2018-2019学年江西省高安中学高一下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

2018-2019学年江西省高安中学高一下学期期末考试数学（文）试题（解析版）

‎2018-2019学年江西省高安中学高一下学期期末考试数学（文）试题 一、单选题 ‎1．直线的倾斜角为（ ）‎ A．150° B．120° C．60° D．30°‎ ‎【答案】A ‎【解析】现求出直线的斜率，再根据斜率是倾斜角的正切值，计算倾斜角即可.‎ ‎【详解】‎ 设倾斜角为，因为直线的斜率为-，‎ 所以，，又因为 所以，故选A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了直线的倾斜角与斜率之间的关系，其中熟记直线的倾斜角与斜率之间的关系是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎2．数列1，－3，5，－7，9，…的一个通项公式为(　　)‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：数列中正负项（先正后负）间隔出现，必有，1，3,5,7,9，……故2n-1，所以数列1，-3，5，-7，9，……的一个通项公式是，故选B。‎ ‎【考点】数列的通项公式。‎ 点评：简单题，利用数列的前几项写出数列的一个通项公式，有时结果不唯一。‎ ‎3．设的内角所对边分别为．则该三角形（ ）‎ A．无解 B．有一解 C．有两解 D．不能确定 ‎【答案】C ‎【解析】利用正弦定理以及大边对大角定理求出角，从而判断出该三角形解的个数。‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理得，所以，，，，‎ 或，因此，该三角形有两解，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角形解的个数的判断，解题时可以充分利用解的个数的等价条件来进行判断，具体来讲，在中，给定、、，该三角形解的个数判断如下：‎ ‎（1）为直角或钝角，，一解；，无解；‎ ‎（2）为锐角，或，一解；，两解；，无解.‎ ‎4．直线与圆的位置关系是（ ）‎ A．相切 B．相离 C．相交但不过圆心 D．相交且过圆心 ‎【答案】C ‎【解析】圆心到直线的距离，‎ 据此可知直线与圆的位置关系为相交但不过圆心.‎ 本题选择C选项.‎ ‎5．在等差数列中，如果，则数列前9项的和为( )‎ A．297 B．144 C．99 D．66‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：，，∴a4=13,a6=9,S9==99‎ ‎【考点】等差数列性质及前n项和 点评：本题考查了等差数列性质及前n项和，掌握相关公式及性质是解题的关键．‎ ‎6．设为直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是(　　)‎ A．若∥α，∥β，则α∥β B．若⊥α，⊥β，则α∥β C．若⊥α，∥β，则α∥β D．若α⊥β，∥α，则⊥β ‎【答案】B ‎【解析】利用空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面间的位置关系以及垂直、平行判定与性质定理来判断各选项的正误。‎ ‎【详解】‎ 对于A选项，当直线与平面、的交线平行时，，，但与不平行，A选项错误；‎ 对于B选项，根据垂直于同一直线的两平面可知B选项正确；‎ 对于C选项，，过直线作平面，使得该平面与平面相交，交线为直线，由直线与平面平行的性质定理得知，由于，则，，，C选项错误；‎ 对于D选项，，过直线作平面，使得该平面与平面相交，交线为直线，由直线与平面平行的性质定理得知，，但平面内的直线与平面的位置关系不一定垂直，从而直线与平面的位置关系也不确定，D选项错误。故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间中直线与平面、平面与平面的位置关系，熟悉空间中的线面关系、面面关系以及相关的平行、垂直的判定与性质定理是解题的关键，属于中等题。‎ ‎7．等差数列的公差是2，若成等比数列，则的前项和（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由已知得，，又因为是公差为2的等差数列，故，，解得，所以，故．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、等比中项；3、等差数列前n项和．‎ ‎8．某三棱锥的左视图、俯视图如图所示，则该三棱锥的体积是(　　)‎ A．3 B．2 C． D．1‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据三视图高平齐的原则得知锥体的高，结合俯视图可计算出底面面积，再利用锥体体积公式可得出答案。‎ ‎【详解】‎ 由三视图“高平齐”的原则可知该三棱锥的高为，俯视图的面积为锥体底面面积，则该三棱锥的底面面积为，‎ 因此，该三棱锥的体积为，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查利用三视图求几何体的体积，解题时充分利用三视图“长对正，高平齐，宽相等”的原则得出几何体的某些数据，并判断出几何体的形状，结合相关公式进行计算，考查空间想象能力，属于中等题。‎ ‎9．等比数列的前n项和为，若，则等于(　　)‎ A．－3 B．5 C．33 D．－31‎ ‎【答案】C ‎【解析】由等比数列的求和公式结合条件求出公比，再利用等比数列求和公式可求出.‎ ‎【详解】‎ 设等比数列的公比为（公比显然不为1），则，得，‎ 因此，，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查等比数列基本量计算，利用等比数列求和公式求出其公比，是解本题的关键，一般在求解等比数列问题时，有如下两种方法：‎ ‎（1）基本量法：利用首项和公比列方程组解出这两个基本量，然后利用等比数列的通项公式或求和公式来进行计算；‎ ‎（2）性质法：利用等比数列下标有关的性质进行转化，能起到简化计算的作用。‎ ‎10．在中， ，BC边上的高等于,则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：设边上的高线为，则，所以．由正弦定理，知，即，解得，故选D．‎ ‎【考点】正弦定理 ‎【方法点拨】在平面几何图形中求相关的几何量时，需寻找各个三角形之间的联系，交叉使用公共条件，常常将所涉及到已知几何量与所求几何集中到某一个三角形，然后选用正弦定理与余弦定理求解．‎ ‎11．如图，正方体的棱长为1，线段上有两个动点E、F，且，则下列结论中错误的是 A．‎ B．‎ C．三棱锥的体积为定值 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】可证，故A正确；由∥平面ABCD，可知，B也正确；连结BD交AC于O，则AO为三棱锥的高，，三棱锥的体积为为定值，C正确；D错误。选D。‎ ‎12．已知点是直线上一动点，与是圆的两条切线，为切点，则四边形的最小面积为(　　)‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】利用当与直线垂直时，取最小值，并利用点到直线的距离公式计算出的最小值，然后利用勾股定理计算出、的最小值，最后利用三角形的面积公式可求出四边形面积的最小值。‎ ‎【详解】‎ 如下图所示：‎ 由切线的性质可知，，，且，‎ ‎，‎ 当取最小值时，、也取得最小值，‎ 显然当与直线垂直时，取最小值，且该最小值为点到直线 的距离，即，‎ 此时，，‎ 四边形面积的最小值为，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线与圆的位置关系，考查切线长的计算以及四边形的面积，本题在求解切线长的最小值时，要抓住以下两点：‎ ‎（1）计算切线长应利用勾股定理，即以点到圆心的距离为斜边，切线长与半径为两直角边；‎ ‎（2）切线长取最小值时，点到圆心的距离也取到最小值。‎ 二、填空题 ‎13．已知两点，则线段的垂直平分线的方程为_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】求出直线的斜率和线段的中点，利用两直线垂直时斜率之积为可得出线段的垂直平分线的斜率，然后利用点斜式可写出中垂线的方程。‎ ‎【详解】‎ 线段的中点坐标为，直线的斜率为，‎ 所以，线段的垂直平分线的斜率为，其方程为，即.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查线段垂直平分线方程的求解，有如下两种方法求解：‎ ‎（1）求出中垂线的斜率和线段的中点，利用点斜式得出中垂线所在直线方程；‎ ‎（2）设动点坐标为，利用动点到线段两端点的距离相等列式求出动点的轨迹方程，即可作为中垂线所在直线的方程。‎ ‎14．两圆，相切，则实数＝______.‎ ‎【答案】0, ±2‎ ‎【解析】根据题意，由圆的标准方程分析两圆的圆心与半径，分两圆外切与内切两种情况讨论，求出 a的值，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 根据题意：圆的圆心为（0，0），半径为1，圆的 圆心为（﹣4，a），半径为5，‎ 若两圆相切，分2种情况讨论：‎ 当两圆外切时，有（﹣4）2+a2=（1+5）2，解可得a=±2，‎ 当两圆内切时，有（﹣4）2+a2=（1﹣5）2，解可得a=0，‎ 综合可得：实数a的值为0或±2；‎ 故答案为：0或±2．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆与圆的位置关系，关键是掌握圆与圆的位置关系的判定方法．‎ ‎15．在中，角所对的边分别为，，则____‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用正弦定理将边角关系式中的边都化成角，再结合两角和差公式进行整理，从而得到.‎ ‎【详解】‎ 由正弦定理可得：‎ 即：‎ ‎ ‎ 本题正确结果：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查李用正弦定理进行边角关系式的化简问题，属于常规题.‎ ‎16．《九章算术》中，将底面为长方形且由一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥为鳖臑，平面，，三棱锥的四个顶点都在球的球面上，则球的表面积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，可得，．因为为直角三角形，可得，所以，因此，结合几何关系，可求得外接球的半径，，代入公式即可求球的表面积。‎ ‎【详解】‎ 本题主要考查空间几何体．‎ 由题意得该四面体的四个面都为直角三角形，且平面，‎ ‎，，，．‎ 因为为直角三角形，‎ 因此或（舍）．‎ 所以只可能是，‎ 此时，因此，‎ 所以平面所在小圆的半径即为，‎ 又因为，‎ 所以外接球的半径，‎ 所以球的表面积为．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三棱锥的外接球问题，难点在于确定BC的长，即得到，再结合几何性质即可求解，考查学生空间想象能力，逻辑推理能力，计算能力，属中档题。‎ 三、解答题 ‎17．等差数列中，，．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（Ⅰ）设等差数列的公差为．‎ 由已知得，‎ 解得．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可得．‎ 所以 ‎．‎ ‎【考点】1、等差数列通项公式；2、分组求和法．‎ ‎18．已知分别是的三个内角所对的边．‎ ‎(1)若的面积，求的值；‎ ‎(2)若，且，试判断的形状．‎ ‎【答案】（1）；（2）等腰直角三角形。‎ ‎【解析】试题分析：（1）解三角形问题，一般利用正余弦定理进行边角转化.首先根据面积公式解出b边，得，再由由余弦定理得：，所以，（2）判断三角形形状，利用边的关系比较直观. 因为，所以由余弦定理得：，所以，在中，，所以，所以是等腰直角三角形.‎ 解：（1）， 2分 ‎，得3分 由余弦定理得：， 5分 所以6分 ‎（2）由余弦定理得：，所以9分 在中，，所以11分 所以是等腰直角三角形； 12分 ‎【考点】正余弦定理 ‎19．已知圆 经过两点，且圆心在轴上．‎ ‎(1)求圆的方程；‎ ‎(2)若直线，且截轴所得纵截距为5，求直线截圆所得线段的长度．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）设圆心的坐标为，利用求出的值，可确定圆心坐标，并计算出半径长，然后利用标准方程可写出圆的方程；‎ ‎（2）由，得出直线的斜率与直线的斜率相等，可得出直线的斜率，再由截轴所得纵截距为，可得出直线的方程，计算圆心到直线的距离，则 ‎.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设圆心，则，则 所以圆方程：． ‎ ‎（2）由于，且，则，‎ 则圆心到直线 的距离为：．‎ 由于，‎ ‎【点睛】‎ 本题考查圆的方程的求解以及直线截圆所得弦长的计算，再解直线与圆相关的问题时，可充分利用圆的几何性质，利用几何法来处理，问题的核心在于计算圆心到直线的距离的计算，在计算弦长时，也可以利用弦长公式来计算。‎ ‎20．如图，中，，角 的平分线长为10．‎ ‎(1)求；‎ ‎(2)求边的长．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】（1）由题意知为锐角，利用二倍角余弦公式结合条件可计算出 的值；‎ ‎（2）利用内角和定理以及诱导公式计算出，在中利用正弦定理可计算出.‎ ‎【详解】‎ ‎（1），则B为锐角，；‎ ‎（2），‎ 在中，由，得.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查二倍角余弦公式、以及利用正弦定理解三角形，解三角形有关问题时，要根据已知元素类型合理选择正弦定理与余弦定理，考查计算能力，属于中等题。‎ ‎21．如图四边形ABCD为菱形，G为AC与BD交点，，‎ ‎（I）证明：平面平面；‎ ‎（II）若， 三棱锥的体积为，求该三棱锥的侧面积.‎ ‎【答案】（1）见解析（2）3+2‎ ‎【解析】试题分析：（Ⅰ）由四边形ABCD为菱形知ACBD，由BE平面ABCD知ACBE，由线面垂直判定定理知AC平面BED，由面面垂直的判定定理知平面平面；（Ⅱ）设AB=，通过解直角三角形将AG、GC、GB、GD用x表示出来，在AEC中，用x表示EG，在EBG中，用x表示EB，根据条件三棱锥 的体积为求出x，即可求出三棱锥的侧面积.‎ 试题解析：（Ⅰ）因为四边形ABCD为菱形，所以ACBD，‎ 因为BE平面ABCD，所以ACBE，故AC平面BED.‎ 又AC平面AEC，所以平面AEC平面BED ‎（Ⅱ）设AB=，在菱形ABCD中，由ABC=120°，可得AG=GC= ,GB=GD=.‎ 因为AEEC，所以在AEC中，可得EG= .‎ 由BE平面ABCD，知EBG为直角三角形，可得BE=.‎ 由已知得，三棱锥E-ACD的体积.故=2‎ 从而可得AE=EC=ED=.‎ 所以EAC的面积为3，EAD的面积与ECD的面积均为.‎ 故三棱锥E-ACD的侧面积为.‎ ‎【考点】线面垂直的判定与性质；面面垂直的判定；三棱锥的体积与表面积的计算；逻辑推理能力；运算求解能力 ‎22．已知数列满足：，，数列满足：（）．‎ ‎（1）证明：数列是等比数列；‎ ‎（2）求数列的前项和，并比较与的大小.‎ ‎【答案】（1）见证明；（2）见解析 ‎【解析】(1)将原式变形为，进而得到结果；（2）根据第一问得到，错位相减得到结果.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由条件得，易知，两边同除以得，又，‎ 故数列是等比数列，其公比为.‎ ‎（2）由（1）知，则 ‎……①‎ ‎……②‎ 两式相减得 即.‎ ‎【点睛】‎ 这个题目考查的是数列通项公式的求法及数列求和的常用方法；数列通项的求法中有常见的已知和的关系，求表达式，一般是写出做差得通项，但是这种方法需要检验n=1时通项公式是否适用；数列求和常用法有：错位相减，裂项求和，分组求和等。‎