数学（理）卷·2017届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期末考试（2017

数学（理）卷·2017届黑龙江省大庆实验中学高三上学期期末考试（2017

大庆实验中学2016-2017学年度上学期期末考试 高三数学（理）试题 出题人：姚晶 审题人：陈永志 周芳芳 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题：(本大题共12个小题，每小题5分，满分60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)‎ ‎1.集合，则( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎2．复数满足，则( )‎ ‎ A．3 B．1 C． D．‎ ‎3．等差数列中，，是函数的两个零点，则的前9项和等于( )‎ ‎ A．﹣18 B．9 C．18 D．36‎ ‎4．圆上存在两点关于直线对称，则的最小值为( )‎ ‎ A．3+2 B．9 C．16 D．18‎ ‎5．己知是函数的一个极小值点，则的一个单调递减区间是( )‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．下列说法中正确的个数是( )‎ ‎（1）从一批产品取出三件产品，设事件“三件产品全是次品”，事件“三件产品全是正品”，事件“三件产品不全是次品”，中任何两个均互斥；‎ ‎（2）已知，都是实数，那么“”是“”的充要条件；‎ ‎（3）若命题：，，则：，；‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎7.将3本相同的语文书和2本相同的数学书分给四名同学，每人至少1本，不同的分配方法数有 ( )‎ A．24 B．28 C．32 D．36‎ ‎8. 设为正整数，展开式中存在常数项，则的一个可能取值为( )‎ A．8 B．6 C．5 D．2‎ ‎9. 某几何体的三视图如图所示，则该几何体体积是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎10. 已知实数，满足约束条件，则 的最大值为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎11. 过双曲线的右焦点做圆的切线，切点为,切线交y轴于点,且，则双曲线的离心率为( )‎ A． B． C．2 D．‎ 12. 设函数在上存在导函数，对任意的实数都有，当时，.若，则实数的取值范围是( )‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二．填空题：(本大题共4小题；每小题5分，共20分)‎ ‎13. 在中，，，分别为的中点，则　 ． ‎ ‎14. 已知是第四象限角，且，则　 　．‎ ‎15. 过抛物线的焦点的直线与抛物线在第一象限的交点为，与抛物线的准线的的交点为，点在抛物线的准线上的射影为，若,，则抛物线的方程为 ． ‎ ‎16. 已知函数，方程有四个不同的实数根，则实数的取值范围为 ． ‎ 三. 解答题：(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤).‎ ‎17.（本小题满分10分）已知数列中，，，数列中，，其中；（1）求证：数列是等差数列；‎ ‎（2）若是数列的前n项和，求的值．‎ ‎18. （本小题满分12分）已知函数．‎ ‎（1）求函数的最小正周期和对称轴；‎ ‎（2）将函数的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，然后向左平移个单位，得函数的图象．若分别是三个内角的对边，，且，求的取值范围．‎ ‎19.（本小题满分12分）某工厂生产甲、乙两种产品，每种产品都分为正品与次品．其中生产甲产品为正品的概率是，生产乙产品为正品的概率是；生产甲乙两种产品相互独立，互不影响。‎ 生产一件甲产品，若是正品可盈利40元，若是次品则亏损5元；生产一件乙产品，若是正品可盈利50元，若是次品则亏损10元．计算以下问题：‎ ‎（Ⅰ）记X为生产1件甲产品和1件乙产品所得的总利润，求随机变量X的分布列和数学期望；‎ ‎（Ⅱ）求生产4件产品甲所获得的利润不少于110元的概率．‎ ‎20.（本小题满分12分）如图所示，在三棱柱中，四边形为边长为2的正方形，四边形为菱形，，平面平面，‎ 点、分别是，的中点.‎ ‎（1）求证： ∥平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎21.（本小题满分12分）已知椭圆的左右焦点分别为，抛物线 与椭圆有相同的焦点，且椭圆过点．‎ ‎（I）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若椭圆的右顶点为，直线交椭圆于、两点 ‎（、与点不重合），且满足，若点为中点，求直线斜率的最大值．‎ ‎22.（本小题满分12分）已知函数，曲线在点处切线平行于轴.‎ ‎（Ⅰ）求的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ 大庆实验中学2016—2017学年度上学期期末考试 高三数学（理）试题参考答案 ‎1-12 DDCDA BBCDA BC ‎13. -7 ； 14. ； 15. 16. ‎ ‎17．解：（1）数列{an}中，a1=2，an+1=2﹣，数列{bn}中，bn=，其中n∈N．‎ ‎∴b1=1，∵bn+1===，bn+1﹣bn═﹣=1=常数，‎ ‎∴数列{bn}是等差数列，首项为1，等差为1，‎ ‎（2）bn=1+n﹣1=n，‎ Sn=（1+2+3+4+…n）=，∴==2（），‎ 即++…+=2（1）=2（1﹣）=，‎ ‎18．解：（Ⅰ）函数f（x）=sinxcosx﹣cos2x﹣=sin2x﹣（1+cos2x）﹣=sin（2x﹣）﹣1，则对称轴为 k∈Z，周期为 所以函数f（x）的对称轴为，k∈Z；周期为 ‎（Ⅱ）函数f（x）的图象各点纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，得函数y=sin（x﹣）﹣1的图象，‎ 再向左平移个单位，得函数y=sin（x+﹣）﹣1的图象，‎ 所以函数F（x）=sin（x+）﹣1；又△ABC中，a+c=6，所以，‎ 所以；由余弦定理可知，‎ b2=a2+c2﹣2ac•cos=a2+c2﹣ac=（a+c）2﹣3ac≥36﹣3•=9，‎ 当且仅当a=c=3时取“=”，所以b≥3；又b＜a+c=6，所以b的取值范围是[3，6）．‎ ‎19.（ⅰ）随机变量X的所有取值为90，45，30，﹣15.‎ ‎； ；‎ ‎； ．‎ 所以，随机变量X的分布列为：‎ X ‎90‎ ‎45‎ ‎30‎ ‎﹣15‎ P ‎． ‎ ‎（ⅱ）设“生产4件芯片甲所获得的利润不少于110元”为事件A，‎ 则…（12分）‎ ‎20.( Ⅱ)以B为坐标原点，分别为x轴，y轴正方向 两个平面的法向量分别为和，所求余弦值为 ‎21. （Ⅰ）由题意可得a=2，2c=2，即c=1，b==，‎ 则椭圆的标准方程为+=1；‎ ‎（Ⅱ）设直线AE的方程为y=k（x﹣2），代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2﹣16k2x+16k2﹣12=0，‎ 由2+xE=，可得xE=，yE=k（xE﹣2）=，‎ 由于AE⊥AF，只要将上式的k换为﹣，可得xF=，yF=，‎ 由2=+，可得P为EF的中点，‎ 即有P（，），‎ 则直线AP的斜率为t==，‎ 当k=0时，t=0；当k≠0时，t=，‎ 再令s=﹣k，可得t=，当s=0时，t=0；当s＞0时，t=≤=，‎ 当且仅当4s=时，取得最大值；‎ 综上可得直线AP的斜率的最大值为．‎ ‎22. （Ⅰ），且直线的斜率为0，又过点，‎ ‎∴ 即解得.‎ ‎（Ⅱ）当时，不等式 ‎.‎ 令，‎ 令，‎ ‎①当，即时，在单调递增且，所以当时，在单调递增，∴.即恒成立.‎ ‎②当，即时，在上单调递减，且，故当时，即，‎ 所以函数在单调递减，‎ 当时，，与题设矛盾，‎ 综上可得的取值范围为.　‎