高考数学精英备考专题讲座 导数及应用
导数及应用
一、高考预测
从近几年考查的趋势看，本专题考查的重点是导数在研究函数的单调性和极值中的应用、
导数在研究方程和不等式中的应用，考查的形式是解答题考查导数在研究函数问题中的综合
运用，但常围绕一些交叉点设计一些新颖的试题，大部分函数和导数的基础试题难度也不大，
但少数函数的基础试题难度较大，解答题中的函数导数试题也具有一定的难度．
由于该专题的绝大多数内容(除定积分)都是传统的高中数学内容，在考查上已经基本稳
定(难度稳定、考查重点稳定、考查的分值稳定)，预计 2012 年基本上还是这个考查趋势，具
体为：以选择题或者填空题的方式考查导数的几何意义的应用，定积分的计算及其简单应
用．以解答题的方式考查导数在函数问题中的综合应用，重点是使用导数的方法研究函数的
单调性和极值以及能够转化为研究函数的单调性、极值、最值问题的不等式和方程等问题，
考查函数建模和利用导数解模．
导数及其应用：要掌握好导数的几何意义、导数的运算、导数和函数的单调性与极值的
关系，由于函数的极值和最值的解决是以函数的单调性为前提的，因此要重点解决导数在研
究函数单调性中的应用，特别是含有字母参数的函数的单调性(这是高考考查分类与整合思想
的一个主要命题点)，在解决好上述问题后，要注意把不等式问题、方程问题转化为函数的单
调性、极值、最值进行研究性训练，这是高考命制压轴题的一个重要考查点．
二、知识导学
要点 1：利用导数研究曲线的切线
1．导数的几何意义：函数 ()y f x 在 0x 处的导数 ()fx 的几何意义是：曲线 在
点 00( , ( ))P x f x 处的切线的斜率（瞬时速度就是位移函数 ()st 对时间t 的导数）。
2．求曲线切线方程的步骤：（1）求出函数 在点 0xx 的导数，即曲线
在点 00( , ( ))P x f x 处切线的斜率；（2）在已知切点坐标 和切线斜率的条件下，求
得切线方程为 0 0 0( )( )y y f x x x 。注：①当曲线 在点 处的切线平
行于 y 轴（此时导数不存在）时，由切线定义可知，切线方程为 ；②当切点坐标未知
时，应首先设出切点坐标，再求解。
要点 2：利用导数研究导数的单调性 利用导数研究函数单调性的一般步骤。（1）确定函数
的定义域；（2）求导数 )(xf ；（ 3）①若求单调区间（或证明单调性），只需在函数
的定义域内解（或证明）不等式 ＞0 或 ＜0。②若已知 的单调性，则转
化为不等式 ≥0 或 ≤0 在单调区间上恒成立问题求解。
要点 3：利用导数研究函数的极值与最值
1.在求可导函数的极值时，应注意：（以下将导函数 取值为 0 的点称为函数 )(xf 的
驻点可导函数的极值点一定是它的驻点，注意一定要是可导函数。例如函数 || xy 在点 0x
处有极小值 )0(f =0，可是这里的 )0(f 根本不存在，所以点 0x 不是 的驻点.(1) 可
导函数的驻点可能是它的极值点，也可能不是极值点。例如函数
3)( xxf 的导数
23)( xxf ，在点 0x 处有 0)0( f ，即点 0x 是
3)( xxf 的驻点，但从 )(xf 在
, 上为增函数可知，点 0x 不是 )(xf 的极值点.(2) 求一个可导函数的极值时，常
常把驻点附近的函数值的讨论情况列成表格，这样可使函数在各单调区间的增减情况一目了
然.(3) 在求实际问题中的最大值和最小值时，一般是先找出自变量、因变量，建立函数关系
式，并确定其定义域.如果定义域是一个开区间，函数在定义域内可导（其实只要是初等函数，
它在自己的定义域内必然可导），并且按常理分析，此函数在这一开区间内应该有最大（小）
值（如果定义域是闭区间，那么只要函数在此闭区间上连续，它就一定有最大（小）.记住这
个定理很有好处），然后通过对函数求导，发现定义域内只有一个驻点，那么立即可以断定在
这个驻点处的函数值就是最大（小）值。知道这一点是非常重要的，因为它在应用
一般情况下选那个不带常数的。因为
)()()(])([)( aFbFxFcxFdxxf b
a
b
a
b
a
.
3．利用定积分来求面积时，特别是位于 x 轴两侧的图形的面积的计算，分两部分进行计
算，然后求两部分的代数和.
三、易错点点睛
命题角度 1 导数的概念与运算
1．设 0 ( ) sinf x x ， 10( ) ( )f x f x , 21( ) ( )f x f x …, 1( ) ( )nnf x f x ,n∈N,则 2012 ()fx
( )
A.sinx B.-sinx C.cosx D.-cosx
[考场错解] 选 C
[专家把脉] 由 1()fx = 0 ()fx (sin ) cosxx, (cos ) sinxx ,f3(x)
=(-sinx)’=-cosx, 3( ) ( sin ) cosf x x x ， 4 ( ) ( cos ) sinf x x x ，故周期为 4。
[对症下药] 选 A
2．已知函数 ()fx在 x=1 处的导数为 3， 的解析式可能为 （ ）
A． =(x-1)3+32(x-1) B． =2x+1 C． =2(x-1)2
D． =-x+3
[考场错解] 选 B ∵f(x)=2x+1,∴f’(x)=(2x+1)’=2x+1|x=1=3.
[专家把脉] 上面解答错误原因是导数公式不熟悉，认为（2x+1）’ =2x+1.正确的是（2x+1）’
=2,所以 x=1 时的导数是 2，不是 3。
=2e-x
cosx 令 f’(x)=0,x=nπ + 2
（n=1，2，3，…）从而 xn=nπ + 。f(xn)=e-( nπ
+ )(-1)n· )(
)( 1
n
n
xf
xf
=-e 2
.
∴数列{f(xn)}是公比为 q=-e-π 的等比数列。
[专家把脉] 上面解答求导过程中出现了错误，即（e-x）’ =e-x 是错误的，由复合函数的求导
法则知（e-x）’ =e-x(-x)’=-e-x 才是正确的。
[对诊下药]（1）证明：f’(x)=(e-x)’(cos+sinx)+e-x(cosx+sinx)’ =-e-x(cosx+sinx)
+e-x(-sinx+cos)
=-2e-xsinx. 令 f’(x)=0 得-2e-xsinx=0，解出 x=nπ ,(n 为整数，从而 xn=nπ (n=1,2,3,…)，
f(xn)=(-1)ne-nπ
exf
xf
n
n
)(
)( 1
,所以数列|f(xn)|是公比 q=-e-π 的等比数列，且首项 f(x1)=-e-
π
(2)Sn=x1f(x1)+x2f(x2)+…+xnf(xn)=nq(1+2q+…+nqn-1)
aSn=π q(q+2q2+…+nqn)=π q( q
qn
1
1
-nqn)从而 Sn= q
q
1
( -nqn)
2
2
3
2
2
21
)1(
)1(
)1(
2
)1( q
qq
qn
q
q
q
n
SSS n
nn
∵|q|=e-π <1 ∴ n
lim
qn=0,∴ 22
21
)1()1(
e
e
q
q
n
SnSS
专家会诊 1．理解导数的概念时应注意导数定义的另一种形式：设函数 f(x)在 x=a 处可导，
则
)(')()(lim afax
afxf
n
的运用。2．复合函数的求导，关键是搞清复合关系，求导应从外层到
内层进行，注意不要遗漏 3．求导数时，先化简再求导是运算的基本方法，一般地，分式函数
求导，先看是否化为整式函数或较简单的分式函数；对数函数求导先化为和或差形式；多项
式的积的求导，先展开再求导等等。
命题角度 2 导数几何意义的运用
1.曲线 y=x3 在点(1,1)的切线与 x 轴、直线 x=2 所围成的三角形面积为_________.
[考场错解] 填 2 由曲线 y=x3 在点（1，1）的切线斜率为 1，∴切线方程为 y-1==x-1,y=x.所
以三条直线 y=x,x=0,x=2 所围成的三角形面积为 S= 2
1
×2×2=2。
[专家把脉] 根据导数的几何意义，曲线在某点处的切线斜率等于函数在这点处的导数，上面
的解答显然是不知道这点，无故得出切线的斜率为 1 显然是错误的。
[对症下药] 填 3
8
。∵ ()fx =3x2 当 x=1 时 f’(1)=3.由导数的几何意义知，曲线在点（1，
1）处的斜率为 3。即切线方程为 y-1=3(x-1) 得 y=3x-2.联立
2
23
x
xy
得交点（2，4）。又
y=3x-2 与 x 轴交于（ 3
2
，0）。∴三条直线所围成的面积为 S= ×4×（2- 3
2
）= 3
8
。
2．设 t≠0,点 P（t,0）是函数 ()fx=x3+ax 与 g(x)=bx3+c 的图像的一个公共点，两函数的图
像在 P 点处有相同的切线。（1）用 t 表示 a、b、c；（ 2）若函数 y=f(x)-g(x)在（-1，3）上
单调递减，求 t 的取值范围。
[考场错解] （1）∵函数 =x3+ax 与 g(x)=bx2+c 的图像的一个公共点 P(t,0).∴
f(t)=g(t) t3+at=bt2+c. ①又两函数的图像在点 P 处有相同的切线，∴f’(t)=g’(t)
3t3+a=2bt. ②由①得 b=t,代入②得 a=-t2.∴c=-t3.
[专家把脉] 上面解答中得 b=t 理由不充足，事实上只由①、②两式是不可用 t 表示 a、b、c，
其实错解在使用两函数有公共点 P，只是利用 f(t)=g(t)是不准确的，准确的结论应是 f(t)=0，
即 t3+at=0，因为 t≠0,所以 a=-t2.g(t)=0 即 bt2+c=0,所以 c=ab 又因为 f(x)、g(x)在（t,0）
处有相同的切线，
所以 f’(t)=g;(t).即 3t2+a=2bt, ∵a=-t2, ∴b=t.因此 c=ab=-t2·t=-t3.故 a=-t2,b=t,c=-t3
(2)解法 1 y= -g(x)=x3-t2x-tx2+t3 y’=3x2-2tx-t2=(3x+t)(x-t).
当 y’=(3x+t)(x-t)<0 时,函数 y=f(d)-g(x)单调递减。 由 y’<0,若 t<0,则 t
0,
则- 0∴f(x)在(-∞,-1)与(1，+∞)上是增函数。
若 x∈[-1,1]时，f’(x) ≤0,故 f9x)在[-1，1]上是减函数。
∴f(-1)=2 是极大值。f(1)=-2 是极小值。
（2）解：曲线方程为 y= ()fx=x3-3x,点 A（0，16）不在曲线上。设切点 M（x0,y0）,则点 M
在曲线上，
∴y0=x3
0-3x0.因 f’(x0)=3x2
0-3.故切线的方程为 y-y0=(3x2
0-3)(x-x0). ∵点 A（0，16）在曲线
上，有 16-（x2
0-0）=3(x2
0-1)(0-x0),化简得 x3
0=-8，得 x0=-2.
专家会诊 设函数 y=f(x),在点(x0,y0)处的导数为 f’(x0)，则过此点的切线的斜率为 f’(x0),
在此点处的切线方程为 y-y0=f’(x0)(x-x0).利用导数的这个几何意义可将解析几何的问题转
化为代数问题求解。
命题角度 3 导数的应用
1．（典型例题）已知函数 =-x3+3x2+9x+a.(1)求 的单调递减区间；（2）若 在区
间[-2，2]上最大值为 20，求它在该区间上的最小值。
[考场错解]（1） ()fx =-3x2+6x+9,令 ()fx <0,解得 x<-1 或 x>3,∴函数 的音调递减区
间为（-∞，-1）（ 3，+∞）
（2）令 =0,得 x=-1 或 x=3 当-20;当 x>3 时，
()fx <0.
∴x=-1,是 的极不值点，x=3 是极大值点。∴f(3)=-27+27+27+a=20,∴a=-7. 的最小
值为 f(-1)=-1+3-9+a=-14.
[专家把脉] 在闭区间上求函数的最大值和最小值，应把极值点的函数值与两端点的函数值进
行比较大小才能产生最大（小）值点，而上面解答题直接用极大（小）值替代最大（小）值，
这显然是错误的。
[专家把脉] 当 ()fx >0 时， ()fx是减函数，但反之并不尽然，如 =-x3 是减函数，
()fx =3x2 并不恒小于 0，（ x=0 时 ()fx =0）.因此本题应该有 在 R 上恒小于或等于 0。
[对症下药] 函数 的导数： ()fx =3x2+6x-1.
当 ()fx =3ax2+6x-1<0 对任何 x∈R 恒成立时， 在 R 上是减函数。
①对任何 x∈R,3ax2+6x-1<0 恒成立， a<0 且△=36+12a<0 a<-3.
所以当 a<-3 时，由 <0 对任何 x∈R 恒成立时， 在 R 上是减函数。
②当 a=-3 时, =-3x3+3x2-x+1=-3(x- 3
1
)3+ 8
9
.
由函数 y=x3 在 R 上的单调性知，当 a=-3 时， 在 R 上是减函数。
③当 a>-3 时，f’(x)=3ax2+6x-1>0 在 R 上至少可解得一个区间，所以当 a>-3 时， 是在
R 上的减函数。综上，所求 a 的取值范围是（-∞，-3）。
3．已知 a∈R,讨论函数 =ex(x2+ax+a+1)的极值点的个数。
[对症下药] ()fx =ex(a2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]
令 =0 得 x2+(a+2)x+(2a+1)=0.
(1)当△=（a+2）2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0 即 a<0 或 a>4 时,方程 x2+(a+2)x+(2a+1)=0 有两
个不同的实根 x1、x2,不妨设 x10;当 x>x1 时，f’(x)>0 因此 f(x)无极值。
（3）当△<0，即 00 ,f’(x)=ex[x2+(a+2)x+(2a+1)]>0,故 f(x)为
增函数，此时 f(x)无极值点，因此，当 a>4 或 a<0 时，f(x)有两个极值点，当 0≤a≤4 时，
f(x)无极值点。
4．设函数 ()fx=x-ln(x+m)其中常数 m 为整数。（1）当 m 为何值时， ≥0;(2)定理：若
g(x)在[a、b]上连续，且 g(a)与 g(b)异号，则至少存在一点 x0∈(a、b),使 g(x0)=0.试用上
述定理证明：当整数 m>1 时，方程 =0，在[e-m-m,e2m-m]内有两个实根。
[考场错解] 令 ≥0,x≥ln(x+m).∴m≤ex-x ∴m 取小于或等于 ex-x 的整数。
[专家把脉] 上面解答对题意理解错误，原题“当 m 为何值时， ≥0 恒成立”，并不是对
x 的一定范围成立。因此，m≤ex-x 这个结果显然是错误的。
[对症下药] （1）函数 =x-ln(x+m),x∈(-m,+ ∞)连续，且 f’(x)=1- mx
1
,令 f’(x)=0,
得 x=1-m.当-m1-m 时， ()fx >0, 为增函
数。
根据函数极值判别方法，f(1-m)=1-m 为极小值，而且对 x∈(-m,+ ∞)都有 ≥f(1-m)=1-m，
故当 1-m=f(
x
min )≥0,即 m≤1 时， ≥0.即 m≤1 且 m∈Z 时， ≥0.
(2)证明：由（1）可知，当整数 m>1 时，f(1-m)=1-m<0,f(e-m-m)=e-m-m-ln(e-m-m+m)=e-m>0,又
为连续函数，且当 m>1 时，f(e-m-m)与 f(1-m)异号，由所给定理知，存在唯一的 x1∈(e-m-m;1-m),
使 f(x1)=0,而当 m>1 时，f(e2m-m)=e2m-3m>(1+1)2m-3m>1+2m+ 2
)12(2 mm
-3m>0.(∵m>1 2m-1>1).
类似地，当整数 m>1 时， ()fx=x-ln(x+m)在[1-m,e2m-m]上为连续增函数，且 f(1-m)与 f(e2m-m)
∵x<10 时,V’>0,1036 时 V’>0.所以，当 x=10 时 V 有最大值 V（10）=1960cm3
又 V(0)=0,V(24)=0 所以当 x=10 时,V 有最大值 V（10）=1960。所以该窗口的高为 10cm，容器
的容积最大，最大容积是 1960cm3.
专家会诊 1．证函数 在（a,b）上单调，可以用函数的单调性定义，也可用导数来证明，
前者较繁，后者较易，要注意若 在（a、b）内个别点上满足 ()fx =0(或不存在但连续)
其余点满足 >0(或 <0)函数 仍然在（a、b）内单调递增（或递减），即导数为
零的点不一定是增、减区间的分界点。
2．函数的极值是在局部对函数值的比较，函数在区间上的极大值（或极小值）可能有若干个，
而且有时极小值大于它的极大值，另外， =0 是可导数 f(x)在 x=x0 处取极值的必要而不
充分条件，对于连续函数（不一定处处可导）时可以是不必要条件。
3．函数的最大值、最小值，表示函数 f(x)在整个区间的情况，即是在整体区间上对函数值
(Ⅱ)由(Ⅰ)得
3215( ) 6 132f x x x x
且 31 x 则
)3)(2(65)( 2 xxxxxf
由 0)( xf ，解得 2x 或 3x ； 0)( xf ，解得 3x 或 2x ； 0)( xf ，解得
32 x
)(xf 的递增区间为: )2,( 和 ),3( ； )(xf 递减区间为: )3,2( 又
2
7)3(,3
11)2(,6
17)1( fff
要 0)( mxf 有两个根,则 mxf )( 有两解，由函数的单调性可得：
11 7
32m
。
2、设函数
axaxxxf 23
3
1)(
， cxxxg 42)( 2
.（Ⅰ）试问函数 )(xf 能否在 1x
时取得极值？说明理由；（Ⅱ）若 1a ，当 ]4,3[x 时， )(xf 与 )(xg 的图象恰好有两个
公共点，求c 的取值范围.
【解析】：(Ⅰ) aaxxxf 2)( 2'
， 令 0)1(' f ， 1a …… 2 分
当 1a 时， 0)(' xf ， )(xf 在 R 上单调递增，函数无极值.所以 )(xf 在 1x 处无极
值.… 4 分
(Ⅱ) )()( xgxf ，
xxxc 33
1 23
，令
xxxxh 33
1)( 23
， 32)( 2' xxxh ，
0)(' xh令 ， 1x 或3
x 3 )1,3( 1 )3,1( 3 )4,3( 4
)(' xh 正 0 负 0 正
)(xh 9 单调递增
极大值 3
5
单调递减 极小值 9 单调递增
3
20
与 的图象恰好有两个公共点，等价于 )(xhy 的图象与直线 cy 恰好有两个交
点
3
5
3
20 c
或 9c ………………… 12 分
3、已知函数 23)( bxaxxf 的图象经过点 )4,1(M ，曲线在点 M 处的切线恰好与直线
09 yx 垂直。(Ⅰ)求实数 ba, 的值；（Ⅱ）若函数 )(xf 在区间 ]12,[ mm 上单调递增，
求 m 的取值范围。
【解析】：(Ⅰ) )(xf 的图象经过点 )4,1(M ， 4 ba 。…2 分又 bxaxxf 23)( 2' ，
则 baf 23)1(' 。由条件知
' 1(1) ( ) 19f
，即 923 ba 。… 4 分联立
923
4
ba
ba
解
得
3
1
b
a
6 分
（Ⅱ）
23 3)( xxxf ， xxxf 63)( 2' ，令 063)( 2' xxxf ，解得 0x ，或
2x 。…8 分
函数 )(xf 在区间 ]12,[ mm 上单调递增，
),0[]12,[],2,(]12,[ mmmm 或 。…10 分
则
0
12,212
12
m
mm
m
mm 或
，即 0m …12 分
4、已知函数
RbaRaxbx
axxf ,0),0()( 且其中
(Ⅰ)若曲线 y f x 在点
2, 2Pf 处的切线方程为 31yx,求函数 fx解析式;(Ⅱ) 求函数 的单调区
间;(Ⅲ) 若对于任意的
1 ,22a ,不等式 10fx 在
1 ,14
上恒成立,求b 的取值范围.
39 4,4
9,
ba
ba
对任意的 成立.从而得
7 ,4b
所以满足条件b 的取值范围是
7, 4
……….13 分
5、若定义在 R 上的函数
32( ) 3f x ax bx cx 同时满足以下条件：① ()fx在 0,1 上
是减函数，在 1, 上是增函数； ② )(xf 是偶函数；③ )(xf 在 0x 处的切线与直线
2yx垂直. （Ⅰ）求函数 )(xfy 的解析式；（Ⅱ）设 ( ) 4lng x x m，若存在 ex ,1 ，
使 )()( xfxg ，求实数 m 的取值范围
【解析】：（ Ⅰ） cbxaxxf 23)( 2
，∵ 在 上是减函数，在 上是增函
数，
∴ (1) 3 2 0f a b c ， ( )由 ()fx 是偶函数得： 0b ，又 )(xf 在 0x 处的切线与
直线 2yx垂直， (0) 1fc ，代入( )得：
,3
1a
即
33
1)( 3 xxxf
....5 分
（Ⅱ）由已知得：若存在 ex ,1 ，使 24ln 1x m x ，即存在 ，使
24ln 1m x x .
设 exxxxM ,1,1ln4) 2 （ ，则
24 4 2( ) 2 xM x xxx
，.....8 分
令 ()Mx ＝0，∵ ，∴ 2x ， 当 2x 时， ( ) 0Mx ，∴ ()Mx在 ( 2, ]e 上
为减函数，当12x 时， ( ) 0Mx ，∴ 在[1, 2]上为增函数，∴ ()Mx在[1, ]e 上
有最大值.
又 05)(,0111 2 eeMM ）（ ，∴ ()Mx最小值为 25 e . 于是有 25 em 为所
求..13 分
6、设函数
21( ) ln ( ).2
af x x ax x a R
(Ⅰ) 当 1a 时，求函数 ()fx的极值；
（Ⅱ）当 1a 时，讨论函数 ()fx的单调性.（Ⅲ）若对任意 (3,4)a 及任意 12, [1,2]xx ，
恒有
2
12
( 1) ln 2 ( ) ( )2
a m f x f x
成立，求实数 m 的取值范围.
【解析】：(Ⅰ)函数的定义域为(0, ) . 当 1a 时，
' 11( ) ln , ( ) 1 ,xf x x x f x xx
2 分
当 01x时，
' ( ) 0;fx 当 1x 时，
' ( ) 0.fx ( ) = (1) 1,f x f极小值 无极大值. 4
分
（Ⅱ）
' 1( ) (1 )f x a x a x
2(1 ) 1a x ax
x
1(1 )( )( 1)1a x xa
x
5 分
当
1 11a ，即 2a 时，
2
' (1 )( ) 0,xfx x
()fx在定义域上是减函数；
当
1 11a ，即 2a 时，令
' ( ) 0,fx 得
10 1x a 或 1;x
令
' ( ) 0,fx 得
1 1.1 xa 当
1 11a ，即12a时，令 得 01x或
1 ;1x a
令 得
11.1x a 综上，当 2a 时， 在 上是减函数；
当 2a 时， 在
1(0, )1a 和 (1, ) 单调递减，在
1( ,1)1a 上单调递增；
当12a时， ()fx在(0,1) 和
1( , )1a 单调递减，在
1(1, )1a 上单调递增； 8 分
即 '( ) e ( 2)( 1) ( 0)kxf x kx x k .令 '( ) 0fx ，解得： 1x 或
2x k
.
当 2k 时，
22'( ) 2e ( 1) 0xf x x ，故 ()fx的单调递增区间是( , )- ? ? .……3 分
当 20k 时， ， '( )fx随 x 的变化情况如下：
x 2( , )k
2
k
2( , 1)k
1 ( 1, )
'( )fx 0 0
[ 极大值 极小值
所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .……5 分
当 2k 时， ， 随 的变化情况如下：
( , 1)
2( 1, )k
2( , )k
极大值 极小值
所以，函数 的单调递增区间是 和 ，单调递减区间是 .…7
分
（Ⅱ）当 1k =- 时， 的极大值等于 23e . 理由如下：当 时， 无极大值.
当 20k 时，
()fx的极大值为
2
2
2 4 1( ) e ( )f k k k
，…8 分
令
22
2
41e ( ) 3ekk
，即 2
413,kk
解得 1k 或
4
3k
（舍）…9 分 当 2k 时，
的极大
值为
e( 1)
k
f k
.……10 分因为 2eek ，
110 2k
所以
2e1e2
k
k
.因为
221 e 3e2
，所以
的极大值不可能等于 23e .综上所述，当 1k 时， 的极大值等于 ……12 分
8、已知函数 ( ) , ( ) lnxxf x e ax g x e x （ e 是自然对数的底数）（Ⅰ）若对于任意
, ( ) 0x f xR 恒成立，试确定实数 a 的取值范围；(Ⅱ)当 1a 时，是否存在 0 (0, )x ，
使曲线 : ( ) ( )C y g x f x在点 0xx 处的切线斜率与 ()fx在 R 上的最小值相等？若存在，
求符合条件的 0x 的个数；若不存在，请说明理由.
【解析】：（ Ⅰ） '( ) xf x e a①当 0a 时， '( ) 0, ( )f x f x 在 R 上单调递增，且当 x
时， 0,xe ax ， ()fx ，故 ( ) 0fx 不恒成立，所以 0a 不合题意；②当
0a 时， ( ) 0xf x e对 xR 恒成立，所以 符合题意；
③当 0a 时令 '( ) 0xf x e a ，得 ln( )xa，当 ( , ,ln( ))xa 时， '( ) 0fx ，当
(ln( ), )xa 时， '( ) 0fx ，故 ()fx在( ,ln( ))a 上是单调递减，在(ln( ), )a 上
是单调递增, 所以 min[ ( )] (ln( )) ln( ) 0, ,f x f a a a a a e 又 0a ，
( ,0)ae ，综上： ( ,0]ae .
(Ⅱ)当 1a 时，由（2）知 min[ ( )] (ln( )) ln( ) 1f x f a a a a ，
设 ( ) ( ) ( ) lnxxh x g x f x e x e x ，则
/ 11( ) ln 1 (ln 1) 1x x x xh x e x e e e xxx
，
【解析】：（ 1）
1)ln2
1(2
12)( axxxxxf xx ln2
1
2
12 a
2
1)1( f
， 2
102
112 a
， 2a
(Ⅱ)
2)2ln2
1()( 2 xxxxf
因为 2x ，所以 42
)(
x
xfm
恒成立求 42
)()( x
xfxg
的
最小值
2
2
)42(
2)22ln2()42)(2
3ln2
12(
)(
x
xxxxxxx
xg
2
2
)42(
ln2272
x
xxx
令 xxxxh ln2272)( 2
0)2)(14(274274)(
2
x
xx
x
xx
xxxh
故 )(xh 在（2，+∞）上为增函数
02ln24)2( h , 03ln21)3( h , 04ln26)4( h
所以最小值点 0x 满足 43 0 x ，
02
7ln22)2
7( h
∴
)4,2
7(0 x
当 0 0 02 , ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) (2, )x x h x h x g x g x x 即 在 递减
0 0 0, ( ) ( ) 0, ( ) 0, ( ) ( , )x x h x h x g x g x x 即 在 递增 min 02 ( )x x g x 时,g( )
∵
2
0 0 0 00 ( ) 2 2ln 7 2h x x x x ∴
2
0 0 0
7ln 12x x x
∴
2
1
8
1
4
1
42
22
3
4
3
2
1
42
2]2)12
7(2
1[
)( 0
2
0
0
0
2
0
3
0
0
00
2
0
2
0
0
xxx
xxx
x
xxxx
xg
故：
0
73 ( ) ( ) (4) 4 32g g x g m 整数 的最大值为
10、已知函数 32f x x ax 4 .（Ⅰ）当 a3 时，求函数 fx在区间 1,1 上的最大
值与最小值；（Ⅱ）若存在 0x 0, ，使 0f x 0 ，求 a 的取值范围.
【解析】：（ Ⅰ）由 32f x x 3x 4 则 /2f x 3x 6x 0 得0 x 2
知 fx在区间 0,1 上单调递增，在区间 1,0 上单调递减.-- -----------（4 分）
故 minf x f 0 4 .又 f 1 0， f 1 2 ，故 maxf x 0 .---------------（2
分）
（Ⅱ）依题意，只需 maxf x 0 ， x 0, .则依 /2f x 3x 2ax 0
①当 a0 时，得
2a0x 3
，知 在区间
2a0, 3
上单调递增，在区间
2a ,3
上单
调递减.
故
3 3 3
max
2a 8a 4a 4af x f 4 4 03 27 9 27
得 a3 .---------（3 分）
②当 a0 时， /2f x 3x 2ax 0 ，知 在区间 0, 上单调递减.
maxf x f 0 4 0 不成立.综上所述，所求 a 的取值范围是 3, ---------------
（3 分）
11、函数(x)=x2―x―lnx. （Ⅰ）求函数(x)的单调区间；（Ⅱ）是否存在实数 m,n，同时满
足下列条件①1≤m0 时， 上是减函数，在时，当 ),0()(,0)('01,0)(' xfxfxxf
