【数学】2020届一轮复习（理）人教通用版9-6双曲线学案
§9.6 双曲线
最新考纲
考情考向分析
了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道其简单的几何性质(范围、对称性、顶点、离心率、渐近线).
主要侧重双曲线的方程以及以双曲线方程为载体，研究参数a，b，c及与渐近线有关的问题，其中离心率和渐近线是重点．以选择、填空题为主，难度为中低档．一般不再考查与双曲线相关的解答题，解题时应熟练掌握基础内容及双曲线方程的求法，能灵活应用双曲线的几何性质.
1．双曲线定义
平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线．这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点间的距离叫做双曲线的焦距．
集合P＝{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中a，c为常数且a>0，c>0.
(1)当2a<|F1F2|时，P点的轨迹是双曲线；
(2)当2a＝|F1F2|时，P点的轨迹是两条射线；
(3)当2a>|F1F2|时，P点不存在．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
－＝1(a>0，b>0)
－＝1(a>0，b>0)
图形
性质
范围
x≥a或x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a或y≥a
对称性
对称轴：坐标轴 对称中心：原点
顶点
A1(－a,0)，A2(a,0)
A1(0，－a)，A2(0，a)
渐近线
y＝±x
y＝±x
离心率
e＝，e∈(1，＋∞)，其中c＝
实虚轴
线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a，线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长
a，b，c的关系
c2＝a2＋b2 (c>a>0，c>b>0)
概念方法微思考
1．平面内与两定点F1，F2的距离之差的绝对值等于常数2a的动点的轨迹一定为双曲线吗？为什么？
提示 不一定．当2a＝|F1F2|时，动点的轨迹是两条射线；
当2a>|F1F2|时，动点的轨迹不存在；
当2a＝0时，动点的轨迹是线段F1F2的中垂线．
2．方程Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是什么？
提示 若A>0，B<0，表示焦点在x轴上的双曲线；若A<0，B>0，表示焦点在y轴上的双曲线．所以Ax2＋By2＝1表示双曲线的充要条件是AB<0.
3．与椭圆标准方程相比较，双曲线标准方程中，a，b只限制a>0，b>0，二者没有大小要求，若a>b>0，a＝b>0,0
b>0时，10时，e＝(亦称等轴双曲线)，当0.
题组一 思考辨析
1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)
(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，－4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线．( × )
(2)方程－＝1(mn>0)表示焦点在x轴上的双曲线．( × )
(3)双曲线方程－＝λ(m>0，n>0，λ≠0)的渐近线方程是－＝0，即±＝0.( √ )
(4)等轴双曲线的渐近线互相垂直，离心率等于.( √ )
(5)若双曲线－＝1(a>0，b>0)与－＝1(a>0，b>0)的离心率分别是e1，e2，则＋＝1(此条件中两条双曲线称为共轭双曲线)．( √ )
题组二 教材改编
2．若双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为( )
A. B．5 C. D．2
答案 A
解析 由题意知焦点到其渐近线的距离等于实轴长，双曲线的渐近线方程为±＝0，即bx±ay＝0，
∴2a＝＝b.又a2＋b2＝c2，∴5a2＝c2.
∴e2＝＝5，∴e＝.
3．已知a>b>0，椭圆C1的方程为＋＝1，双曲线C2的方程为－＝1，C1与C2的离心率之积为，则C2的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B.x±y＝0
C．x±2y＝0 D．2x±y＝0
答案 A
解析 椭圆C1的离心率为，双曲线C2的离心率为，所以·＝，即a4＝4b4，所以a＝b，所以双曲线C2的渐近线方程是y＝±x，即x±y＝0.
4．经过点A(4,1)，且对称轴都在坐标轴上的等轴双曲线方程为________．
答案 －＝1
解析 设双曲线的方程为－＝±1(a>0)，
把点A(4,1)代入，得a2＝15(舍负)，
故所求方程为－＝1.
题组三 易错自纠
5．(2016·全国Ⅰ)已知方程－＝1表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n的取值范围是( )
A．(－1,3) B．(－1，) C．(0,3) D．(0，)
答案 A
解析 ∵方程－＝1表示双曲线，
∴(m2＋n)·(3m2－n)>0，解得－m20，b>0)的一条渐近线经过点(3，－4)，则此双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 D
解析 由条件知y＝－x过点(3，－4)，∴＝4，
即3b＝4a，∴9b2＝16a2，∴9c2－9a2＝16a2，
∴25a2＝9c2，∴e＝.故选D.
7．已知双曲线过点(4，)，且渐近线方程为y＝±x，则该双曲线的标准方程为__________．
答案 －y2＝1
解析 由双曲线的渐近线方程为y＝±x，可设该双曲线的标准方程为－y2＝λ(λ≠0)，已知该双曲线过点(4，)，所以－()2＝λ，即λ＝1，故所求双曲线的标准方程为－y2＝1.
题型一 双曲线的定义
例1 (1)已知定点F1(－2,0)，F2(2,0)，N是圆O：x2＋y2＝1上任意一点，点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，则点P的轨迹是( )
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D． 圆
答案 B
解析 如图，连接ON，
由题意可得|ON|＝1，且N为MF1的中点，又O为F1F2的中点，∴|MF2|＝2.
∵点F1关于点N的对称点为M，线段F1M的中垂线与直线F2M相交于点P，由垂直平分线的性质可得|PM|＝|PF1|，∴||PF2|－|PF1||＝||PF2|－|PM||＝|MF2|＝2<|F1F2|，∴由双曲线的定义可得，点P的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线．
(2)已知F1，F2为双曲线C：x2－y2＝2的左、右焦点，点P在C上，|PF1|＝2|PF2|，则cos∠F1PF2＝________.
答案
解析 ∵由双曲线的定义有
|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|＝4，
则cos∠F1PF2＝
＝＝.
引申探究
1．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“∠F1PF2＝60°”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
在△F1PF2中，由余弦定理，得
cos∠F1PF2＝＝，
∴|PF1|·|PF2|＝8，
∴＝|PF1|·|PF2|·sin 60°＝2.
2．本例(2)中，若将条件“|PF1|＝2|PF2|”改为“·＝0”，则△F1PF2的面积是多少？
解 不妨设点P在双曲线的右支上，
则|PF1|－|PF2|＝2a＝2，
∵·＝0，∴⊥，
∴在△F1PF2中，有|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2，
即|PF1|2＋|PF2|2＝16，
∴|PF1|·|PF2|＝4，
∴＝|PF1|·|PF2|＝2.
思维升华 (1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程．
(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立与|PF1|·|PF2|的联系．
跟踪训练1 设双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且△F1PF2为锐角三角形，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________．
答案 (2，8)
解析 如图，
由已知可得a＝1，b＝，c＝2，从而|F1F2|＝4，由对称性不妨设P在右支上，
设|PF2|＝m，
则|PF1|＝m＋2a＝m＋2，
由于△PF1F2为锐角三角形，
结合实际意义需满足
解得－1＋0，b>0)．
由题意知，2b＝12，e＝＝，
∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.
②∵双曲线经过点M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a＝12.
又2c＝26，∴c＝13，∴b2＝c2－a2＝25.
∴双曲线的标准方程为－＝1.
③设双曲线方程为mx2－ny2＝1(mn>0)．
∴解得
∴双曲线的标准方程为－＝1.
思维升华 求双曲线标准方程的方法
(1)定义法
(2)待定系数法
①当双曲线焦点位置不确定时，设为Ax2＋By2＝1(AB<0)．
②与双曲线－＝1共渐近线的双曲线方程可设为－＝λ(λ≠0)；
③与双曲线－＝1共焦点的双曲线方程可设为－＝1(－b20，b>0)的一条渐近线方程为y＝x，且与椭圆＋＝1有公共焦点，则C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 B
解析 由y＝x，可得＝.①
由椭圆＋＝1的焦点为(3,0)，(－3,0)，
可得a2＋b2＝9.②
由①②可得a2＝4，b2＝5.
所以C的方程为－＝1.故选B.
题型三 双曲线的几何性质
命题点1 与渐近线有关的问题
例3 过双曲线－＝1(a>0，b>0)的左焦点F作圆O：x2＋y2＝a2的两条切线，切点为A，B，
双曲线左顶点为C，若∠ACB＝120°，则双曲线的渐近线方程为( )
A．y＝±x B．y＝±x
C．y＝±x D．y＝±x
答案 A
解析 如图所示，连接OA，OB，设双曲线－＝1(a>0，b>0)的焦距为2c(c>0)，则C(－a,0)，F(－c,0)．
由双曲线和圆的对称性知，点A与点B关于x轴对称，则∠ACO＝∠BCO＝∠ACB＝×120°＝60°.
因为|OA|＝|OC|＝a，所以△ACO为等边三角形，所以∠AOC＝60°.
因为FA与圆O切于点A，所以OA⊥FA，
在Rt△AOF中，∠AFO＝90°－∠AOF＝90°－60°＝30°，所以|OF|＝2|OA|，即c＝2a，
所以b＝＝＝a，
故双曲线－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，即y＝±x.
命题点2 求离心率的值(或范围)
例4 已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1(－c,0)，F2(c,0)，A，B是圆(x＋c)2＋y2＝4c2与C位于x轴上方的两个交点，且F1A∥F2B，则双曲线的离心率为________．
答案
解析 由双曲线定义及题意得
|AF2|＝2a＋2c，|BF2|＝2c－2a，
因为F1A∥F2B，
所以∠F2F1A＋∠F1F2B＝180°，
所以cos∠F2F1A＝－cos∠F1F2B，
则
＝－，
化简得2e2－3e－1＝0，
因为e>1，所以e＝.
思维升华 (1)求双曲线的渐近线的方法
求双曲线－＝1(a>0，b>0)或－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程的方法是令右边的常数等于0，即令－＝0，得y＝±x；或令－＝0，得y＝±x.反之，已知渐近线方程为y＝±x，可设双曲线方程为－＝λ(a>0，b>0，λ≠0)．
(2)求双曲线的离心率
①求双曲线的离心率或其范围的方法
(i)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e.
(ii)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解．
②双曲线的渐近线的斜率k与离心率e的关系：k＝＝＝＝.
跟踪训练3 已知点F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O为坐标原点，点P在双曲线C的右支上，且满足|F1F2|＝2|OP|，|PF1|≥3|PF2|，则双曲线C的离心率的取值范围是( )
A．(1，＋∞) B.
C. D.
答案 C
解析 由|F1F2|＝2|OP|，可得|OP|＝c，故△PF1F2为直角三角形，且PF1⊥PF2，则|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2.
由双曲线的定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，则|PF1|＝2a＋|PF2|，所以(|PF2|＋2a)2＋|PF2|2＝4c2，
整理得(|PF2|＋a)2＝2c2－a2.
又|PF1|≥3|PF2|，即2a＋|PF2|≥3|PF2|，可得|PF2|≤a，所以|PF2|＋a≤2a，即2c2－a2≤4a2
，可得c≤a.由e＝，且e>1，可得1b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于，则椭圆E的离心率的取值范围是( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 设左焦点为F0，连接F0A，F0B，则四边形AFBF0为平行四边形．
∵|AF|＋|BF|＝4，
∴|AF|＋|AF0|＝4，
∴a＝2.
设M(0，b)，则M到直线l的距离d＝≥，
∴1≤b<2.
离心率e＝＝＝ ＝ ∈，
故选A.
例2 已知F1，F2为双曲线的焦点，过F2作垂直于实轴的直线交双曲线于A，B两点，BF1交y轴于点C，若AC⊥BF1，则双曲线的离心率为( )
A. B. C．2 D．2
答案 B
解析 不妨设双曲线方程为－＝1(a>0，b>0)，
由已知，取A点坐标为，取B点坐标为，则C点坐标为且F1(－c,0)．由AC⊥BF1知·＝0，又＝，＝，可得2c2－＝0，又b2＝c2－a2，可得3c4－10c2a2＋3a4＝0，则有3e4－10e2＋3＝0，可得e2＝3或，又e>1，
所以e＝.故选B.
1．(2018·抚顺调研)双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋2y－1＝0垂直，则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.＋1
答案 B
解析 由已知得＝2，所以e＝＝＝＝，故选B.
2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，则该双曲线的渐近线方程为( )
A．x±y＝0 B．x±y＝0
C.x±y＝0 D．2x±y＝0
答案 C
解析 ∵双曲线的方程是－＝1(a>0，b>0)，
∴双曲线的渐近线方程为y＝±x.
又∵离心率e＝＝2，
∴c＝2a，∴b＝＝a.
由此可得双曲线的渐近线方程为y＝±x＝±x，
即x±y＝0.故选C.
3．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F，点B是虚轴的一个端点，线段BF
与双曲线C的右支交于点A，若＝2，且||＝4，则双曲线C的方程为( )
A.－＝1 B.－＝1
C.－＝1 D.－＝1
答案 D
解析 不妨设B(0，b)，由＝2，F(c,0)，
可得A，代入双曲线C的方程可得×－＝1，即·＝，
∴＝.①
又||＝＝4，c2＝a2＋b2，
∴a2＋2b2＝16，②
由①②可得，a2＝4，b2＝6，
∴双曲线C的方程为－＝1，故选D.
4．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于( )
A．4 B．3 C．2 D．1
答案 D
解析 连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝·|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝－＝1，故选D.
5．已知双曲线x2－＝1的左、右焦点分别为F1，F2，双曲线的离心率为e，若双曲线上存在一点P使＝e，则·的值为( )
A．3 B．2 C．－3 D．－2
答案 B
解析 由题意及正弦定理得
＝＝e＝2，
∴|PF1|＝2|PF2|，
由双曲线的定义知|PF1|－|PF2|＝2，
∴|PF1|＝4，|PF2|＝2，
又|F1F2|＝4，
由余弦定理可知
cos∠PF2F1＝
＝＝，
∴·＝||·||·cos∠PF2F1
＝2×4×＝2.故选B.
6．(2018·沈阳模拟)已知双曲线－＝1的右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为( )
A．4＋ B．4(1＋)
C．2(＋) D.＋3
答案 B
解析 由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋2a＝＋＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B.
7．已知离心率为的双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，M是双曲线C的一条渐近线上的点，且OM⊥MF2，O为坐标原点，若＝16，则双曲线的实轴长是( )
A．32 B．16 C．84 D．4
答案 B
解析 由题意知F2(c,0)，不妨令点M在渐近线y＝x上，由题意可知|F2M|＝＝b，所以|OM|＝＝a.由＝16，可得ab＝16，即ab＝32，又a2＋b2＝c2，＝，所以a＝8，b＝4，c＝4，所以双曲线C的实轴长为16.故选B.
8．(2018·葫芦岛模拟)已知双曲线C1：－＝1(a>0，b>0)，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0，若双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，则双曲线C1的离心率的取值范围是( )
A. B.
C．(1,2) D．(2，＋∞)
答案 A
解析 由双曲线方程可得其渐近线方程为y＝±x，即bx±ay＝0，圆C2：x2＋y2－2ax＋a2＝0可化为(x－a)2＋y2＝a2，圆心C2的坐标为(a,0)，半径r＝a，由双曲线C1的一条渐近线与圆C2有两个不同的交点，得2b，即c2>4b2，又知b2＝c2－a2，所以c2>4(c2－a2)，即c21，所以双曲线C1的离心率的取值范围为，故选A.
9．(2016·北京)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(，0)，则a＝_____；b＝______.
答案 1 2
解析 由2x＋y＝0，得y＝－2x，所以＝2.
又c＝，a2＋b2＝c2，解得a＝1，b＝2.
10．已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．
答案 4
解析 由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝2a＝2，|BF1|－|BF2|＝2a＝2，
∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|.由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，
∴|BA|＝|BF1|，∵△BAF1为等腰三角形，∠F1AF2＝45°，
∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形．
∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2，
∴＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4.
11．(2018·辽阳模拟)已知焦点在x轴上的双曲线＋＝1，它的焦点到渐近线的距离的取值范围是__________．
答案 (0,2)
解析 对于焦点在x轴上的双曲线－＝1(a>0，b>0)，它的焦点(c,0)到渐近线bx－ay＝0的距离为＝b.双曲线＋＝1，即－＝1，其焦点在x轴上，则解得40，b>0)的右焦点为F，左顶点为A，以F为圆心，FA为半径的圆交C的右支于P，Q两点，△APQ的一个内角为60°，则双曲线C的离心率为______．
答案
解析 设左焦点为F1，由于双曲线和圆都关于x轴对称，
又△APQ的一个内角为60°，
∴∠PAF＝30°，∠PFA＝120°，|AF|＝|PF|＝c＋a，
∴|PF1|＝3a＋c，
在△PFF1中，由余弦定理得，
|PF1|2＝|PF|2＋|F1F|2－2|PF||F1F|cos∠F1FP，
即3c2－ac－4a2＝0，即3e2－e－4＝0，∴e＝(舍负)．
13．(2018·营口调研)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线C上第二象限内一点，若直线y＝x恰为线段PF2的垂直平分线，则双曲线C的离心率为( )
A. B. C. D.
答案 C
解析 如图，
直线PF2的方程为y＝－(x－c)，设直线PF2与直线y＝x的交点为N，易知N.又线段PF
2的中点为N，所以P.因为点P在双曲线C上，所以－＝1，即5a2＝c2，所以e＝＝.故选C.
14．已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝2a，∠F1AF2＝，则等于( )
A．1 B. C. D.
答案 B
解析 如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝2a.
又|AF1|＝2a，所以|AF2|＝4a，因为∠F1AF2＝π，所以＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×2a×4a×＝2a2.由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝2a，所以|BF1|＝2a＋|BF2|，又知|BF1|＝2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|.又知∠BAF2＝，所以△BAF2为等边三角形，边长为4a，所以＝|AB|2＝×(4a)2＝4a2，所以＝＝.
15．已知双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，|F1F2|＝8，P是E右支上的一点，PF1与y轴交于点A，△PAF2的内切圆与边AF2的切点为Q.若|AQ|＝，则E的离心率是( )
A．2 B.
C. D.
答案 D
解析 如图所示，
设PF1，PF2分别与△PAF2的内切圆切于M，N，依题意，有|MA|＝|AQ|，|NP|＝|MP|，
|NF2|＝|QF2|，
|AF1|＝|AF2|＝|QA|＋|QF2|,2a＝|PF1|－|PF2|＝(|AF1|＋|MA|＋|MP|)－(|NP|＋|NF2|)＝2|QA|＝2，故a＝，从而e＝＝＝，故选D.
16．已知双曲线－＝1 (a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|＝6|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为________．
答案
解析 由定义，知|PF1|－|PF2|＝2a.
又|PF1|＝6|PF2|，∴|PF1|＝a，|PF2|＝a.
当P，F1，F2三点不共线时，
在△PF1F2中，由余弦定理，
得cos∠F1PF2＝
＝＝－e2，
即e2＝－cos∠F1PF2.
∵cos∠F1PF2∈(－1,1)，∴e∈.
当P，F1，F2三点共线时，
∵|PF1|＝6|PF2|，∴e＝＝，
综上，e的最大值为.
