江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试数学试题 含解析

江苏省盐城市2020届高三上学期期中考试 数学试题 ‎2019．11‎ 一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上．）‎ ‎1．已知集合A＝，B＝[0，)，则AB＝ ．‎ 答案：{1}‎ 考点：集合的交集运算 解析：∵集合A＝，∴集合A＝{﹣1，1}‎ ‎ ∵B＝[0，)，∴AB＝{1}．‎ ‎2．已知角的始边为x轴的正半轴，点P（1，2）是其终边上一点，则cos的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的定义 解析：cos ．‎ ‎3．“m＞1”是“m＞2”的 条件（选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充分必要”、“既不充分也不必要”之一）．‎ 答案：必要不充分 考点：充分条件、必要条件以及充要条件的判断 解析：∵“m＞2”能推出“m＞1”，但是“m＞1”推不出“m＞2”‎ ‎ ∴“m＞1”是“m＞2”的必要不充分条件．‎ ‎4．若向量＝(l，m)，＝(3，2)，∥，则实数m的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：平行（共线）向量坐标运算 解析：∵量＝(l，m)，＝(3，2)，∥，‎ ‎ ∴1×2﹣3m＝0，求得m＝．‎ ‎5．函数的定义域为 ．‎ 答案：[2，)‎ 考点：函数的定义域 解析：∵‎ ‎ ∴，解得x≥2，故函数的定义域为[2，)．‎ ‎6．若函数为奇函数，当x＞0时，，则的值为 ．‎ 答案：﹣3‎ 考点：奇函数的性质 解析：∵函数为奇函数，‎ ‎ ∴．‎ ‎7．设为等差数列的前n项和，若，且公差d≠0，则的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：等差数列及其前n项和 解析：∵为等差数列的前n项和，且，‎ ‎ ∴，即，故．‎ ‎8．若sin(＋)＝﹣，则cos2的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：诱导公式，倍角公式 解析：∵sin(＋)＝﹣，∴‎ ‎ ∴cos2．‎ ‎9．若函数的图象关于直线x＝a对称，则的最小值是 ．‎ 答案：‎ 考点：三角函数的图像与性质 解析：，其对称轴为，当k＝﹣1时， 最小为．‎ ‎10．若函数在(﹣1，)上是增函数，则实数a的取值范围是 ．‎ 答案：[0，1]‎ 考点：函数的单调性 解析：由题意得：‎ ‎ 或解得a＝0或0＜a≤1，即0≤a≤1，‎ ‎ 故实数a的取值范围是[0，1]．‎ ‎11．若数列满足，＝2，则数列是等比数列，则数列的前19项和的值为 ．‎ 答案：1534‎ 考点：等比数列的定义及前n项和 解析：由题意知，，则数列是以1为首项，2为公比的等比数列，‎ ‎ 则，，‎ ‎ 则，故，‎ ‎ ，‎ ‎ ∴．‎ ‎12．如图，在△ABC中，AB＝，AC＝，，，，，若MN⊥BC，则cosA的值为 ．‎ 答案：‎ 考点：平面向量数量积 解析：，，因为MN⊥BC，‎ ‎ 所以，即，‎ ‎ 化简得：，又AB＝，AC＝，‎ ‎ 计算得＝1，则cosA＝．‎ ‎13．在△ABC中，AC＝1，AB＝，D为BC的中点，∠CAD＝2∠BAD，则BC的长为 ．‎ 答案：‎ 考点：解三角形（面积法与余弦定理）‎ 解析：因为D为BC的中点，所以S△ACD＝S△ABD，‎ ‎ 故，‎ ‎ 因为sin∠CAD＝sin2∠BAD＝2sin∠BADcos∠BAD，AC＝1，AB＝代入上式，‎ ‎ 得cos∠BAD＝，∵0＜∠BAD＜π，故∠BAD＝，∠BAC＝，‎ ‎ ．‎ ‎14．设函数，若对任意的实数a，总存在[0，2]，使得，则实数m的取值范围是 ．‎ 答案：(，]‎ 考点：函数与不等式（讨论最值解决恒成立、存在性问题）‎ 解析：令，，‎ ‎ 故在[0，1]单调递减，在[1，2]单调递增，‎ ‎ 求得，，，‎ ‎ 当时，的最大值为，‎ ‎ 故恒成立，；‎ ‎ 当时，的最大值为，‎ ‎ 故恒成立，．‎ ‎ 综上所述，对任意的实数a，总存在[0，2]，使得，则实数m 的取值范围是，即(，]．‎ 二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎15．（本题满分14分）‎ 若函数(＞0，0＜＜)的图象经过点(0，)，且相邻的两个零点差的绝对值为6．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象，当[﹣1，5]时，求的值域．‎ 解：(1) 相邻的两个零点差的绝对值为6，‎ 记的周期为，则,‎ 又，. ...............................................................................2分 ‎;‎ 的图象经过点，‎ ‎，， ..................................................4分 函数的解析式为..................................................6分 ‎(2) 将函数的图象向右平移3个单位后得到函数的图象,‎ 由(1)得，，‎ 函数的解析式为；.............10分 当时，，则. ‎ 综上，当时，的值域为...................................14分 ‎16．（本题满分14分）‎ 设p：“，”；q：“在区间[﹣1，1]‎ 上有零点”．‎ ‎（1）若p为真命题，求实数a的取值范围；‎ ‎（2）若pq为真命题，且pq为假命题，求实数a的取值范围．‎ 解：(1) 为真命题，则,；........................... 4分 ‎(2) 为真命题，为假命题,‎ 则一真一假......................................6分 若为真命题，则在在有解，‎ 又的值域为，...........................8分 ① 真假,‎ 则..............................10分 ② 假真, 则无解......................................12分 综上，实数a的取值范围是................................14分 ‎17．（本题满分14分）‎ 如图所示是某社区公园的平面图，ABCD为矩形，AB＝200米，BC＝100米，为了便于居民观赏花草，现欲在矩形ABCD内修建5条道路AE，DE，EF，BF，CF，道路的宽度忽略不计，考虑对称美，要求直线EF垂直平分边AD，且线段EF的中点是矩形的中心，求这5条路总长度的最小值．‎ 解：（法一）设，过作于，‎ 垂直平分，(米)，‎ ‎(米)，(米)，‎ 又的中点是矩形的中心，‎ ‎(米)，‎ 记这5条路总长度为(米)，‎ 则，..................................6分 即，‎ ‎，.................................8分 化简得，由，可得，.........................10分 列表如下：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由上表可知，当时，取最小值 (米) ..................13分 答：5条道路的总长度的最小值为(米)............................14分 ‎（法二）过作于，设(米)( )‎ 因垂直平分，故(米)，‎ 又的中点是矩形的中心，(米)；‎ 在中，(米)，‎ 由对称性可得，(米)；‎ 记这5条路总长度为(米)，‎ ‎................................6分 ‎...............................8分 令解得(负值舍)..............................10分 列表如下：‎ ‎↘‎ ‎↗‎ 由上表可知，当时，取最小值............................13分 答：5条道路的总长度的最小值为米............................14分 ‎（法三）同方法二得到，以下可用判别式法.‎ ‎18．（本题满分16分）‎ 如图，在△ABC中，AB＝5，AC＝4，点D为△ABC内一点，满足BD＝CD＝2，且．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求边BC的长．‎ 解：（1）设，，，‎ 由，‎ 所以，即，............................2分 又为三角形的内角，所以，..............................4分 在中，，所以，.......................6分 同理，.................................8分 所以，................................10分 ‎（2）在中，，......................12分 同理，.................................14分 由（1）可得，解得................................16分 ‎19．（本题满分16分）‎ 在数列的每相邻两项之间插入此两项的和，形成新的数列，这样的操作叫做该数列的一次拓展．如数列1，2，经过第1次拓展得到数列1，3，2；经过第2次拓展得到数列1，4，3，5，2；设数列a，b，c经过第n次拓展后所得数列的项数记为，所有项的和记为．‎ ‎（1）求P1，P2，P3；‎ ‎（2）若≥2019，求n的最小值；‎ ‎（3）是否存在实数a，b，c使得数列为等比数列，若存在，求a，b，c满足的条件；若不存在，请说明理由．‎ 解：（1）因原数列有3项，经第1次拓展后的项数；‎ 经第2次拓展后的项数；‎ 经第3次拓展后的项数...............................3分 ‎（2）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，‎ 由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，‎ 所以，..............................5分 所以，‎ 由（1）知，所以，，.....................7分 由，即，解得，‎ 所以的最小值为10.................................8分 ‎（3）设第次拓展后数列的各项为，‎ 所以，‎ 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，‎ 所以，‎ 即，所以，........................12分 得，，，‎ 因为数列为等比数列，所以，可得，.............................14分 则，由得，‎ 反之，当且时，，，，所以数列为等比数列，‎ 综上，满足的条件为且..........................16分 ‎20．（本题满分16分）‎ 设函数，为常数．‎ ‎（1）当a＝0时，求函数的图象在点P(0，)处的切线方程；‎ ‎（2）若函数有两个不同的零点，，①当时，求的最小值；②当＝1时，求的值．‎ 解：（1）当时，，，，，‎ 故所求切线的方程为，即......................2分 ‎（2）①，令，则，‎ 当时恒成立，故在上递减，‎ 令得，故在上递增，又，，的图象在上连续不间断，所以存在唯一实数使得，...............4分 故时，时，所以在上递减，在上递增，‎ ‎∴，由得，‎ ‎∴，........................6分 因为函数有两个不同的零点,，所以，得，‎ 由易得，故整数,‎ 当时，，满足题意，‎ 故整数的最小值为.（也可以用零点存在性定理给出证明）................10分 注：由得，不能得到.‎ ‎②法一：当时，，由得，，‎ 两式相乘得，‎ 得（※）.......................12分 不妨设，由及的单调性可知，..........14分 故，‎ 当时（※）式成立；‎ 当时（※）式左边大于1，右边小于1，（※）式不成立；‎ 当时（※）式左边小于1，右边大于1，（※）式不成立；‎ 综上，...............16分 法二：当时，，‎ 不妨设，由及的单调性可知，.............12分 由得，‎ ‎∴，.............14分 故函数有两个不同的零点,，又由的单调性可知有且仅有两个不同的零点,，‎ ‎∴，∴..............................16分