数学（文）卷·2017届湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考（2016

数学（文）卷·2017届湖南省湘中名校教研教改联合体高三上学期12月联考（2016

‎ ‎ 数学（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.“”是“”是（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3.已知，是两条不同直线，，，是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 ‎4.执行如图所示的程序框图，如果运行结果为，那么判断框中应填入（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5.根据如下样本数据得到的回归方程为，若，则每增加个单位，就（ ）‎ A．增加个单位 B．减少个单位 C．增加个单位 D．减少个单位 ‎6.已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7.从集合中随机选取一个数记为，从集合中随机选取一个数记为，则直线不经过第四象限的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8.若是等差数列，首项，，，则使前项和成立的最大正整数是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9.已知函数，，且，．若的最小值为，则函数的单调递增区间为（ ）‎ A．， B．，‎ C．， D．，‎ ‎10.若点是的外心，且，，则实数的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11.过双曲线（，）的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点，与双曲线的渐近线交于，两点，若，则双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12.已知函数（，为自然对数的底数）与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.已知复数满足，则__________．‎ ‎14.已知实数，满足，则的最小值是__________．‎ ‎15.已知，，若直线与圆相切，则的取值范围是__________．‎ ‎16.对于数列，定义为的“优值”，现在已知某数列的“优值”，记数列的前项和为，若对任意的恒成立，则实数的最大值为__________．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.（本小题满分12分）‎ 已知函数．‎ ‎（1）求的最小值；‎ ‎（2）在中，角，，的对边分别是，，，若，，，求的周长．‎ ‎18.（本小题满分12分）‎ 某大学生在开学季准备销售一种文具盒进行试创业，在一个开学季内，每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损 元．根据历史资料，得到开学季市场需求量的频率分布直方图，如图所示．该同学为这个开学季购进了盒该产品，以（单位：盒，）表示这个开学季内的市场需求量，（单位：元）表示这个开学季内经销该产品的利润．‎ ‎（1）根据直方图估计这个开学季内市场需求量的众数和平均数；‎ ‎（2）将表示为的函数；‎ ‎（3）根据直方图估计利润不少于元的概率．‎ ‎19.（本小题满分12分）‎ 如图所示的几何体为一简单组合体，在底面中，，，，平面，，，．‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求该组合体的体积．‎ ‎20.（本小题满分12分）‎ 已知经过抛物线：焦点的直线：与抛物线交于、‎ 两点，若存在一定点，使得无论怎样运动，总有直线的斜率与的斜率互为相反数．‎ ‎（1）求与的值；‎ ‎（2）对于椭圆：，经过它左焦点的直线与椭圆交于、两点，是否存在定点，使得无论怎样运动，都有？若存在，求出坐标；若不存在，请说明理由．‎ ‎21.（本小题满分12分）‎ 已知，，直线：．‎ ‎（1）曲线在处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）若至少存在一个使成立，求实数的取值范围；‎ ‎（3）设，当时的图象恒在直线的上方，求的最大值．‎ 请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.（本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程 已知直线：（为参数），曲线：（为参数）．‎ ‎（1）设与相交于，两点，求；‎ ‎（2）若把曲线上各点的横坐标压缩为原来的倍，纵坐标压缩为原来的倍，得到曲线，设点是曲线上的一个动点，求它到直线距离的最小值．‎ ‎23.（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数，．‎ ‎（1）当时，解不等式；‎ ‎（2）若存在满足，求实数的取值范围．‎ ‎“湖南省湘中名校教研教改联合体”2017届高三12月联考·数学（文）‎ 参考答案、提示及评分细则 一、选择题 ‎1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12.‎ 二、填空题 ‎13. 14. 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1）‎ ‎，，．，，‎ 由余弦定理得，‎ 即，，所以的周长为．………………（12分）‎ ‎18.解：（1）由频率直方图得：最大需求量为的频率．‎ 这个开学季内市场需求量的众数估计值是；‎ 需求量为的频率，‎ 需求量为的频率，‎ 需求量为的频率，‎ 需求量为的频率，‎ 需求量为的频率．‎ 则平均数．……………………（5分）‎ ‎（2）因为每售出盒该产品获利润元，未售出的产品，每盒亏损元，‎ 所以当时，，………………………………（7分）‎ 当时，，…………………………………………………………（9分）‎ 所以．‎ ‎（3）因为利润不少于元所以，解得，解得．‎ 所以由（1）知利润不少于元的概率．………………………………………（12分）‎ ‎19.（1）证明：因为平面，，所以平面．‎ 又因为平面，所以，又因为，且，‎ 所以平面，又因为平面，所以平面平面．………………（6分）‎ ‎（2）面将几何体分成四棱锥和三棱锥两部分，‎ 过作，因为平面，平面，‎ 所以，又因为，，‎ 所以平面，即为四棱锥的高，‎ 并且，，所以，‎ 因为平面，且已知，‎ 为顶角等于的等腰三角形，，，‎ 所以，‎ 所以组合体的体积为．………………………………………………（12分）‎ ‎20.解：（1）直线：经过抛物线：的焦点为，，‎ 直线代入得，设，‎ 则，，得无论怎样运动，直线的斜率与的斜率互为相反数．‎ 无论、怎样变化，总有，即．‎ ‎，．………………………………………………………………………………（5分）‎ ‎（2）直线垂直于轴时，、两点关于轴对称，‎ ‎，要使，则必在轴上，设点 直线不垂直于轴时，设：，设，．‎ ‎：代入得．‎ ‎，‎ ‎，直线的斜率与的斜率互为相反数．‎ 即 ‎，‎ 以上每步可逆，存在定点，使得．………………………（12分）‎ ‎21.解：（1）由已知得，，且在处的切线与直线平行，‎ 所以，解得，解得．……………………………………………（2分）‎ ‎（2）由于至少存在一个使成立，所以成立至少存在一个，‎ 即成立至少存在一个．‎ 令，当时，恒成立，‎ 因此在单调递增．‎ 故当时，，即实数的取值范围为．…………………………………（6分）‎ ‎（3）由已知得，在时恒成立，即．‎ 令，则，令，‎ 则在时恒成立．‎ 所以在上单调递增，且，，‎ 所以在上存在唯一实数（）使.‎ 当时，即，当时，即，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增．‎ 故．‎ 故（），所以的最大值为．……………………………………………………（12分）‎ ‎22.解：（1）的普通方程为，的普通方程为，‎ 联立方程组解得与的交点为，，则．……（5分）‎ ‎（2）的参数方程为（为参数），故点的坐标是，‎ 从而点到直线的距离是，‎ 由此当时，取得最小值，且最小值为．……………………（10分）‎ ‎23.解：（1）当时，．‎ 由得．‎ 当时，不等式等价于，解得，所以；‎ 当时，等价于，即，所以；‎ 当时，不等式等价于，解得，所以．‎ 故原不等式的解集为．…………………………………………………………（5分）‎ ‎（2），‎ 原命题等价于，，‎ ‎．…………………………（12分）‎