专题11-4 热点题型三 相关关系与线性回归方程-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

专题11-4 热点题型三 相关关系与线性回归方程-《奇招制胜》2017年高考数学（理）热点+题型全突破

热点题型三 相关关系与线性回归方程及独立性检验 近年来在高考中对相关关系及线性回归方程的考查经常出现，主要考查学生数据处 理能力，运算能力，阅读能力及概率与统计思想，题目难度为中等。为了便于学习 和掌握此类问题的求解方法,下面结合高考题进行了以下归纳： 类型一 ：相关性与线性回归方程 类型二 ：独立性检验 【基础知识整合】 第一部分：变量间的相关性 1.两个变量的线性相关 （1）正相关；在散点图中，点散布在从左下角到右上角的区域，对于两个变量的 这种相关关系， 我们将它称为正相关． （2）负相关；在散点图中，点散布在从左上角到右下角的区域，对于两个变量的 这种相关关系， 我们将它称为负相关． （3）线性相关；如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，称两个 变量具有线性相关关 系，该直线叫做回归直线． 2.回归方程: (1) 最小二乘法;使得样本数据的点到回归直线的距离的平方的和最小的方法叫最 小二乘法． (2)回归方程：两个具有线性相关关系的变量的一组数据：(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn， yn)． 其回归方程为y^＝b^x＋a^，则                       .ˆˆ , )( ))(( ˆ 1 22 1 1 2 1 xbya xnx yxnyx xx yyxx b n i i n i ii n i i n i ii 其中( x ， y )称为样本点的中心． 3.残差分析; (1)残差;对于样本点(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，它们的随机误差为 ei＝yi－bxi－a，i＝1,2，…，n，其估计值为 e^i＝yi－y^i＝yi－b^xi－a^，i＝1,2，…，n.e^i 称为相应于点 (xi，yi)的残差． (2) 利 用 相 关 指 数 R2 ＝ 1 －     2 1 2 1 n i i i n i i y y y y       刻 画 回 归 效 果 时 ,R2 越 大 , 意 味 着 残 差 平 方 和  2 1 n i i i y y   越小,模型的拟合效果越好. 第二部分：独立性检验 .独立性检验(1) 2×2 列联表;假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的可能取值分别为{x1， x2}和{y1，y2}， 其样本频数列联表(2×2 列联表)为 Y X y1 y2 合计 x1 a b a＋b x2 c d c＋d 合计 a＋c b＋d a＋b＋c＋d (2) K2 统计量；K2＝        2n ad bc a c a b c d b d      n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） ；(其 中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)． 名师点睛：(1)回归直线与样本点的中心( x ，y ),回归直线y^＝b^x＋a^必过样本点的中 心( x ， y )． (2)相关系数与线性相关性：①相关系数的计算公式： ②当 r＞0 时，表明两个变量正相关；当 r＜0 时，表明两个变量负相关． ③当|r|∈0.75,1]时，表明两个变量相关性很强；当|r|∈0.30,0.75)时，表明两个变量 相关性一般； 当|r|∈0,0.25]时，表明两个变量相关性较弱． (3)回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决： ①确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式； ②根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；③求出线性回归 方程． (4)根据 K2 的值可以判断两个分类变量有关的可信程度． 类型一 ：相关性与线性回归方程 【典例 1】【2015 高考新课标 2 理 3】根据下面给出的 2004 年至 2013 年我国二氧化硫排放量 （单位：万吨）柱形图。以下结论不正确的是( ) A．逐年比较，2008 年减少二氧化硫排放量的效果最显著 B．2007 年我国治理二氧化硫排放显现 C．2006 年以来我国二氧化硫年排放量呈减少趋势 D．2006 年以来我国二氧化硫年排放量与年份正相关 【答案】D 【解析】由柱形图得，从 2006 年以来，我国二氧化硫排放量呈下降趋势，故年排放量与年 份负相关，故选 D． 考点；正、负相关． 【思路点拨】本题以实际背景考查回归分析中的正、负相关，利用增长趋势或下降趋势理解正 负相关的概念是解题关键． 【典例 2】【2016 高考新课标 3 理数】下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单 位：亿吨）的折线图 （I）由折线图看出，可用线性回归模型拟合 y 与的关系，请用相关系数加以说明； （II）建立 y 关于的回归方程（系数精确到 0.01），预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量． 附注： 参考数据： 7 1 9.32i i y   ， 7 1 40.17i i i t y   ， 7 2 1 ( ) 0.55i i y y    ， 7≈2.646. 参考公式：相关系数 1 2 2 1 1 ( )( ) ( ) (y y) n i i i n n i i i i t t y y r t t            ， 回归方程  y a b   中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ( )( ) ( ) n i i i n i i t t y y b t t          ，a y bt   ． 【答案】（Ⅰ）理由见解析；（Ⅱ）1.82 亿吨． 【解析】 （Ⅱ）由 331.17 32.9 y 及（Ⅰ）得 103.028 89.2 )( ))(( ˆ 7 1 2 7 1         i i i ii tt yytt b ， 92.04103.0331.1ˆˆ  tbya ， 所以， y 关于的回归方程为： ty 10.092.0ˆ  . 将 2016 年对应的 9t 代入回归方程得： 82.1910.092.0ˆ y ， 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 考点：线性相关与线性回归方程的求法与应用． 【思路点拨】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直 观判断；（2）将相关数据代入相关系数公式求出，然后根据的大小进行判断．求线性回归方程 时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性． 【典例 3】【2015 高考新课标 1 理 19】某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解 年宣传费 x（单位：千元）对年销售量 y（单位：t）和年利润 z（单位：千元）的影响，对近 8 年的年宣传费 ix 和年销售量 iy （=1,2，···，8）数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统 计量的值. y  w  8 2 1 ( )i i x x   8 2 1 ( )i i w w   8 1 ( )( )i i i x x y y    8 1 ( )( )i i i w w y y    46.6 56. 3 6.8 289.8 1.6 1469 108.8 表中 i iw x ， w  = 1 8 8 1 i i w   （Ⅰ）根据散点图判断，y=a+bx 与 y=c+d x 哪一个适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型？（给出判断即可，不必说明理由） （Ⅱ）根据（Ⅰ）的判断结果及表中数据，建立 y 关于 x 的回归方程； （Ⅲ）已知这种产品的年利率 z 与 x、y 的关系为 z=0.2y-x.根据（Ⅱ）的结果回答下列问题： (ⅰ)年宣传费 x=49 时，年销售量及年利润的预报值是多少？ (ⅱ)年宣传费 x 为何值时，年利率的预报值最大？ 附：对于一组数据 1 1( , )u v , 2 2( , )u v ，……， ( , )n nu v ,其回归线 v u   的斜率和截距的最小 二乘估计分别为：  1 2 1 ( )( ) = ( ) n i i i n i i u u v v u u         ，  =v u  【答案】（Ⅰ） y c d x  适合作为年销售 y 关于年宣传费用的回归方程类型； （Ⅱ）  100.6 68y x  （Ⅲ）46.24 【解析】（Ⅰ）由散点图可以判断， y c d x  适合作为年销售 y 关于年宣传费用的回归方 程类型. （Ⅱ）令 w x ，先建立 y 关于 w 的线性回归方程， 由于  8 1 8 2 1 ( )( ) ( ) i i i i i w w y y d w w         =108.8 =6816 ， ∴ c y dw  =563-68×6.8=100.6. ∴ y 关于 w 的线性回归方程为  100.6 68y w  ， ∴ y 关于的回归方程为  100.6 68y x  . 考点；非线性拟合；线性回归方程求法；利用回归方程进行预报预测；应用意识 【思路点拨】本题考查了非线性拟合及非线性回归方程的求解与应用，是源于课本的试题类型， 解答非线性拟合问题，先作出散点图，再根据散点图选择合适的函数类型，设出回归方程，利 用换元法将非线性回归方程化为线性回归方程，求出样本数据换元后的值，然后根据线性回归 方程的计算方法计算变换后的线性回归方程系数，即可求出非线性回归方程，再利用回归方程 进行预报预测，注意计算要细心，避免计算错误. 【变式练习】 1.【2014 湖北高考卷 4】根据如下样本数据 3 4 5 6 7 8 y 4.0 2.5 5.0 0.5 0.2 0.3 得到的回归方程为 abxy ˆ ，则（ ） A. 0a  , 0b B. 0a  , 0b C. 0a  , 0b D. 0a  , 0b 【答案】B 【解析】：依题意，画散点图知，两个变量负相关，所以 0b ， 0a .选 B. 考点：已知样本数判断线性回归方程中的与的符号。 2.【2014 高考重庆理 3】已知变量与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均数 3x  ， 3.5y  ， 则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是( ) . 0.4 2.3A y x  . 2 2.4B y x  . 2 9.5C y x   . 0.3 4.4C y x   【答案】A 【解析】：因为变量与正相关，所以排除选项，又因为回归直线必过样本中心点 3,3.5 ，代入 检验知，只有直线 0.4 2.3y x  过点 3,3.5 ，故选 A. 考点：1、变量相关性的概念；2、回归直线. 3.【2015 高考福建理 4】为了解某社区居民的家庭年收入和年支出的关系，随机调查了该社区 5 户家庭，得到如下统计数据表： 收入 （万元） 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 支出 y （万 元） 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 根据上表可得回归直线方程 ˆˆ ˆy bx a  ，其中 ˆ ˆˆ0.76,b a y bx   ，据此估计，该社区一户 收入为 15 万元家庭年支出为( ) A．11.4 万元 B．11.8 万元 C．12.0 万元 D．12.2 万元 【答案】B 【 解 析 】 由 已 知 得 8.2 8.6 10.0 11.3 11.9 105x      （ 万 元 ） ， 6.2 7.5 8.0 8.5 9.8 85y      （万元），故  8 0.76 10 0.4a     ，所以回归直线方程为 ˆ 0.76 0.4y x  ，当社区一户收入为 15 万元家庭年支出为 ˆ 0.76 15 0.4 11.8y     （万元）， 故选 B． 考点；线性回归方程 4.【2014 全国课标 2 理 19】某地区 2007 年至 2013 年农村居民家庭纯收入 y（单位：千元）的 数据如下表： 年份 2007 2008 2009 2010 2011 2012 2013 年份代号 t 1 2 3 4 5 6 7 人均纯收入 y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9 （Ⅰ）求 y 关于 t 的线性回归方程； （Ⅱ）利用（Ⅰ）中的回归方程，分析 2007 年至 2013 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变 化情况，并预测该地区 2015 年农村居民家庭人均纯收入. 附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：      1 2 1 n i i i n i i t t y y b t t          ， ˆˆa y bt  考点；线性回归. 【解题技巧与方法总结】 1.两变量相关关系的判断方法 （1）利用散点图判断，利用散点图可以直观地判断出两变量是正相关，还是负相 关，以及是否具有线性相关关系． （2）利用相关系数 r 判断，当|r|越趋近于 1 时，两变量的线性相关性越强． 2.线性回归分析问题的类型及解题方法 （1）求线性回归方程的步骤： ①利用公式，先把数据制成表， ②从表中计算出 x 、 y ， 2 2 2 1 2 nx x x   、 1 1 2 2 n nx y x y x y  的值； ③计算回归系数 ,a b ； ④写出线性回归方程 ˆy bx a  . (2)待定系数法：利用回归直线过样本点中心求系数． 3.利用回归方程进行预测；把回归直线方程看作一次函数，求函数值． 4.利用回归直线判断正、负相关：决定正相关还是负相关的是系数 b. 类型二 ：独立性检验 【典例 1】【2014 安徽高考】某高校共有 15000 人，其中男生 10500 人，女生 4500 人，为调查 该校学生每周平均体育运动时间的情况，采用分层抽样的方法，收集 300 位学生每周平均体育 运动时间的样本数据（单位:小时） （Ⅰ）应收集多少位女生样本数据？ （Ⅱ）根据这 300 个样本数据，得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图（如图所示）， 其中样本数据分组区间为： .估计该校 学生每周平均体育运动时间超过 4 个小时的概率. （Ⅲ）在样本数据中，有 60 位女生的每周平均体育运动时间超过 4 个小时.请完成每周平均体 育运动时间与性别的列联表，并判断是否有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时 间与性别有关”. 附： 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d      2 0( )P K k 0.10 0.05 0.010 0.005 0k 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】（I）90；（2）0.75；（3）有 95% 的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性 别有关”. 【解析】（I）利用分层抽样的应用可以算出 4500300 9015000   ，所以应收集 90 位女生的样本 数据. （II）由频率分布直方图得1 2 (0.100 0.025) 0.75    ，该校学生每周平均体育运动时间 超过 4 个小时的概率为 0.75 . （III）由（II）知，300 位学生中有 300 0.75 225  人的每周平均体育运动时间超过 4 小时， 75 人的每周平均体育运动时间不超过 4 小时.又因为样本数据中有 210 份是关于男生的，90 份 是关于女生的.所以每周平均体育运动时间与性别列联表如下： 每周平均体育运动时间与性别列联表 男生 女生 总计 每周平均体育运动时间 不超过 4 小时 45 30 75 每周平均体育运动时间 超过 4 小时 165 60 225 总计 210 90 300 结合列联表可算得 2 300 (45 60 30 165) 100 4.762 3.84175 225 210 90 21K          . 有95%的把握认为“该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关”. 考点：1.频率分布直方图的应用；2.列联表的画法及 2K 的求解. 【思路点拨】由频率分布直方图进行相关计算时，需掌握下列关系式：(1) 频率 组距×组 距＝频率．(2) 频数 样本容量 ＝频率，此关系式的变形为频数 频率 ＝样本容量，样本容量×频 率＝频数．在 2×2 列联表中，如果两个变量没有关系，则应满足 ad－bc≈0.|ad－bc| 越小，说明两个变量之间关系越弱；|ad－bc|越大，说明两个变量之间关系越强．解 决独立性检验的应用问题，一定要按照独立性检验的步骤得出结论． 【变式训练】 1.【2014 江西高考】某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这 4 个变 量的关系，随机抽查 52 名中学生，得到统计数据如表 1 至表 4，则与性别有关联的 可能性最大的变量是( ) 表 1 成绩 性别 不及格 及格 总计 男 6 14 20 女 10 22 32 总计 16 36 52 表 2 视力 性别 好 差 总计 男 4 16 20 女 12 20 32 总计 16 36 52 表 3 智商 性别 偏高 正常 总计 男 8 12 20 女 8 24 32 总计 16 36 52 表 4 阅读量 性别 丰富 不丰富 总计 男 14 6 20 女 2 30 32 总计 16 36 52 A．成绩 B．视力 C．智商 D．阅读量 【答案】 D 考点；1、独立性检验； 2.【2016 哈尔滨模拟】某班主任对全班 50 名学生的学习积极性和对待班级工作的 态度进行了调查，统计数据如下表所示： 积极参加班级 工作 不太主动参 加班级工作 合计 学习积极性高 18 7 25 学习积极性一般 6 19 25 合计 24 26 50 (1)如果随机抽查这个班的一名学生，那么抽到积极参加班级工作的学生的概率是多 少？抽到不太主动参加班级工作且学习积极性一般的学生的概率是多少？ (2)试运用独立性检验的思想方法分析：学生的学习积极性与对待班级工作的态度是 否有关系？ 并说明理由． (参考下表) P(K2 ≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.82 8 【答案】（1）P＝ 7 10. （2）没有 90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关 考点；1、简单随机抽样、2、古典概型 3、独立性检验； 3.【2017 兰州模拟】为调查某地区老年人是否需要志愿者提供帮助，用简单随机抽 样方法从该地区调查了 500 位老年人，结果如下： 性别 是否需要志愿者 男 女 需要 40 30 不需要 160 270 (1)估计该地区老年人中，需要志愿者提供帮助的老年人的比例； (2)能否有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性别有关？ (3)根据(2)的结论，能否提出更好的调查方法来估计该地区的老年人中，需要志愿者 提供帮助的老年人的比例？说明理由． 参考公式：K2＝        2n ad bc a c a b c d b d      ，其中 n＝a＋b＋c＋d. P(K2 ≥k) 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 【答案】 （1）14%. （2）有 90%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮助与性 别有关 （3）见解析 【解析】 (1)调查的 500 位老年人中有 70 位需要志愿者提供帮助，因此该地区老 年人中，需要帮助的老年人的比例的估计值为 70 500%＝14%. (2)K2＝500×(40×270－30×160)2 200×300×70×430 ≈9.967. 由于 9.967＞6.635，所以有 99%的把握认为该地区的老年人是否需要志愿者提供帮 助与性别有关． (3)由(2)的结论知，该地区老年人是否需要帮助与性别有关，并且从样本数据能看出 该地区男性老年人与女性老年人中需要帮助的比例有明显差异，因此在调查时，先 确定该地区老年人中男，女的比例，再把老年人分成男，女两层并采用分层抽样方 法，比采用简单随机抽样方法更好． 考点； 1. 独立性检验； 2、抽样方法 【解题技巧与方法总结】 1．比较几个分类变量有关联的可能性大小的方法 (1)通过计算 K2 的大小判断：K2 越大，两变量有关联的可能性越大． (2)通过计算|ad－bc|的大小判断：|ad－bc|越大，两变量有关联的可能性越大． 2．独立性检验的一般步骤 (1)根据样本数据制成 2×2 列联表． (2)根据公式；K2＝        2n ad bc a c a b c d b d      n（ad－bc）2 （a＋b）（c＋d）（a＋c）（b＋d） ；(其 中 n＝a＋b＋c＋d 为样本容量)． 计算 K2 的观测值 k. (3)比较 k 与临界值的大小关系，作统计推断．