规定数学成绩达到125分为优秀，物理成绩达到100分为优秀.若该班数学优秀率与物理优秀率分别为和，且除去抽走的5名同学外，剩下的同学中数学优秀但物理不优秀的同学共有5人.能否在犯错误概率不超过0.01的前提下认为数学优秀与物理优秀有关？‎ 参考数据:回归直线的系数，.‎ ‎，.‎ ‎20. 已知圆内有一动弦，且，以为斜边作等腰直角三角形，点在圆外.‎ ‎（1）求点的轨迹的方程；‎ ‎（2）从原点作圆的两条切线，分别交于四点，求以这四点为顶点的四边形的面积.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）判断的零点个数；‎ ‎（2）若函数，当时，的图象总在的图象的下方，求的取值范围.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4-4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中，以原点为极点，轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，直线的参数方程为（为参数，为倾斜角).‎ ‎（1）若，求的普通方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）若与有两个不同的交点，且为的中点，求.‎ ‎23.选修4-5：不等式选讲 已知函数.‎ ‎（1）求函数的最小值；‎ ‎（2）根据（1）中的结论，若，且，求证:.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5: CBCDB 6-10: BDDAC 11、12：CA ‎ 二、填空题 ‎13. 14. 2 15.（注：写成开区间或半开半闭区间亦可） 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解:（1）因为，所以，‎ 即有.‎ 因为，即，所以.‎ ‎（2）因为，又，所以.‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ ‎18.（1）证明: 连接，设，连接.‎ ‎∵，∴.‎ 又为的中点，∴.‎ ‎∴平面，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 又四边形是平行四边形，则四边形为矩形.‎ ‎（2）解：由，可得，∴.‎ 由平面，可得平面平面，且交线为.‎ 过点作，垂足为点，则平面.‎ 因为平面,∴，即.‎ 在中，可得.‎ 所以四棱柱的体积为.‎ ‎19. 解:(（1）由题意可知，‎ 故.‎ ‎，‎ 故回归方程为.‎ ‎（2）将代入上述方程，得. ‎ ‎（3）由题意可知，该班数学优秀人数及物理优秀人数分别为30,36. ‎ 抽出的5人中，数学优秀但物理不优秀的共1人，‎ 故全班数学优秀但物理不优秀的人共6人.‎ 于是可以得到列联表为：‎ 于是，‎ 因此在犯错误概率不超过0.01的前提下，可以认为数学优秀与物理优秀有关.‎ ‎20.解：（1）连接，∵，∴为等腰直角三角形.‎ ‎∵为等腰直角三角形，∴四边形为正方形. ‎ ‎∴，∴点的轨迹是以为圆心，2为半径的圆，‎ 则的方程为.‎ ‎（2）如图，,于点，连接.‎ ‎ 在中，∵，∴.‎ ‎∴，∴.‎ ‎∴与为正三角形.‎ ‎∵，且，∴.‎ ‎∴四边形的面积.‎ ‎21.解:（1）的定义域为，‎ 又，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴在上为增函数，又，‎ ‎∴在上只有一个零点.‎ ‎（2）由题意当时，恒成立.‎ 令，则.‎ 当时，∵，∴在上为增函数.‎ 又，∴恒成立. ‎ 当时，，‎ 令，则.‎ 令的两根分别为且，‎ 则∵，∴，‎ 当时，，∴，‎ ‎∴在上为减函数，又，∴当时，.‎ 故的取值范围为.‎ ‎22.解：（1）的普通房成为，‎ 的直角坐标方程为.‎ ‎（2）把代入抛物线方程得，‎ 设所对应的参数为，则.‎ ‎∵为的中点，∴点所对应的参数为，‎ ‎∴，即.‎ 则变为，此时，‎ ‎∴.‎ ‎23.（1）解：，当且仅当时取等号，‎ 所以，即.‎ ‎（2）证明:假设:，则.‎ 所以. ①‎ 由（1）知，所以. ②‎ ‎①与②矛盾，所以.‎