2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期开学考试数学试题 解析版

2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期开学考试数学试题 解析版

‎2017-2018学年陕西省黄陵中学高二（重点班）上学期开学考试数学试题 解析版 一、选择题(共12小题，每小题5.0分,共60分) ‎ ‎1. 函数)是(　　)‎ A. 最小正周期为 的奇函数 B. 最小正周期为的奇函数 C. 最小正周期为 的偶函数 D. 最小正周期为的偶函数 ‎【答案】A ‎【解析】y＝2cos2(x－)－1＝cos(2x－)＝sin 2x，所以是最小正周期为π的奇函数．‎ 本题选择A选项.‎ ‎2. 在 中， ，，则 的值为(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】∵∠C＝120°，∴∠A＋∠B＝60°，∴tan(A＋B)＝＝，‎ ‎∴tanA＋tanB＝(1－tanA·tanB)＝，‎ 解得tanA·tanB＝.‎ 本题选择B选项.‎ ‎3. 已知π，则 等于(　　)‎ A. 2 B. －‎2 C. 1 D. －1‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵－1＝tan(α＋β)＝，‎ ‎∴tanα＋tanβ＝－1＋tanαtanβ.‎ ‎∴(1－tanα)(1－tanβ)＝1－tanα－tanβ＋tanαtanβ＝2.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4. 化简cosx＋sinx等于(　　)‎ A. 2cos(－x) B. 2cos(－x)‎ C. 2cos(＋x) D. 2cos(＋x)‎ ‎【答案】B ‎【解析】cosx＋sinx＝2(cosx＋sinx)‎ ‎＝2(coscosx＋sinsinx)＝2cos(－x)．‎ 本题选择B选项.‎ ‎5. 已知 为锐角，，，则 的值为(　　)‎ A. B. C. － D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为α，β为锐角，且cosα＝，所以sinα＝，所以tanα＝.‎ 又tan(α－β)＝＝＝－，所以tanβ＝，即＝，‎ 因为β为锐角，所以13cosβ＝9，‎ 整理得cosβ＝.‎ 本题选择A选项.‎ ‎6. 若 [，]，，则 等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎..................‎ ‎7. 已知 ，若，则角 不可能等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】f(x)＝cosx·cos 2x·cos 4x sin 8α＝sinα，经验证，α＝时，上式不成立．‎ 本题选择B选项.‎ ‎8. 设 ，则 等于(　　)‎ A. 4 B. C. － D. －‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵f(tanx)＝tan2x＝，‎ ‎∴f(2)＝＝－.‎ 本题选择D选项.‎ ‎9. 已知 ，则 等于(　　)‎ A. － B. － C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】∵tanθ＝2，‎ ‎∴原式＝＝＝＝.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：关于sin α，cos α的齐次式，往往化为关于tan α的式子．‎ ‎10. 为了得到函数的图象，可以将函数 的图象(　　)‎ A. 向右平移个单位长度 B. 向右平移个单位长度 C. 向左平移个单位长度 D. 向左平移个单位长度 ‎【答案】B ‎【解析】y＝sin＝cos ‎＝cos＝cos＝cos2.‎ 则为了得到函数的图象，可以将函数的图象向右平移 个单位长度.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：对于三角函数图象的平移变换问题，其平移变换规则是“左加、右减”，并且在变换过程中只变换其中的自变量x，如果x的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位和方向．另外，当两个函数的名称不同时，首先要将函数名称统一，其次要把ωx＋φ变换成，最后确定平移的单位并根据的符号确定平移的方向．‎ ‎11. 在直角坐标系中，若 与 的终边关于 轴对称，则下列各式成立的是(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 以上都不对 ‎【答案】A ‎【解析】∵α、β终边关于y轴对称，设角α终边上一点P(x，y)，‎ 则点P关于y轴对称的点为P′(－x，y)，‎ 且点P与点P′到原点的距离相等，设为r，则P′(－x，y)在β的终边上，‎ 由三角函数的定义得sinα＝，sinβ＝，‎ ‎∴sinα＝sinβ.‎ 本题选择A选项.‎ ‎12. 函数的定义域为(　　)‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意得1－tanx≥0，∴tanx≤1，‎ 又y＝tanx的定义域为(kπ－，kπ＋)，‎ ‎∴该函数的定义域为.‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求函数的定义域，其实质就是以函数解析式有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可．‎ 分卷II 二、填空题(共4小题，每小题5.0分,共20分) ‎ ‎13. 已知 中， ，则 的最大值为________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】由∠A＝120°，∠A＋∠B＋∠C＝180°，得sinB＋sinC＝sinB＋sin(60°－B)‎ ‎＝cosB＋sinB＝sin(60°＋B)．显然当∠B＝30°时，sinB＋sinC取得最大值1.‎ ‎14. 计算： ________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】tan 15°＝tan(45°－30°)＝＝2－.‎ ‎15. 设 为第四象限角，且＝，则 ________.‎ ‎【答案】－‎ ‎【解析】因为＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝‎ ‎＝4cos2α－1＝2(2cos2α－1)＋1＝2cos 2α＋1‎ ‎＝，所以cos 2α＝.‎ 又α是第四象限角，所以sin 2α＝－，tan2α＝－.‎ 点睛：三角函数求值常用方法：异名三角函数化为同名三角函数，异角化为同角，异次化为同次，切化弦，特殊值与特殊角的三角函数互化．‎ ‎16. 已知 中，，则 的大小为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】依题意：＝－，即tan(A＋B)＝－，‎ 又0＜A＋B＜π，∴A＋B＝，∴C＝π－A－B＝.‎ 三、解答题(共6小题,22题10分。其余12分，共70分) ‎ ‎17. 计算下列各式的值．‎ ‎(1) ；‎ ‎(2).‎ ‎【答案】（1） （2）‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)，据此结合两角和差正切公式可得= .‎ ‎(2)拟用两角和的正切公式可得原式=tan60°＝.‎ 试题解析：‎ ‎(1)tan 15°＋tan75°＝tan(45°－30°)＋tan(45°＋30°)＝＋‎ ‎＝＋＝＋＝4.‎ ‎(2)原式＝tan(41°＋19°)＝tan60°＝.‎ 点睛：三角函数常用技巧：①寻求角与角之间的关系，化非特殊角为特殊角；‎ ‎②正确灵活地运用公式，通过三角变换消去或约去一些非特殊角的三角函数值；‎ ‎③一些常规技巧：“‎1”‎的代换、和积互化等．‎ ‎18. 已知，，，求 的值．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 由题意结合同角三角函数关系可得sin(α－β)＝.cos(α＋β)＝－，然后利用两角和差正余弦公式有：sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]=.‎ 试题解析：‎ 因为＜β＜α＜，所以π＜α＋β＜，0＜α－β＜.‎ 所以sin(α－β)＝＝＝.‎ cos(α＋β)＝－‎ ‎＝－＝－，‎ 则sin 2α＝sin[(α＋β)＋(α－β)]‎ ‎＝sin(α＋β)cos(α－β)＋cos(α＋β)sin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝.‎ 点睛：给值求值问题一般是正用公式将所求“复角”展开，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入展开式即可．‎ ‎19. 已知，，求 和 的值．‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 将已知等式两边平方，然后将已知等式两边分别相乘，结合两角和差正余弦公式和同角三角函数基本关系可得 .‎ 试题解析：‎ 将已知等式两边平方，得sin2α－2sinαsinβ＋sin2β＝，①‎ cos2α－2cosαcosβ＋cos2β＝.②‎ ‎①＋②，得2－2cos(α－β)＝，∴cos(α－β)＝，‎ 将已知等式两边分别相乘，得 sinαcosα＋sinβcosβ－sinαcosβ－cosαsinβ＝－，‎ ‎∴ (sin 2α＋sin 2β)－sin(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)cos(α－β)－sin(α＋β)＝－，‎ ‎∴.‎ ‎20. 已知 ，求证： .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，结合题意可知和两角和差正余弦公式即可证得题中的结论.‎ 试题解析：‎ ‎∵2α＋β＝α＋(α＋β)，β＝(α＋β)－α，‎ ‎∴sin(2α＋β)＝sin[(α＋β)＋α]＝sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα，‎ 而5sinβ＝5sin[(α＋β)－α]＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.‎ 由已知得sin(α＋β)cosα＋cos(α＋β)sinα＝5sin(α＋β)cosα－5cos(α＋β)sinα.‎ ‎∴2sin(α＋β)cosα＝3cos(α＋β)sinα，‎ 等式两边都除以cos(α＋β)cosα，得2tan(α＋β)＝3tanα.‎ ‎21. 已知，，且，求 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】试题分析：‎ 首先求得cos(α－β)＝，cosα＝，sin(α－β)＝.sinα＝，由β＝α－(α－β)，得cosβ＝，∴β＝.‎ 试题解析：‎ 方法一　由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.‎ 又∵cos(α－β)＝，cosα＝，‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ sinα＝＝＝，‎ 由β＝α－(α－β)，得cosβ＝cos[α－(α－β)]‎ ‎＝cosαcos(α－β)＋sinαsin(α－β)‎ ‎＝×＋×＝，∴β＝.‎ 方法二　由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.‎ 又∵cos(α－β)＝，cosα＝‎ ‎∴sin(α－β)＝＝＝.‎ sinα＝＝＝，‎ 由β＝α－(α－β)，得sinβ＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sinαcos(α－β)－cosαsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝，‎ ‎∴.‎ ‎22. 已知 在同一平面内，且 ．‎ ‎(1)若 ，且 ，求 ；‎ ‎(2)若，且 ，求 与 的夹角．‎ ‎【答案】（1） （2） ‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)设出点的坐标，结合题意得到方程，解方程即可求得 ‎(2)利用向量垂直的充要条件结合平面向量数量积的运算法则可得向量夹角的余弦值为-1，则 与 的夹角 ‎ 试题解析：‎ ‎　(1)∵c∥a，∴设c＝λa，‎ 则c＝(λ，2λ)．‎ 又|c|＝2 ，∴λ＝±2，‎ ‎∴c＝(2,4)或(－2，－4)．‎ ‎(2)∵(a＋2b)⊥(‎2a－b)，‎ ‎∴(a＋2b)·(‎2a－b)＝0.‎ ‎∵|a|＝ ，|b|＝ ，∴a·b＝ ，‎ ‎∴cos θ＝ ＝－1，‎ 又θ∈[0°，180°]，∴θ＝180°.‎