数学文卷·2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试(2017-11)

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数学文卷·2019届黑龙江省哈尔滨师范大学附属中学高二上学期期中考试(2017-11)

哈师大附中2017—2018年度上学期高二学年期中考试数学试卷(文科)‎ 考试时间:120分钟 满分:150分 第Ⅰ卷 (选择题 共60分)‎ 一.选择题:(本题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是正确的)‎ ‎1.已知椭圆上的一点到椭圆一个焦点的距离为,则到另一焦点距离为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎2.抛物线的焦点坐标为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.双曲线的渐近线方程是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎4.已知双曲线的离心率为,则的值为( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎5.已知是椭圆上一点,是其左,右焦点,若,则的面积为( )‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎6.设直线过点,且与圆相切,则的斜率是( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.已知抛物线:,过点的直线交抛物线于两点,若为坐标原点,则直线的斜率之积为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.如果满足约束条件,则目标函数的最大值是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.过双曲线的一个焦点作垂直于实轴的弦,是另一焦点,若∠,则双曲线的离心率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎10.过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦,则( )‎ A. B. C. D. ‎ ‎11.已知抛物线:的焦点为,准线为,是上一点,是直线与的一个交点,若,则( )‎ A. B. C.3 D.2‎ ‎12.已知抛物线:,点为抛物线上任意一点,过点向圆作切线,切点分别为,则四边形面积的最小值为( )‎ A. B. C. D.‎ 第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)‎ 二.填空题:(本题共4小题,每小题5分,共20分)‎ ‎13.双曲线的实轴长为 .‎ ‎14. 已知一个正方体的所有顶点在一个球面上,若球的体积为,则正方体的棱长为 .‎ ‎15.已知双曲线:,若直线交该双曲线于两点,且线段的中点为点,则直线的斜率为 .‎ ‎16. 已知椭圆:,点与的焦点不重合,若关于的两焦点的对称点分别为 ‎,,线段的中点在上,则 .‎ 三.解答题:(本题共6小题,共70分,解答题应写出文字说明证明过程或演算步骤)‎ ‎17.(本小题满分10分)‎ 抛物线,直线过的焦点,且与抛物线交于两点,弦的中点为.‎ ‎(Ⅰ)若直线的倾斜角为,求点的坐标;‎ ‎(Ⅱ)若,求直线的方程.‎ ‎18.(本小题满分12分)‎ 已知圆经过点 且圆心在直线上.‎ ‎(Ⅰ)求圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)过点的直线截圆所得弦长为 ,求直线的方程.‎ C B A D C1‎ A1‎ ‎19.(本小题满分12分)‎ 如图,三棱柱中,侧棱垂直于底面,,,是棱的中点.‎ ‎(Ⅰ)证明:平面⊥平面;‎ ‎(Ⅱ)求异面直线与所成角的余弦值.‎ P D C A E F ‎20.(本小题满分12分)‎ 如图,四棱锥的底面是边长为的正方形, ‎ B 底面,分别为的中点.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面;‎ ‎(Ⅱ)若,求证:平面.‎ ‎21.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的离心率为,椭圆的短轴端点与双曲线的焦点重合,过点的直线与椭圆相交于两点.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若,求实数的取值范围.‎ ‎22.(本小题满分12分)‎ 已知椭圆的左,右焦点分别为 短轴两个端点为且四边形是边长为的正方形.‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程;‎ ‎(Ⅱ)若分别是椭圆长轴的左、右端点,动点满足 ‎,连接,交椭圆于点.证明:为定值.‎ 数学答案 (文科)‎ 一.选择题 ‎1-6 DCBBCD 7-12 ACBDAB 二.填空题 ‎13.4 14. 15. 16.16‎ 三.解答题 ‎17. 解:(1)联立 ,得,‎ ‎, ……………5分 ‎(2)联立,得, , ,‎ 所以直线的方程为: ……………10分 ‎18. (Ⅰ) 设圆心 .‎ 所以 ,圆 的方程为 . ……………4分 ‎   (Ⅱ) 若直线 的斜率不存在,方程为 ,此时直线 截圆所得弦长为 ,符合题意;‎ 若直线 的斜率存在,设方程为 ,即 .‎ 由条件知,圆心到直线的距离 直线 的方程为 .‎ 综上,所求方程为 或 . ……………10分 ‎19. 不妨设,则,‎ ‎(Ⅰ )因为是中点,所以,从而,故,‎ 又因为侧棱垂直于底面, ,所以,‎ ‎, ; ……………6分 ‎ (Ⅱ)直线与所成角的余弦值是 ……………12分 ‎20. 证明:(Ⅰ)取PD中点M,连接MF,MA在ΔCPD中,F为PC的中点,‎ ‎,且MF=,正方形ABCD中E为AB中点, 且AE=,‎ 且,故:EFMA为平行四边形, ……4分 又EF平面PAD,AM平面PAD EF//平面PAD ……6分 ‎(Ⅱ),,,‎ ‎,,‎ ‎,,‎ ‎,,,,,‎ ‎// ……12分 ‎21.解:(Ⅰ)由条件,双曲线焦点为, 1分 离心率, 2分 又, 3分 ‎ 4分 ‎(Ⅱ)设点 ‎①若不垂直轴,设,与联立得:‎ ‎ 6分 ‎, 7分 ‎ 9分 若,若 ‎,解得 11分 ‎②若,则A,B为长轴端点,,或 ‎ 由①②,的取值范围是 12分 ‎22.(Ⅰ)由题意得 ,所以 ,,‎ 所以所求的椭圆方程为 . ……………4分 ‎(Ⅱ) 由(1)知,,.由题意可设 ,‎ 因为 ,所以 . ……………6分 由 整理得 ,因为 ,‎ 所以 , ……………8分 所以 ,, ……………10分 所以 .‎ 即 为定值 . ……………12分
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