2018届二轮复习 空间点、线、面的位置关系 课件（全国通用）

2018届二轮复习 空间点、线、面的位置关系 课件（全国通用）

第 2 讲 空间点、线、面的位置关系 考情分析 总纲目录 考点一   空间线、面位置关系的判断 考点二 空间线面平行、垂直关系的证明 考点三 平面图形的翻折问题 考点一  空间线、面位置关系的判断 典型例题 (2016课标全国Ⅱ,14,5分) α , β 是两个平面, m , n 是两条直线,有下列四个命 题: ①如果 m ⊥ n , m ⊥ α , n ∥ β ,那么 α ⊥ β . ②如果 m ⊥ α , n ∥ α ,那么 m ⊥ n . ③如果 α ∥ β , m ⊂ α ,那么 m ∥ β . ④如果 m ∥ n , α ∥ β ,那么 m 与 α 所成的角和 n 与 β 所成的角相等. 其中正确的命题有 　　　     .(填写所有正确命题的编号) 答案 　②③④ 解析 　对于命题①,可运用长方体举反例证明其错误: 如图,不妨设 AA '为直线 m , CD 为直线 n , ABCD 所在的平面为 α , ABC ' D '所在 的平面为 β ,显然这些直线和平面满足题目条件,但 α ⊥ β 不成立. 命题②正确,证明如下:设过直线 n 的某平面与平面 α 相交于直线 l ,则 l ∥ n , 由 m ⊥ α 知 m ⊥ l ,从而 m ⊥ n ,结论正确. 由平面与平面平行的定义知命题③正确. 由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确. 方法归纳 判断空间线、面位置关系的常用方法 (1)根据空间线面平行、垂直的判定定理和性质定理逐项判断解决问 题; (2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察 线、面位置关系,并结合有关定理进行判断. 跟踪集训 1.(2017湖南湘中名校高三联考)已知 m , n 是两条不同的直线, α , β , γ 是三个 不同的平面,下列命题中正确的是   (　　) A.若 m ∥ α , n ∥ α ,则 m ∥ n B.若 m ∥ α , m ∥ β ,则 α ∥ β C.若 α ⊥ γ , β ⊥ γ ,则 α ∥ β D.若 m ⊥ α , n ⊥ α ,则 m ∥ n 答案     D　对于选项A,两直线可能平行,相交或异面;对于选项B,两平面 可能平行或相交;对于选项C,两平面可能平行或相交;对于选项D,由线 面垂直的性质定理可知结论正确. 2.(2017新疆第二次适应性检测)设 m , n 是不同的直线, α , β , γ 是不同的平 面,有以下四个命题:①若 α ∥ β , α ∥ γ ,则 β ∥ γ ; ②若 α ⊥ β , m ∥ α ,则 m ⊥ β ; ③若 m ⊥ α , m ∥ β ,则 α ⊥ β ; ④若 m ∥ n , n ⊂ α ,则 m ∥ α . 其中正确命题的序号是   (　　) A.①③　    B.①④　    C.②③　    D.②④ 答案     A　对于①,因为平行于同一个平面的两个平面相互平行,所以① 正确;对于②,当直线 m 位于平面 β 内,且平行于平面 α , β 的交线时,满足条 件,但显然此时 m 与平面 β 不垂直,因此②不正确;对于③,在平面 β 内取直 线 n 平行于 m ,则由 m ⊥ α , m ∥ n ,得 n ⊥ α ,又 n ⊂ β ,因此有 α ⊥ β ,③正确;对于 ④,直线 m 可能位于平面 α 内,显然此时 m 与平面 α 不平行,因此④不正确. 综上所述,正确命题的序号是①③,故选A. 考点二    空间线面平行、垂直关系的证明 1.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理: a ⊄ α , b ⊂ α , a ∥ b ⇒ a ∥ α . (2)线面平行的性质定理: a ∥ α , a ⊂ β , α ∩ β = b ⇒ a ∥ b . (3)面面平行的判定定理: a ⊂ β , b ⊂ β , a ∩ b = P , a ∥ α , b ∥ α ⇒ α ∥ β . (4)面面平行的性质定理: α ∥ β , α ∩ γ = a , β ∩ γ = b ⇒ a ∥ b . 2.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理: m ⊂ α , n ⊂ α , m ∩ n = P , l ⊥ m , l ⊥ n ⇒ l ⊥ α . (2)线面垂直的性质定理: a ⊥ α , b ⊥ α ⇒ a ∥ b . (3)面面垂直的判定定理: a ⊂ β , a ⊥ α ⇒ α ⊥ β . (4)面面垂直的性质定理: α ⊥ β , α ∩ β = l , a ⊂ α , a ⊥ l ⇒ a ⊥ β . 典型例题 (2017山东,18,12分)由四棱柱 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 截去三棱锥 C 1 - B 1 CD 1 后得 到的几何体如图所示.四边形 ABCD 为正方形, O 为 AC 与 BD 的交点, E 为 AD 的中点, A 1 E ⊥平面 ABCD . (1)证明: A 1 O ∥平面 B 1 CD 1 ; (2)设 M 是 OD 的中点,证明:平面 A 1 EM ⊥平面 B 1 CD 1 .   证明 　(1)取 B 1 D 1 的中点 O 1 ,连接 CO 1 , A 1 O 1 , 由于 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 是四棱柱, 所以 A 1 O 1 ∥ OC , A 1 O 1 = OC , 因此四边形 A 1 OCO 1 为平行四边形, 所以 A 1 O ∥ O 1 C . 又 O 1 C ⊂ 平面 B 1 CD 1 , A 1 O ⊄ 平面 B 1 CD 1 , 所以 A 1 O ∥平面 B 1 CD 1 .   (2)因为 AC ⊥ BD , E , M 分别为 AD 和 OD 的中点, 所以 EM ⊥ BD , 又 A 1 E ⊥平面 ABCD , BD ⊂ 平面 ABCD , 所以 A 1 E ⊥ BD ,因为 B 1 D 1 ∥ BD , 所以 EM ⊥ B 1 D 1 , A 1 E ⊥ B 1 D 1 , 又 A 1 E , EM ⊂ 平面 A 1 EM , A 1 E ∩ EM = E , 所以 B 1 D 1 ⊥平面 A 1 EM , 又 B 1 D 1 ⊂ 平面 B 1 CD 1 ,所以平面 A 1 EM ⊥平面 B 1 CD 1 . 方法归纳 平行关系及垂直关系的转化 空间平行、垂直关系证明的主要思想是转化,即通过判定定理、性质定 理将线线、线面、面面之间的平行、垂直关系相互转化.     跟踪集训 1.(2017湖北七市(州)联考)《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数 学名著,书中将底面为直角三角形的直棱柱称为堑堵,将底面为矩形的 棱台称为刍童.在如图所示的堑堵 ABM - DCP 与刍童 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的组 合体中, AB = AD , A 1 B 1 = A 1 D 1 . 台体体积公式: V =   ( S '+   + S ) h ,其中 S ', S 分别为台体上、下底面的面 积, h 为台体的高. (1)证明:直线 BD ⊥平面 MAC ; (2)若 AB =1, A 1 D 1 =2, MA =   ,三棱锥 A - A 1 B 1 D 1 的 体积 V ‘=   ,求该组合体的体积. 解析 　(1)证明:由题可知 ABM - DCP 是底面为直角三角形的直棱柱, ∴ AD ⊥平面 MAB ,∴ AD ⊥ MA , 又 MA ⊥ AB , AD ∩ AB = A , AD ⊂ 平面 ABCD , AB ⊂ 平面 ABCD , ∴ MA ⊥平面 ABCD ,∴ MA ⊥ BD . ∵ AB = AD ,∴矩形 ABCD 为正方形,∴ BD ⊥ AC , 又 MA ∩ AC = A , MA ⊂ 平面 MAC , AC ⊂ 平面 MAC , ∴ BD ⊥平面 MAC . (2)设刍童 ABCD - A 1 B 1 C 1 D 1 的高为 h ,则三棱锥 A - A 1 B 1 D 1 的体积 V '=   ×   × 2 × 2 × h =   ,∴ h =   , 故该组合体的体积 V =   × 1 ×   × 1+   × (1 2 +2 2 +   ) ×   =   +   = . 2.(2017广西三市第一次联考)在四棱锥 P - ABCD 中,∠ ABC =∠ ACD =90 ° , ∠ BAC =∠ CAD =60 ° , PA ⊥平面 ABCD , E 为 PD 的中点, PA =2 AB =2. (1)求证: PC ⊥ AE ; (2)求证: CE ∥平面 PAB .   证明 　(1)在Rt△ ABC 中, AB =1,∠ BAC =60 ° , ∴ BC =   , AC =2,取 PC 的中点 F ,连接 AF , EF , ∵ PA = AC =2,∴ PC ⊥ AF . ∵ PA ⊥平面 ABCD , CD ⊂ 平面 ABCD , ∴ PA ⊥ CD ,∵∠ ACD =90 ° ,∴ CD ⊥ AC , 又 PA ∩ AC = A ,∴ CD ⊥平面 PAC , 又 PC ⊂ 平面 PAC ,∴ CD ⊥ PC , ∵ EF 是△ PCD 的中位线,∴ EF ∥ CD ,∴ EF ⊥ PC . 又 AF ∩ EF = F ,∴ PC ⊥平面 AEF . ∵ AE ⊂ 平面 AEF ,∴ PC ⊥ AE . (2)取 AD 的中点 M ,连接 EM , CM ,则 EM ∥ PA . ∵ EM ⊄ 平面 PAB , PA ⊂ 平面 PAB , ∴ EM ∥平面 PAB . 在Rt△ ACD 中,∠ CAD =60 ° , AC = AM =2, ∴∠ ACM =60 ° ,而∠ BAC =60 ° , ∴ MC ∥ AB . ∵ MC ⊄ 平面 PAB , AB ⊂ 平面 PAB , ∴ MC ∥平面 PAB . ∵ EM ∩ MC = M ,∴平面 EMC ∥平面 PAB . ∵ CE ⊂ 平面 EMC ,∴ CE ∥平面 PAB . 考点三  平面图形的翻折问题 典型例题 (2016课标全国Ⅱ,19,12分)如图,菱形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O , 点 E , F 分别在 AD , CD 上, AE = CF , EF 交 BD 于点 H .将△ DEF 沿 EF 折到△ D ' EF 的位置. (1)证明: AC ⊥ HD '; (2)若 AB =5, AC =6, AE =   , OD '=2   ,求五棱锥 D '- ABCFE 的体积. 解析 　(1)证明:由已知得 AC ⊥ BD , AD = CD . 又由 AE = CF 得   =   ,故 AC ∥ EF . 由此得 EF ⊥ HD , EF ⊥ HD ',所以 AC ⊥ HD '. (2)由 EF ∥ AC 得   =   =   . 由 AB =5, AC =6得 DO = BO =   =4.所以 OH =1, D ' H = DH =3. 于是 OD ' 2 + OH 2 =(2   ) 2 +1 2 =9= D ' H 2 ,故 OD '⊥ OH . 由(1)知 AC ⊥ HD ‘,又 AC ⊥ BD , BD ∩ HD ’= H ,所以 AC ⊥平面 BHD ',于是 AC ⊥ OD '.又由 OD '⊥ OH , AC ∩ OH = O ,所以 OD '⊥平面 ABC . 又由   =   得 EF =   .五边形 ABCFE 的面积 S =   × 6 × 8-   ×   × 3=   . 所以五棱锥 D '- ABCFE 的体积 V =   ×   × 2   =   . 方法归纳 平面图形翻折问题的求解方法 (1)解决与折叠有关的问题的关键是搞清折叠前后的变和不变,一般情 况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是 解决问题的突破口. (2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形, 也要分析折叠前的图形. 跟踪集训 (2017合肥第二次教学质量检测)如图,平面五边形 ABCDE 中, AB ∥ CE ,且 AE =2,∠ AEC =60 ° , CD = ED =   ,cos∠ EDC =   .将△ CDE 沿 CE 折起,使点 D 到点 P 的位置,且 AP =   ,得到四棱锥 P - ABCE . (1)求证: AP ⊥平面 ABCE ; (2)记平面 PAB 与平面 PCE 相交于直线 l ,求证: AB ∥ l .   证明 　(1)在△ CDE 中,∵ CD = ED =   ,cos∠ EDC =   ,由余弦定理得 CE =2. 连接 AC ,∵ AE =2,∠ AEC =60 ° ,∴ AC =2.又 AP =   ,∴在△ PAE 中, PA 2 + AE 2 = PE 2 ,即 AP ⊥ AE .同理, AP ⊥ AC .而 AC ⊂ 平面 ABCE , AE ⊂ 平面 ABCE , AC ∩ AE = A ,故 AP ⊥平面 ABCE . (2)∵ AB ∥ CE ,且 CE ⊂ 平面 PCE , AB ⊄ 平面 PCE ,∴ AB ∥平面 PCE . 又 AB ⊂ 平面 PAB ,平面 PAB ∩ 平面 PCE = l ,∴ AB ∥ l . 1.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥 A - BCD 中, AB ⊥ AD , BC ⊥ BD ,平面 ABD ⊥平面 BCD ,点 E , F ( E 与 A , D 不重合)分别在棱 AD , BD 上,且 EF ⊥ AD . 求证:(1) EF ∥平面 ABC ; (2) AD ⊥ AC . 随堂检测 证明 　(1)在平面 ABD 内,因为 AB ⊥ AD , EF ⊥ AD , 所以 EF ∥ AB . 又因为 EF ⊄ 平面 ABC , AB ⊂ 平面 ABC ,所以 EF ∥平面 ABC . (2)因为平面 ABD ⊥平面 BCD ,平面 ABD ∩ 平面 BCD = BD , BC ⊂ 平面 BCD , BC ⊥ BD ,所以 BC ⊥平面 ABD . 因为 AD ⊂ 平面 ABD ,所以 BC ⊥ AD . 又 AB ⊥ AD , BC ∩ AB = B , AB ⊂ 平面 ABC , BC ⊂ 平面 ABC , 所以 AD ⊥平面 ABC . 又因为 AC ⊂ 平面 ABC ,所以 AD ⊥ AC . 2.(2017郑州第一次质量预测)如图,已知四棱锥 S - ABCD ,底面梯形 ABCD 中, AD ∥ BC ,平面 SAB ⊥平面 ABCD ,△ SAB 是等边三角形,已知 AC =2 AB = 4, BC =2 AD =2 CD =2   , M 是 SD 上任意一点,   = m   ,且 m >0. (1)求证:平面 SAB ⊥平面 MAC ; (2)试确定 m 的值,使三棱锥 S - ABC 的体积为三棱锥 S - MAC 体积的3倍.   解析 　(1)在△ ABC 中,由于 AB =2, AC =4, BC =2   , ∴ AB 2 + AC 2 = BC 2 ,故 AB ⊥ AC . 又平面 SAB ⊥平面 ABCD ,平面 SAB ∩ 平面 ABCD = AB , AC ⊂ 平面 ABCD ,∴ AC ⊥平面 SAB , 又 AC ⊂ 平面 MAC , 故平面 SAB ⊥平面 MAC . (2) V 三棱锥 S - MAC = V 三棱锥 M - SAC =   V 三棱锥 D - SAC =   V 三棱锥 S - ACD , ∴   =   ·   =   ·   =   ·2=3,∴ m =2.