2018-2019学年湖北省恩施一中、利川一中等四校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

2018-2019学年湖北省恩施一中、利川一中等四校高一上学期期末联考数学试题（解析版）

‎2018-2019学年湖北省恩施一中、利川一中等四校高一上学期期末联考数学试题 一、单选题 ‎1．设集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】【详解】试题分析：,,所以，故选A.‎ ‎【考点】集合的运算.‎ ‎2．已知函数，那么的值为( )．‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】将代入即可得结果.‎ ‎【详解】‎ 解：因为，‎ 所以，‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查已知解析式，求函数值，是基础题.‎ ‎3． ＝( )．‎ A．－ B． C．－ D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：‎ ‎.‎ ‎【考点】诱导公式．‎ ‎4．已知点M（x，1）在角θ的终边上，且，则x＝（ ）‎ A．1 B．﹣1 C．1或﹣1 D．﹣1或0或1‎ ‎【答案】D ‎【解析】利用三角函数的定义，建立关于x的方程，即可求出的值．‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 或0或1，‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查三角函数的定义，考查学生的计算能力，比较基础．‎ ‎5．下列命题中正确的个数有（ ）‎ ‎①向量与是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；②单位向量都相等；③任一向量与它的相反向量不相等；④共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．‎ A．0 B．1 C．2 D．3‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据题意，结合向量的定义依次分析四个命题，综合即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 对于①，若向向量与是共线向量，则，或A,，，在同条直线上，故①错误；‎ 对于②，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故②错误；‎ 对于③，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故③错误；‎ 对于④，比如共线的向量与 ‎(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故④错误.‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查向量的基本定义和命题的真假判断，关键是理解向量有关概念的定义．‎ ‎6．已知函数的图像关于原点对称，则（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】首先由题意可知为奇函数，再通过为奇函数即可得到，再将代入函数中即可求出的取值范围，得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为函数的图像关于原点对称，‎ 所以函数是奇函数，‎ 所以故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的相关性质，着重考查了三角函数的奇偶性以及奇函数的相关性质，考查了计算能力，是基础题。‎ ‎7．已知5，28，33，则（ ）‎ A．A、B、D B．A、B、C三点共线 C．B、C、D三点共线 D．A、C、D三点共线 ‎【答案】A ‎【解析】根据平面向量的线性运算与共线定理，证明与共线，即可得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎，，，‎ ‎，‎ ‎，‎ 与共线，因为两向量有一个公共点B,‎ ‎、、三点共线．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用，是基础题．‎ ‎8．设为定义在上的奇函数，当时，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意，利用，求得，得到函数的解析式，再由，代入即可求解．‎ ‎【详解】‎ 由题意，函数为定义在R上的奇函数，且当时，，‎ 则，即，即，即，‎ 又由，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了函数的奇偶性的应用，其中解答中根据奇函数的性质，求得实数的值，得出函数的解析式是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎9．已知是三角形内部一点，且，则的面积与的面积之比为（ ）‎ A． B．1 C． D．2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由题意，是的重心，，所以的面积与 的面积之比为。故选A。‎ 点睛：本题考查平面向量的应用。由重心的结论：若，则是的重心，本题中构造，是的重心，根据重心的一些几何性质，求出面积比值。‎ ‎10．为了得到函数的图象，可以将函数的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎【答案】A ‎【解析】，设 ， ，令，把函数的图象向左平移个单位得到函数的图象.选C.‎ ‎11．已知，当时，的值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题可以先利用二倍角公式以及三角函数在各个象限中的符号，对进行化简，即可求得的解析式。‎ ‎【详解】‎ 由题意可得，当时， ‎ 所以， 故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式的应用、以及三角函数在各个象限中的符号，属于中档题。同角三角函数的基本关系有 ‎12．函数y＝f（x）是定义域为R的偶函数，当x≥0时，f（x），若关于x的方程[f（x）]2+af（x）+b＝0，a，b∈R有且仅有5个不同实数根，则实数a的取值范围是（ ）‎ A．（，0） B．（，）‎ C．（，）∪（，） D．（，）‎ ‎【答案】A ‎【解析】作出函数的图象，令，根据图象得出方程的解的情况，得出的范围，从而得出的范围．‎ ‎【详解】‎ 作出的函数图象如图所示：‎ 令，显然，当时，方程只有一解，‎ 当时，方程有四个解，‎ 当时，方程有两解，‎ 当或时，方程无解．‎ 关于的方程，，有且仅有5个不同实数根，‎ 关于的方程，有两解，且一解为，另一解，‎ ‎，‎ 的两解分别为，，‎ ‎，解得．‎ 故选：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数零点的个数与函数图象的关系，二次函数的性质，属于中档题．‎ 二、填空题 ‎13．函数的定义域为_____．‎ ‎【答案】（﹣2，2）‎ ‎【解析】由对数的真数大于0，根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不等于0，联立不等式组求解即可得答案．‎ ‎【详解】‎ 由题得，‎ 解得．‎ 函数的定义域为．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了函数的定义域及其求法，考查了不等式的解法，是基础题．‎ ‎14．函数y＝log0.5（x2﹣4x﹣5）的单调递增区间是_____．‎ ‎【答案】（﹣∞，﹣1）‎ ‎【解析】由对数函数的真数大于0求得函数定义域，再利用复合函数的单调性原理得答案．‎ ‎【详解】‎ 由，得或．‎ 函数的定义域为，，．‎ 令，其对称轴方程为，且在上为减函数，‎ 而函数是定义域内的减函数，‎ 函数的单调递增区间是．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．‎ ‎15．已知函数f（x），则f（2019）_____．‎ ‎【答案】﹣1‎ ‎【解析】推导出，由此能求出结果．‎ ‎【详解】‎ 函数，‎ ‎．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数值的求法，考查函数性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．‎ ‎16．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|），x为f（x）的零点，x为y＝f（x）图象的对称轴，且f（x）在（）上单调，则ω的最大值为_____．‎ ‎【答案】11‎ ‎【解析】首先利用函数的零点和对称轴求出函数的关系式，进一步利用函数的单调性求出结果．‎ ‎【详解】‎ f（x）＝sin（ωx+φ），‎ 由于x为f（x）的零点，‎ 所以（∈Z），‎ 且x为y＝f（x）图象的对称轴，‎ 所以（k∈Z），‎ 所以（k∈Z），由于|φ|，‎ 所以φ．‎ 把φ代入上式整理得ω＝2（k﹣k′）+1．所以是奇数.‎ 由于f（x）在（）上单调，‎ 所以，整理得，‎ 故，整理得ω≤14，‎ 当k﹣k′＝6时，ω的最大值为13．‎ 当时，因为φ，，‎ 计算得函数在区间（）不单调，所以舍去.‎ 当时，‎ 解不等式 得函数的减区间为，‎ 当时，减区间为 因为（） ，符合题意.‎ 故答案为：11‎ ‎【点睛】‎ 本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变换，正弦型函数的性质的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力．‎ 三、解答题 ‎17．已知角α的终边过点（﹣3，﹣4）．‎ ‎（1）求sinα，cosα的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）sinα，cosα；（2）.‎ ‎【解析】（1）根据角的终边经过点，可得，，的值，再根据任意角的三角函数的定义即可求解．（2）根据诱导公式化简即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）∵已知角α的终边经过点P（﹣3，﹣4），‎ ‎∴x＝﹣3，y＝﹣4，r5，‎ ‎∴sinα，cosα；‎ ‎（2）‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查任意角的三角函数的定义以及诱导公式的应用，正确运用定义是关键，属于基础题．‎ ‎18．（1）计算的值；‎ ‎（2）已知tanα＝2，求和sin2α的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）1，.‎ ‎【解析】（1）利用指数幂化简求解即可．（2）根据同角三角函数基本关系式化简即可求解．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）‎ ‎＝‎ ‎ ‎ ‎．‎ ‎（2）∵tanα＝2，‎ ‎∴1，‎ 所以sin2α．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查有理指数幂运算法则以及对数运算法则，同角三角函数基本关系式的应用，考查计算能力，属于基础题．‎ ‎19．如图为函数的部分图象．‎ ‎（1）求函数解析式；‎ ‎（2）若方程在上有两个不相等的实数根，则实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】（1）根据图象得到关于的方程，解方程即得解；（2）先作出函数在上的图象，数形结合分析即得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由题中的图象知，，，‎ 即，所以，‎ 根据五点作图法，令，，‎ 得到，，∵，∴，‎ ‎∴解析式为；‎ ‎（2）由在上的图象如图所示：‎ 当，则，‎ 当时，；当时，.‎ 所以当方程在上有两个不相等的实数根时，‎ 观察函数的图象可知，上有两个不同的实根.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的图象和性质，考查三角函数的解析式的求法，考查三角函数的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎20．恩施州某电影院共有1000个座位，票价不分等次，根据电影院的经营经验，当每张票价不超过10元时、票可全部售出；当票价高于10元时，每提高1元，将有30张票不能售出，为了获得更好的收入，需要给电影院一个合适的票价，基本条件是：①为了方便找零和算账，票价定为1元的整数倍．②影院放映一场电影的成本是4000元，票房收入必须高于成本，用x（元）表示每张票价，用y（元）表示该电影放映一场的纯收入（除去成本后的收入）．‎ ‎（1）求函数y＝f（x）的解析式；‎ ‎（2）票价定为多少时，电影放映一场的纯收入最大？‎ ‎【答案】（1）y（x∈Z）；（2）22元．‎ ‎【解析】（1）设每张票价为元，通过当时，求出，利用得，当时，求出，得到，写出函数的解析式．（2）利用分段函数的解析式分别求解函数的最值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）设每张票价为x元 当x≤10时，y＝1000x﹣4000，由1000x﹣4000＞0得：x＞4，又x是整数，∴5≤x≤10，‎ 当x＞10时，y＝[1000﹣30（x﹣10）]x﹣4000＝﹣30x2+1300x﹣4000，‎ 由﹣30x2+1300x﹣4000＞0得：x＜40，∴10＜x≤40，‎ ‎∴y （x∈Z）；‎ ‎（2）若x≤10，y＝1000x﹣4000是增函数，∴x＝10时，y有最大值6000，‎ 若x＞10，y＝﹣30x2+1300x﹣4000，对称轴为x21，‎ 又x是整数，所以当x＝22时，y最大，此时y＝10080，‎ ‎∴每张票价定为22元时，放映一场的纯收入最大．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的解析式的求法，分段函数的应用，考查转化思想以及计算能力．‎ ‎21．已知函数f（x）φ）﹣cos（ωx+φ）（），x＝0和x是函数的y＝f（x）图象的两条相邻对称轴．‎ ‎（1）求f（）的值；‎ ‎（2）将y＝f（x）的图象向右平移个单位后，再将所得的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g（x）的图象，求y＝g（x）的单调区间，并求其在[]上的值域．‎ ‎【答案】（1）；（2）[4kπ，4kπ]k∈Z，值域为．‎ ‎【解析】‎ ‎（1）通过两角差的正弦函数化简函数的表达式，求出函数的周期，利用函数是偶函数求出，然后求解的值．（2）由函数图象的变换可求，利用余弦函数的单调性可求的单调区间，由，结合函数的单调性可求最大值．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）函数f（x）sin（ωx+φ）﹣cos（ωx+φ）＝2sin（ωx+φ）， ‎ 因为函数是偶函数，‎ 所以φkπ，k∈Z，解得：φ＝kπ，k∈Z，‎ ‎∵φ＜0，‎ ‎∴φ．‎ 函数y＝f（x）图象的两相邻对称轴间的距离为，‎ 所以T＝π，Tπ，所以ω＝2；‎ f（x）＝2sin（2x）＝﹣2cos2x， ‎ 则f（）＝﹣2cos（2）＝﹣2cos（）； ‎ ‎（2）由函数图象的变换可知，y＝g（x）＝﹣2cos（x）， ‎ 由2kπx2kπ+π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，‎ 即函数y＝g（x）的单调递增区间为：[4kπ，4kπ]k∈Z，‎ 由2kπ+πx2kπ+2π，k∈Z，解得：4kπx≤4kπ，k∈Z，‎ 即函数y＝g（x）的单调递减区间为：[4kπ，4kπ]k∈Z， ‎ ‎∵x∈，‎ ‎∴结合函数的单调性可知：‎ 当x0，即x时，y＝g（x）最小值为﹣2，‎ 当x，即x时，y＝g（x）最大值为0.‎ 所以函数的值域为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了两角差的正弦函数公式，周期公式，三角函数图象的变换规律，余弦函数的单调性，考查了数形结合思想和转化思想的应用，属于中档题．‎ ‎22．函数fn（x）＝xn+bx+c（n∈Z，b，c∈R）．‎ ‎（1）若n＝﹣1，且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，试求实数b，c的值；‎ ‎（2）设n＝2，若对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立，求b的取值范围.‎ ‎【答案】（1）b＝3，c＝1；（2）﹣3≤b≤3．‎ ‎【解析】（1）由条件可得，的方程，解方程可得，；（2）当时，，对任意，，有恒成立等价于在，上的最大值与最小值之差．讨论对称轴和区间的关系，判断单调性，可得最值，解不等式即可得到所求范围．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）n＝﹣1时，f﹣1（x）＝x﹣1+bx+c，‎ 且f﹣1（1）＝f﹣1（）＝5，‎ 可得1+b+c＝5，3b+c＝5，解得b＝3，c＝1；‎ ‎（2）当n＝2时，f2（x）＝x2+bx+c，‎ 对任意x1，x2∈[﹣1，1]有|f2（x1）﹣f2（x2）|≤6恒成立等价于 f2（x）在[﹣1，1]上的最大值与最小值之差M≤6．‎ ‎①当1，即b＞2时，f2（x）在[﹣1，1]递增，‎ f2（x）min＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，‎ M＝2b＞4，且2b≤6，可得2＜b≤3；‎ ‎②当﹣10，即0≤b≤2时，f2（x）在[﹣1，]递减，在（，1]递增，‎ f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（1）＝1+b+c，M＝（1）2≤6恒成立，故0≤b≤2；‎ ‎③当01即﹣2≤b＜0时，f2（x）在[﹣1，]递减，在（，1]递增，‎ f2（x）min＝f2（）＝c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，M＝（1）2‎ ‎≤6恒成立，故﹣2≤b＜0；‎ ‎④当1，即b＜﹣2时，f2（x）在[﹣1，1]递减，‎ f2（x）min＝f2（1）＝1+b+c，f2（x）max＝f2（﹣1）＝1﹣b+c，‎ M＝﹣2b＞4且﹣2b≤6，可得﹣3≤b＜﹣2．‎ 综上可得，b的取值范围是﹣3≤b≤3．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查不等式恒成立问题的解法，注意运用转化思想，转化为求最值，以及运用分类讨论的思想方法，注意对称轴或顶点与区间的关系，考查化简整理的运算能力，属于难题．‎