2020届普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学密卷一（含附加题Word版附答案）
2020 年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）密卷一
数学Ⅰ
参考公式：
样本数据 1 2, , , nx x x 的方差 22
1
1 n
i
i
s x x
n
，其中
1
1 n
i
i
x x
n
柱体的体积V Sh ，其中 S 是柱体的底面积，h 是柱体的高．
锥体的体积
1
3
V Sh ，其中 S 是椎体的底面积，h 是椎体的高．
一．填空题：本题共 14 小题．请把答案填写在答题卡相应位置上
1．已知集合 2{ | 1 3}, | 9A x x B x Z x ，则 A∩B=________．
2．已知复数 z 满足 4 3iz i （i 为虚数单位），则 z=________．
3．执行如图所示的程序框图，则输出的 S 值为________．
4．下图是青年歌手大奖赛上 9 位评委给某位选手打分的茎叶图，去掉一个最高分和一个最
低分，所剩数据的平均数为________．
5．直线 x+y+a=0 是圆 x2+y2-4y=0 的一条对称轴，则 a=________．
6．函数 3( ) 2 logf x x 的定义域________．
7．已知存在 2, , sin 3sin 0
2 2
x x x a
恒成立，则实数 a 的取值范围是________．
8．在区间 [0,2]上随机取两个数 x，y，则事件“x2+y2≤4”发生的概率为________．
9．等差数列 na 的前 n 项和 Sn，若 S2=4，S6=10，则 S10=________．
10．已知双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a b
a b
的右焦点为 F，直线 : 3l y x 与 C 交于 A，B 两
点，AF，BF 的中点分别为 M，N，若以线段 MN 为直径的圆经过原点，则双曲线 C 的离心
率为________．
11．已知函数 ( )f x 的定义域为 R，其导函数 '( )f x 既是 R 上增函数，又是奇函数，则满足不
等式 ( 1) (3 )f m f m 的实数 m 的取值范围为________．
12．已知球 O 与棱长为 8 的正方体 ABCD-A1B1C1D1的所有棱都相切，点 P 是球 O 上一点，
点 Q 是△A1C1B 的外接圆上的一点，则线段 PQ 的取值范围是________．
13．已知正数 ab 满足 a+b=1，则
1 4
1 1a b
的最小值为________．
14．在△ABC 中， a ， b ， c 分别是角 A， B， C 的对边，若 2 2 22020a b c ，则
2 tan tan
tan (tan tan )
A B
C A B
________．
二．解答题：本大题共 6 小题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
15．已知
10 10sin sin( ),sin , 0,
2 10 2
．
（Ⅰ）求 cos 2 ；
（Ⅱ）求 tan( ) 的值．
16．如图，已知四棱锥 P－ABCD 中，底面 ABCD 是直角梯形，AD BC ，BC=CD=PD=2AD，
AD⊥CD，PD⊥平面 ABCD，E 为 PB 的中点．
（Ⅰ）求证： AE 平面 PDC；
（Ⅱ）求证：AE⊥BC．
17．如图，一块弓形薄铁片 EMF，点 M 为弧 EF 的中点，其所在圆 O 的半径为 8dm（圆心
O 在弓形 EMF 内），
2
3
EOF
．将弓形薄铁片裁剪成尽可能大的矩形铁片 ABCD（不计
损耗）， AD BC ，且点 A，D 在EF 上，设 2AOD ．
（Ⅰ）求矩形铁片 ABCD 的面积 S 关于 的函数关系式
（Ⅱ）当裁出的矩形铁片 ABCD 面积最大时，求 cos 的值．
18．已知点
52,
3
M
在椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a b
a b
上， 1 2,A A 分别为 E 的左、右顶点，直
线 A1M 与 A2M 的斜率之积为
5
9
，F 为椭圆的右焦点，直线
9:
2
l x ．
（Ⅰ）求椭圆 E 的方程；
（Ⅱ）直线 m 过点 F 且与椭圆 E 交于 B，C 两点，直线 BA2，CA2分别与直线 l交于 P，Q
两点，以 PQ 为直径的圆过定点
3 ,1
2
，求直线 m 的方程．
19．已知函数
( 1)( ) ln
1
a xf x x
x
.
（Ⅰ）讨论 ( )f x 的单调性；
（Ⅱ）当 x>1 时， ( ) 0f x 恒成立，求 a 的取值范围．
20．在数列 na 中，若 *
na N ，且 1
,
( 1,2,3, )2
3,
n
n
n
n n
a a
a n
a a
是偶数
是奇数
，则称 na 为“J 数
列”．设 na 为“J 数列”，记 na 的前 n 项和为 Sn．
（Ⅰ）若 a1=10，求 S3n的值；
（Ⅱ）若 S3=17，求 a1 的值；
（Ⅲ）证明： na 中总有一项为 1 或 3．
数学Ⅱ（附加题）
21【选做题】：本题包括 A、B、C 三小题，请选定其中两小题，并在相应的答题区域内作
答，若多做，则按作答的前两小题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
给定矩阵
3 1
1 3
A
．
（Ⅰ）求矩阵 A 的特征值；
（Ⅱ）证明： 1
1
1
e
和 2
1
1
e
是矩阵 A 的特征向量．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
在极坐标系中，直线 l的方程
1sin
6 2
，曲线 C 的方程为 4cos
3
，直线 l
与曲线 C 相交于 A，B 两点，求 | |AB 的值．
C．[选修 4-5：不等式选讲]
若 m，n 都是正数，且存在实数 x 使得
1 1|1 4 | |1 2 |x x
m n
成立，求 m+n 的最小值．
【必做题】第 22 题、第 23 题．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明
过程或演算步骤．
22．设 100 2 100
0 1 2 100(2 3 )x a a x a x a x ，求下列各式的值：
（Ⅰ）求 a 的值（用指数表示）；
（Ⅱ）求 2 2
0 2 4 100 1 3 5 99a a a a a a a a 的值．
23．2020 年初，新冠肺炎疫情袭击全国，某省由于人员流动性较大，成为湖北省外疫情最
严重的省份之一，截至 2 月 29 日，该省已累计确诊 1349 例患者（无境外输入病例）．
（Ⅰ）为了解新冠肺炎的相关特征，研究人员从该省随机抽取 100 名确诊患者，统计他
们的年龄数据，得下面的频数分布表：
由频数分布表可以大致认为，该省新冠肺炎患者的年龄 Z 服从正态分布 2,15.2N ，
其中 近似为这 100 名患者年龄的样本平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值作代
表）．请估计该省新冠肺炎患者年龄在 70 岁以上（≥70）的患者比例；
（Ⅱ）截至 2 月 29 日，该省新冠肺炎的密切接触者（均已接受检测）中确诊患者约占
10%，以这些密切接触者确诊的频率代替 1 名密切接触者确诊发生的概率，每名密切接触者
是否确诊相互独立．现有密切接触者 20 人，为检测出所有患者，设计了如下方案：将这 20
名密切接触者随机地按 n（1
2 时， '( ) 0f x ，得 2
1,2 1 2x a a a ．
此时， ( )f x 的单调递增区间 2(0, 1 2 )a a a ， 21 2 ,a a a ；
单调递减区间 2 2( 1 2 , 1 2 )a a a a a a ；
综上所述，a≤2 时， ( )f x 的单调递增区间 (0, ) ，无单调递减区间；
a>2 时， ( )f x 的单调递增区间 2(0, 1 2 )a a a ， 21 2 ,a a a ；
单调递减区间 2 2( 1 2 , 1 2 )a a a a a a ；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
（1）a≤2 时， ( )f x 在 (0, ) 单调递增．
∵x≥1 时，∴ ( ) (1) 0f x f ，符合题意．
（2）a>2 时， 2 21 2 1 1 2a a a a a a
( )f x 在 2(1, 1 2 )a a a 单调递减， 2( 1 2 , )a a a 单调递增．
∴ 2( ) ( 1 2 ) (1) 0f x f a a a f 最小值 ，不符合题意．（15 分）
∴实数 a 的取值范围 ( ,2] ．
20．解：（Ⅰ）当 a1=10 时，{an}中的各项依次为 10，5，8，4，2，1，4，2，1，…，
所以 S3n=7n+16．
（Ⅱ）（1）若 a1是奇数，则 a2=a1+3 是偶数， 2 1
3
3
2 2
a aa
，
由 S3=17，得 1
1 1
33 17
2
aa a
，解得 a1=5，适合题意．
（2）若 a1是偶数，不妨设 *
1 2a k k N ，则 1
2 2
aa k ．
若 k 是偶数，则 2
3 2 2
a ka ，
由 S3=17，得 2 17
2
kk k ，此方程无整数解；
若 k 是奇数，则 a3=k+3，
由 S3=17，得 2k+k+k+3=17，此方程无整数解．
综上， 1 5a ．
（Ⅲ）首先证明：一定存在某个 ia ，使得 6ia 成立．
否则，对每一个 *iN ，都有 6ia ，
则在 ia 为奇数时，必有 2
3
2
i
i i
aa a
；
在 ia 为偶数时，有 2 3
2
i
i i
aa a ，或 2 4
i
i i
aa a ．
因此，若对每一个 *iN ，都有 6ia ，则 1 3 5, , ,a a a 单调递减，
注意到 *
na N ，显然这一过程不可能无限进行下去，
所以必定存在某个 ia ，使得 6ia 成立．
经检验，当 2ia ，或 4ia ，或 5ia 时， na 中出现 1；
当 6ia 时， na 中出现 3，
综上， na 中总有一项为 1 或 3．
21【选做题】
A．[选修 4-2：矩阵与变换]
解：（Ⅰ） A 的特征多项式为
23 1
| | (3 ) 1 ( 4)( 2)
1 3
A E
所以 A 的特征值为 1 2 ， 2 4 ．
（Ⅱ）证明： 1
1
1
e
在矩阵 A 的作用下，其像与其保持共线，即
3 1 1 2 1
2
1 3 1 2 1
．
2
1
1
e
在矩阵 A 的作用下，其像与其保持共线，即
3 1 1 4 1
4
1 3 1 4 1
成立．
所以 1
1
1
e
和 2
1
1
e
是矩阵 A 的特征向量．
B．[选修 4-4：坐标系与参数方程]
解：由题意知，直线 l过点 (1,0)P ，且倾斜角
6
，
直线 l的参数方程：
31
2
1
2
x t
y t
（t 是参数）；
由 24cos 4 cos cos 4 sin sin
3 3 3
2 2 2 22 2 3 0 ( 1) ( 3) 4x y x y x y
将直线 l的参数方程代入 C 的直角坐标方程，
得
2 23 1 3 4
2 2
t t
，整理，
得 2 3 1 0t t ，由韦达定理得： 1 2
1 2
3
1
t t
t t
∴ 1 2| | | | | |AB PA PB t t
2 2
1 2 1 24 ( 3) 4 ( 1) 7t t t t ．
C．[选修 4-5：不等式选讲]
解：设
12 2,
4
1 1( ) | 4 1| | 2 1| 6 ,
2 4
12 2,
2
x x
f x x x x x
x x
当
1
4
x ， min
3( )
2
f x ．
由题意， min
1 1 ( )f x
m n
，即
1 1 3
2m n
，
1 1 3
2m n
．
1 1( ) 2 2 2 4n mm n
m n m n
．
4 8
1 1 3
m n
m n
.
当且仅当 m=n 时，m+n 的最小值
8
3
．
【必做题】
22．解：（Ⅰ） 100
0 2a ．
（Ⅱ）令 x=1，得 100
0 1 2 3 100(2 3) a a a a a ；
令 x=-1，得 100
0 1 2 3 100(2 3) a a a a a ；
∴ 2 2
0 2 4 100 1 3 5 99a a a a a a a a
0 1 2 3 100 0 1 2 3 100a a a a a a a a a a
100 100(2 3) (2 3)
1 ．
23．解：
（Ⅰ）
2 15 6 25 12 35 18 45 22 55 22 65 12 75 4 85 2 95 54.8
100
；
(54.8 15.2 54.8 15.2) (39.6 70) 0.6826P Z P Z ．
故
1 (39.6 70) 1 0.6826( 70) 0.1587 15.87%
2 2
P ZP Z
．
（Ⅱ）由题意，每名密切接触者确诊为新冠脑炎的概率均为
1
10
，
n 的可能取值为 2，4，5，10．
当 {2,4,5,10}n 时，
1~ ,
10nX B n
对于某组 n 个人，化验次数 Y 的可能值为：1，n+1
9( 1)
10
n
P Y
，
9( 1) 1
10
n
P Y n
9 9 9( ) 1 ( 1) 1 1
10 10 10
n n n
E Y n n n
．
则 20 人的化验总次数为
20 9 1 9( ) 1 20 1
10 10
n n
f n n n
n n
经计算 (2) 13.8, (4) 11.8, (5) 12.2, (10) 15f f f f
当 n=4 时符合题意，按 4 人一组检测，可使化验总次数最少．