专题21 坐标系与参数方程（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题21 坐标系与参数方程（仿真押题）-2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题

专题21 坐标系与参数方程（仿真押题）‎ ‎2017年高考数学（理）命题猜想与仿真押题 ‎1．已知极坐标系的极点在直角坐标系的原点处，极轴与x轴的正半轴重合，直线l的极坐标方程为ρsin(θ－)＝，曲线C的参数方程为 ‎(1)写出直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)求曲线C上的点到直线l的距离的最大值．‎ 解：(1)∵ρsin(θ－)＝，∴ρ(sin θ－cos θ)＝，‎ ‎∴y－x＝，即x－y＋1＝0.故直线l的直角坐标方程是x－y＋1＝0.‎ ‎(2)方法一：由已知可得，曲线C上的点的坐标为(2＋2cos α，2sin α)，∴曲线C上的点到直线l的距离 d＝＝≤，故最大距离是.‎ 方法二：曲线C是以(2，0)为圆心，以2为半径的圆，圆心到直线l的距离为，∴最大距离为＋2＝.‎ ‎2．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为(α为参数)．‎ ‎(1)以原点为极点、x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求圆C的极坐标方程；‎ ‎(2)已知A(－2，0)，B(0，2)，圆C上任意一点M(x，y)，求△ABM面积的最大值．‎ 解：(1)圆C的参数方程为(α为参数)，‎ 所以其普通方程为(x－3)2＋(y＋4)2＝4，‎ 所以圆C的极坐标方程为ρ2－6ρcos θ＋8ρsin θ＋21＝0.‎ ‎(2)点M(x，y)到直线AB：x－y＋2＝0的距离d＝，‎ 故△ABM的面积S＝×|AB|×d＝|2cos α－2sin α＋9|＝|2 sin(－α)＋9|，‎ 所以△ABM面积的最大值为9＋2 .‎ ‎3．在平面直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为(t为参数)，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)将直线l的参数方程化为极坐标方程；‎ ‎(2)求直线l和曲线C交点的极坐标(ρ≥0，0≤θ<2π)．‎ 解：(1)将直线l：(t为参数)消去参数t，化为普通方程x－y－2 ＝0，‎ 将代入x－y－2 ＝0，得ρcos θ－ρsin θ－2 ＝0.‎ ‎4．已知曲线C的极坐标方程为ρ＝2cos θ－4sin ‎ θ.以极点为原点，极轴为x轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线l的参数方程为(t为参数)．‎ ‎(1)判断直线l与曲线C的位置关系，并说明理由；‎ ‎(2)若直线l和曲线C相交于A，B两点，且|AB|＝3 ，求直线l的斜率．‎ 解：(1)∵ρ＝2cos θ－4sin θ，∴ρ2＝2ρcos θ－4ρsin θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝2x－4y，‎ 即(x－1)2＋(y＋2)2＝5.‎ ‎∵直线l过点(1，－ 1)，且该点与圆心间的距离为<，∴直线l与曲线C相交．‎ ‎(2)方法一：当直线l的斜率不存在时，直线l过圆心(1，－2)，|AB|＝2 ≠3 ，‎ 则直线l的斜率必存在，设其方程为y＋1＝k(x－1)，即kx－y－k－1＝0，‎ 圆心(1，－2)到直线l的距离d＝＝＝，解得k＝±1，∴直线l的斜率为±1.‎ 方法二：将代入(x－1)2＋(y＋2)2＝5，‎ 得(tcos α)2＋(1＋tsin α)2＝5，‎ 整理得t2＋2sin α·t－4＝0.‎ 设A，B两点对应的参数分别为t1，t2，则t1＋t2＝－2sin α，t1t2＝－4，‎ 则|AB|＝|t1－t2|＝＝＝3 ，‎ ‎∵α为直线l的倾斜角，∴sin α＝(舍去负值)，则α＝或，∴直线l的斜率为±1.‎ ‎5．已知点P的直角坐标是(x，y)，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．‎ ‎(1)用x，y，θ0表示m，n；‎ ‎(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．‎ 解：(1)由题意知和 即 所以 ‎(2)由题意知 所以(x－y)(x＋y)＝1，‎ 整理得－＝1.‎ ‎6．已知平面直角坐标系xOy，以O为极点，x轴的正半轴为极轴，并取相同的长度单位建立极坐标系．点M的直角坐标为(－1，0)，曲线C的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)求点M的极坐标(ρ>0，0≤θ<2π)和曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)过点M的直线l与曲线C相交于不同的两点A，B，若＝2，求直线l的参数方程．‎ 解：(1)点M的极坐标为(1，π)．‎ 由ρ＝，得ρ(1－cos 2θ)＝8cos θ，即ρ·2sin2θ＝8cos θ，即ρ2sin2θ＝4ρcos θ，即y2＝4x，故曲线C的直角坐标方程为y2＝4x.‎ ‎7.在直角坐标系xOy中，以原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C1的极坐标方程为ρ2＝，直线l的极坐标方程为ρ＝.‎ ‎(1)写出曲线C1与直线l的直角坐标方程；‎ ‎(2)设Q为曲线C1上一动点，求Q点到直线l距离的最小值．‎ 解：(1)由ρ2＝，得ρ2(cos2θ＋2sin2θ)＝2，所以＋y2＝1；ρ＝，即ρcos θ＋ρsin θ＝4，所以x＋y＝4.所以曲线C1的直角坐标方程为＋y2＝1，直线l的直角坐标方程为x＋y－4＝0.‎ ‎(2)设Q(cos θ，sin θ)，则点Q到直线l的距离 d＝＝≥＝.‎ 当且仅当θ＋＝2kπ＋(k∈Z)，即θ＝2kπ＋(k∈Z)时取等号，所以Q点到直线l距离的最小值为.‎ ‎8、在直角坐标系xOy中，l是过定点P(4，2)且倾斜角为α的直线；在极坐标系(以坐标原点O为极点，以x轴正半轴为极轴，取相同单位长度)中，曲线C的极坐标方程为ρ＝4cos θ.‎ ‎(1)求曲线C的直角坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C与直线l相交于不同的两点M，N，求|PM|＋|PN|的取值范围．‎ 解：(1)∵ρ＝4cos θ，∴ρ2＝4ρcos θ，‎ ‎∴曲线C的直角坐标方程为x2＋y2＝4x.‎ ‎(2)直线l的参数方程为(t为参数)，代入C：x2＋y2＝4x，得t2＋4(sin α＋cos α)t＋4＝0，设点M，N对应的参数分别为t1，t2则有 ‎∴sin α·cos α>0，‎ 又α∈0，π)，所以α∈(0，)，所以t1<0，t2<0，而|PM|＋|PN|＝|t1|＋|t2|＝－t1－t2＝4(sin α＋cos α)＝4 sin(α＋)．‎ ‎∵α∈(0，)，∴α＋∈(，π)，∴0)，已知过点P(－2，－4)的直线l的参数方程为：(t为参数)，直线l与曲线C分别交于M，N两点．‎ ‎(1)写出曲线C和直线l的普通方程；‎ ‎(2)若|PM|，|MN|，|PN|成等比数列，求a的值．‎ ‎13．已知曲线C1的参数方程是(φ为参数)，以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程是ρ＝2，正方形ABCD的顶点都在C2上，且A，B，C，D依逆时针次序排列，点A的极坐标为(2，)．‎ ‎(1)求点A，B，C，D的直角坐标；‎ ‎(2)设P为C1上任意一点，求|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2的取值范围．‎ 解析：(1)由已知可得A(2cos ，2sin )，‎ B(2cos(＋)，2sin(＋))，‎ C(2cos(＋π)，2sin(＋π))，‎ D(2cos(＋)，2sin(＋))，‎ 即A(1，)，B(－，1)，C(－1，－)，D(，－1)．‎ ‎(2)设P(2cos φ，3sin φ)，令S＝|PA|2＋|PB|2＋|PC|2＋|PD|2，则S＝16cos2 φ＋36sin2 φ＋16＝32＋20sin2 φ.‎ 因为0≤sin2 φ≤1，所以S的取值范围是32,52]．‎ ‎14．在以直角坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴的极坐标系下，曲线C1的方程是ρ＝1，将C1向上平移1个单位得到曲线C2.‎ ‎(1)求曲线C2的极坐标方程；‎ ‎(2)若曲线C1的切线交曲线C2于不同两点M，N，切点为T.求|TM|·|TN|的取值范围．‎ 解析：(1)依题，因为ρ2＝x2＋y2，‎ 所以曲线C1的直角坐标方程为x2＋y2＝1，‎ 所以曲线C2的直角坐标方程为x2＋(y－1)2＝1，‎ 又y＝ρsin θ，所以ρ2－2ρsin θ＝0，‎ 即曲线C2的极坐标方程为ρ＝2sin θ.‎ ‎(2)解法一　由题令T(x0，y0)，y0∈(0,1]，切线MN的倾斜角为θ，所以切线MN的参数方程为(t为参数)．‎ 联立C2的直角坐标方程得，t2＋2(x0cos θ＋y0sin θ－sin θ)t＋1－2y0＝0，‎ 即由直线参数方程中t的几何意义可知，‎ ‎|TM|·|TN|＝|1－2y0|，因为1－2y0∈－1,1)，所以|TM|·|TN|∈0,1]．‎ 解法二　设点T(cos α，sin α)，则由题意可知当α∈(0，π)时，切线与曲线C2相交，‎ 由对称性可知，当α∈时切线的倾斜角为α＋，则切线MN的参数方程为 (t为参数)，‎ 与C2的直角坐标方程联立，得t2－2tcos α＋1－2sin α＝0，‎ 则|TM|·|TN|＝|t1t2|＝|1－2sin α|，‎ 因为α∈，所以|TM|·|TN|∈0,1]．‎ ‎15．将曲线C1：x2＋y2＝1上所有点的横坐标伸长到原来的倍(纵坐标不变)得到曲线C2，A为C1与x轴正半轴的交点，直线l经过点A且倾斜角为30°，记l与曲线C1的另一个交点为B，与曲线C2在第一、三象限的交点分别为C，D.‎ ‎(1)写出曲线C2的普通方程及直线l的参数方程；‎ ‎(2)求|AC|－|BD|.‎ ‎16．已知点P的直角坐标是(x，y)．以平面直角坐标系的原点为极坐标的极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系．设点P的极坐标是(ρ，θ)，点Q的极坐标是(ρ，θ＋θ0)，其中θ0是常数．设点Q的直角坐标是(m，n)．‎ ‎(1)用x，y，θ0表示m，n；‎ ‎(2)若m，n满足mn＝1，且θ0＝，求点P的直角坐标(x，y)满足的方程．‎ 解析：(1)由题意知且 所以 所以 ‎(2)由(1)可知又mn＝1，‎ 所以＝1.‎ 整理得－＝1.‎ ‎∴－＝1即为所求方程．‎